KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI BẮC BỘ NĂM 2009 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN Lớp 10 Bài 1. Phương trình đã cho tương đương với: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ax x y x z by y x y z cz z x z y = − −  = − −   = − −  Trường hợp 1: Nếu x, y, z dương. Không mất tính tổng quát giả sử x y z≥ ≥ . Suy ra ( ) ( ) 0by y z y x= − − ≤ (vô lý) Trường hợp 2: Nếu x, y, z có 2 số dương, 1 số âm. Giả sử z < 0 và x, y > 0. Khi đó ta có ( ) ( ) 0 0cz z x z y> = − − > (loại) Trường hợp 3: Nếu x, y, z có 2 số âm và 1 số dương. Giả sử x, y < 0 và z > 0. Khi đó ( ) 2 0 0ax by x y> + = − ≥ (loại) Trường hợp 4: Nếu x, y, z âm. Giả sử 0 x y z> ≥ ≥ , ta có ( ) ( ) 0 0ax x y x z> = − − ≥ (loại) Vậy trong 3 số x, y, z phải có 1 số bằng 0. Từ đó suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm: ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;0 ; ;0;0 ; 0; ;0 ; 0;0;a b c Bài 2: Hướng dẫn: Đặt ; ; ; ; 0a x b y c z a b c= = = > Bất đẳng thức đã cho trở thành: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 ( , , ) ( ) 2 a b c f a b c a b c b c c a a b = + + + + ≥ + + + Ta có: ( , , ) ( , , )f a b c f a b c λ λ λ = nên không làm mất tính tổng quát giả sử a 2 + b 2 + c 2 = 3. BĐT cần chứng minh trở thành: 2 2 2 3 3 3 3 2 a b c a b c + + ≥ − − − với a,b,c (0; 3)∈ Ta có: 2 2 2 2 ( 1) ( 2) 0 3 2 2(3 ) a a a a a a a − + ≥ ⇔ ≥ − − luôn đúng với a (0; 3)∈ Tương tự 2 BĐT còn lại sau đó cộng lại ta được điều cần chứng minh. 0.5 0.5 1.0 1.0 1.0 Bài 3: F O B A C D E M . Khi đó ta có 2 /( ) . M AB P MD MB MF = = (2) Từ (1) và (2) suy ra MD = ME hay M là trung điểm của DE. Vậy BF đi qua trung điểm của DE. Bài 4: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 2 3 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0 y y x x x y x x x y x x ⇔ + + + + + − + − + + − = ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 1 2 2 2 1 2 0 y y x y x x x x ⇔ + + + − − + + − = ( ) ( ) 2 2 3 2 2 1 2 0 y x y x x ⇔ + − + + − = ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 1 2 3 y x y x x  + = ⇔  + + =   Gi¶i (2) do x,y nguyªn d¬ng nªn 1x y= = Gi¶i (3) a) NÕu 1 0y x= ⇒ = hoÆc 2 2x = (lo¹i) b) NÕu ( ) ( ) 3 2 2 2 3 0 1 3 0 1y x x x x x x = ⇒ + − = ⇔ − + + = ⇔ = suy ra cã nghiÖm (1;2) c) NÕu 3y ≥ tõ (3) cã x lÎ vµ ( ) 2 2 2 1 y x x + = − Do ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 1 mod3 3 1 1 mod3 y y x x y + ⇒ ≡ ⇔ − = ⇒ M ch½n. Tõ (3) l¹i cã ( ) ( ) 2 1 3 2 2 y x x x + − + = + Gi¶ sö p lµ mét íc nguyªn tè cña 2 3x x− + p ⇒ lÎ ( ) ( ) 2 2 0 mod 2 2 mod y y p p ⇒ + ≡ ⇔ ≡ − Do y ch½n nªn 2 y lµ sè chÝnh ph¬ng 2 ⇒ − lµ sè chÝnh ph¬ng theo ( ) mod p ( ) ( ) 1 2 2 1 mod p p − ⇒ − ≡ (4) Mµ ( ) ( ) 2 1 1 2 8 2 1 mod p P p − − ≡ − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 2 8 2 2 . 1 1 . 1 mod p p p p p − − − − ⇒ − ≡ − − ( ) ( ) ( ) 2 1 4 5 2 8 2 1 mod p p p p − + − ⇒ − ≡ − (5) Tõ (4) vµ (5) 2 4 5 8 p p + − ⇒ lµ sè ch½n ( ) ( ) 1 5 8 p p − + ⇒ ch½n 8 1 8 3 p m m p m = +  ⇒ ∈  = +  ¥ Tõ (3) ( ) 3 2 1 0 mod8x x ⇒ + + ≡ ( ) ( ) 2 5 mod8 3 7 mod8x x x ⇒ ≡ ⇒ − + ≡ 2 3x x⇒ − + cã íc nguyªn tè d¹ng 8 7m + ( m©u thuÉn) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ (1;1) vµ (1;2). Bài 5: Bổ đề : Cho 0 < 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3x x x x x x x x x≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ . Khi đó ( ) 1 3 5 7 2 4 6 8 1 3 5 7 3 2 x x x x x x x x x x x x+ + + ≤ + + + ≤ + + + Chứng minh: Ta có 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 5 7 2 4 6 8 ; ; ; (1)x x x x x x x x x x x x x x x x≤ ≤ ≤ ≤ ⇒ + + + ≤ + + + Mặt khác ( ) 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 3 5 7 1 ; ; ; 3 2 x x x x x x x x x x x x x≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + + + + Cộng theo vế suy ra ( ) 2 4 6 8 1 3 5 7 3 2 x x x x x x x x+ + + ≤ + + + ( 1đ) Vào bài Giả sử 1 2 300 ; ; .;a a a là trọng lượng của các quả táo xếp theo thứ tự tăng dần. Theo giả thiết suy ra 1 2 300 1 0 . 3a a a a< ≤ ≤ ≤ ≤ . Chia { } 1 2 300 , , .,a a a thành 75 nhóm { } 75 150 225 , , , , 1,75 i i i i a a a a i + + + = . Xét hai nhóm bất kì: (1,5đ) { } { } 75 150 225 75 150 225 75 75 150 150 225 225 , , , , , , ,( 75) 3 m m m m n n n n m n m n m n m n m a a a a a a a a m n a a a a a a a a a + + + + + + + + + + + + < < ⇒ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (0,5đ) Theo bổ đề trên ( ) 75 150 225 75 150 225 75 150 225 3 2 m m m m n n n n m m m m a a a a a a a a a a a a + + + + + + + + + + + + ≤ + + + ≤ + + + (0,5đ) Suy ra trọng lượng của một nhóm bất kì không lớn hơn 3 2 trọng lượng của nhóm khác. ( 0,5đ) . KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI BẮC BỘ NĂM 2009 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN Lớp 10 Bài 1. Phương trình đã cho tương đương. − −   = − −  Trường hợp 1: Nếu x, y, z dương. Không mất tính tổng quát giả sử x y z≥ ≥ . Suy ra ( ) ( ) 0by y z y x= − − ≤ (vô lý) Trường hợp 2: Nếu