ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG MÔN TOÁN 10Điểm 1.. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 2... uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuu
Trang 1ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG MÔN TOÁN 10
Điểm 1.
1)
Tập xác định: R
- Tọa độ đỉnh: I(2; 1− ) Trục đối xứng: x=2
- Gđiểm của đồ thị với Ox: ( ) ( )1;0 , 3;0 , Oy: ( )0;3
0,25
- Đồ thị là parabol quay bề lõm lên trên
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;2) ,
đồng biến trên khoảng (2;+∞)
0,25
- Bảng biến thiên:
x −∞ 2 +∞
y +∞ +∞
- 1
0,75
- Đồ thị:
0,75
2)
- Vẽ đồ thị hàm số: y= x2−4x+3
0,5
- Số nghiệm của PT: x2−4x+ =3 2m+1 (1)
bằng số giao điểm của đồ thị hai hàm số
y= x − x+ và y=2m+1
0,5
- Đồ thị hàm số y=2m+1 là đường thẳng song
song với Ox, cắt Oy tại M(0;2m+1) 0,25
- Dựa vào đồ thị ta có: PT (1) có đúng hai
nghiệm khi và chỉ khi:
0
2 1 1
1
2 1 0
2
m m
>
+ >
+ = = −
Vậy m>0 hoặc
1 2
m= −
Nếu thiếu TH 2m+ =1 0 trừ 0,5 đ
0,75
2. Nếu m = 0 PT đã cho trở thành:
2x− = ⇔ =6 0 x 3 (loại)
0,5
Nếu m≠0PT đã cho là một PT bậc hai
' m 1 m m3 2 2m 4m 1
Điều kiện để PT có hai nghiệm là:
( )
Với điều kiện (*) giả sử x x1, 2 là hai nghiệm của
PT Từ yêu cầu bài toán và áp dụng định lí Vi-et
ta có:
2
2 1
2
2 1
m
m
x x
x m
m
0,5
Thay x 2 m
m
−
= vào PT ta có:
(m−2 6) ( m− = ⇔ =4) 0 m 2hoặc 2
3
m=
0,5
Đối chiếu điều kiện ta có: m = 2 hoặc 2
3
3.
1)
Điều kiện: 7x y+ ≥0; 2x y+ ≥0 Đặt u= 7x y v+ , = 2x y u v+ ,( , ≥0), ta có:
2 2; 7 2 2 2
x= − y= − Ta có hệ:
0,5
2
7 2
5 14 0 1
v
+ =
5
3 2
2 7
u v
v v
= −
=
⇔ =− = ⇔ =
0,5
Với u=3;v=2 ta có: x=1; y=2 Vậy 1; 2
x= y=
0,5
3.
2)
Giả sử x0 là nghiệm của PT, khi đó 1 x− 0 cũng
là nghiệm của PT Do đó để PT có nghiệm duy nhất ta phải có: 0 0 0 1
1
2
x = − ⇔x x =
0,5
Thay 0 1
2
x = vào PT ta có: m= 2+48 0,5 Với m= 2+48, ta chứng minh PT có nghiệm duy nhất Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
2
+ ≥
( )
4
4
1 1 1
4
1 1 1 1
x x
x x
+ + + ≥
−
− + + + ≥
0,5
Trang 2( ) ( )* , ** ⇒ x+4 x+ 1− +x 41− ≤x 2+48
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 1
2
x= Vậy m= 2+48
0,5
4.
1)
Ta có:
2
2
2
uuur uuuur uuur uuur uuur
uuur uuuur uuur uuur uuur
uuuur uuuur uuur uuuur uuur
0,5
Do đó:
uuuur uuur uuur uuur 0,5
Ta có MA2+MB2+MC2 bé nhất khi và chỉ khi
MG bé nhất
0,5
Điều này xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của
tia OG vơi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
0,5
4.
2)
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AC,
AB Qua M kẻ các đường thẳng song song với
AB, AC, cắt AC tại L, cắt AC tại N P, Q lần lượt
là chân đường cao hạ từ B, C Ta có ALMN là
hình bình hành nên: MA NA LAuuur uuur uur= +
0,5
Mặt khác:
MAC ABC
S
uuur uuur uuur uuur
MAB ABC
S
uur uuur uuur uuur
0,5
S MA S AB S AC
(S MAB S MBC S MCA)MA S MAC.AB S MAB.AC 0
⇔ + + uuur + uuur+ uuur r=
S MA S AB S AC
⇔ uuur + uuur + uuur r =
0,5
4.
3)
BC là đường thẳng đi qua B và vuông góc với đường cao hạ từ A nên có PT:
4 x− +2 3 y+ = ⇔1 0 4x+3y− =5 0
0,5
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:
1;3
C
+ − = =
0,5
Gọi d là đường thẳng đi qua B và vuông góc với đường phân giác góc C, d có phương trình:
2 x− −2 y+ = ⇔1 0 2x y− − =5 0 Tọa độ điểm H là giao điểm của d và phân giác góc C là nghiệm của hệ:
( )
3;1
H
0,5
Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua đường phân giác góc C, khi đó B` thuộc AC và H là trung điểm BB` nên ta có:
( )
x = x −x = y = y −y = ⇒B
AC là đường thẳng đi qua C và có vectơ chỉ
0,5
phương CBuuur' 5;0( )
nên có PT là:
0 x+ −1 5 y− = ⇔ − =3 0 y 3 0 0,5 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
5;3
A
Vậy A(−5;3 ,) (C −1;3)
0,5
Thay tọa độ A, B lần lượt vào vế trái phương trình đường phân giác góc C ta được các số: − −4; 5,
do đó đường phân giác góc C đó là phân giác ngoài
0,5
5. Áp dụng bất dắng thức Côsi ta có:
3
3
3
1 3
1 3
1 3
a
a bc
b
b ca
c ab
+
+
+
+
+
+
0,5
Suy ra
a b c
a bc b ca c ab
+ +
15
a bc b ca c ab
0,5
Mặt khác: ( )2
9= a b c+ + ≥ab bc ca+ + , 0,5
do đó
4 4 2
a bc+b ca+c ab≥ − =
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c= = =1
0,5
