Trên tia đối của tia BC lấy điểm D .Gọi E là giao điểm của DO và AC .Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn OTiếp tuyến này cắt AB ở K .Chứng minh D,B,O,K cùng nằm trên một đường trò
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
Năm học 2002-2003.
Bài1:(4điểm).
Cho phương trình : ( 2 1 ) 2 2 1 0
a/ Định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0)
b/ Định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2thõa 2 1
2 2
Bài 2: (5điểm).
Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây;
x x x x ; b/
7 8
2 2 2 2
xy y x
y x y x
; c/
1 1 1 1
y
x
y x
Bài 3: (3điểm)
a/ Cho a > c, b > c , c > 0 chứng minh : c(a c) c(b c) ab
b/ Cho x 1 ,y 1 Chứng minh x y xy
1 1
1 1
1
2 2
Bài 4: (3điểm).
Từ điểm a ở ngoài đường tròn ( o), kẻ tiếp tuyến AB , AC với đưòng tròn (B,C là các tiếp điểm ) Trên tia đối của tia BC lấy điểm D Gọi E là giao điểm của DO và
AC Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O)Tiếp tuyến này cắt AB ở
K Chứng minh D,B,O,K cùng nằm trên một đường tròn
Bài 5: (2điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC Có hai đường thẳng lưu động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt ở D và E Xác định vị trí của D và E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 6: (3điểm).
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B Qua A vẽ hai đường thẳng (d) và (d’) đường thẳng (d) cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D , đường thẳng (d’) cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N sao cho AB là phân giác của góc MAD Chứng minh rằng CD = MN
ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT TỈNH THÁI BÌNH Năm học 2002-2003.Thời gian : 150 phút Bài 1: (2điểm)
Trang 2Cho biểu thức
x
x x
x x x
x x
x
1
1 4 1
1 1
1
2
a/ Tìm điều kiện đối với x để biểu thức K xác định
b/ Rút gọn biểu thức K
c/Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên
Bài 2: (2điểm)
Cho hàm số : y= x + m (D ).Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) :
a/ Đi qua điểm A( 1; 2003)
b/Song song với đường thẳng x- y +3 = 0;
c/ Tiếp xúc với parabol 2
4
1
x
y Bài 3: (3điểm)
a/ Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m Tính diện tích hình chữ nhật đó
b/ chứng minh bất đẳng thức :
2003 2002
2002
2003
2003
2002
Bài 4: (3điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Nửa đường tròn đường kính AB căùt BC tại D Trên cung AD lấy một điểm E Nối BE và kéo dài cắt AC tại F
a/ Chứng minh CDEFlà một tứ giác nội tiếp
b/ Kéo dài DE cắt AC ở K Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q Tứ giác MPNQ là hình gì ? Tại sao?
c/ Gọi r,r1 ,r2theo thứ tự là bán kính đường trònnoij tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC Chứng minh rằng 2
2
2 1
2 r r
r
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUẬN 1 -TP HỒ CHÍ MINH
Năm học 2002-2003
Bài 1: (3điểm)
Giải phương trình : x2 1 x2 4 x2 2x 4
Trang 3Bài 2: (3điểm).Chứng minh đẳng thức
a
b a
b a b
a b
a b
, với a,b trái dấu Bài 3: (3điểm)
3 8 14
3 ) 3 6 12
Bài 4: (3điểm)
Trong các hình chữ nhật có diện tích là p , hình chữ nhật nào có diện tích lớn nhất ? Tìm diện tích đó
Bài 5: (4điểm)
Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến
AM,AN ;đường thẳng chứa đường kính song song với MN cắt AM, AN lầ lượt tại
B ,C
Chứng minh :
a/ Tứ giác MNCB là hình thang cân
b/MA.MB R2
c/K thuộc cung nhỏ MN Kẻ tiếp tuyến tại K cắt AM, AN lần lựot tại P, Q Chứng minh :
4 CQ BC2
Bài 6: (4điểm)
Cho đường tròn (O)và đường kính AB Kẻ tiếp tuyến (d) tại B của đường tròn (O ) Gọi N là điểm di động trên (d),kẻ tiếp tuyến NM ( M thuộc (O)
a/ Tìm quỹ tích tâm P của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB
b/ Tìm quỹ tích tâm Q của đường tròn nội tiếp tam giác MNB
ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN –TỈNH HÀ TÂY
Năm học 2003-2004
Bài 1: (2điểm)
1
2 1 ( : ) 1
2 1
1 (
x
x x
x x x
x x
1/ Rút gọn P ;
Trang 42/ Tìm x sao cho P< 0 ;
Bài 2: (1,5điểm)
Cho phươngtrình : 2 ( 2 1 ) 2 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thõa mãn : 2 2003
2
2
Bài 3: (2điểm )
Một bè nứa trôi tự do (với vận tốc bằng vận tốc dòng nước )và một ca nô cùng rời bến A để xuôi dòng sông Ca nô xuôi dòng được 144km thì quay về bến A ngay , cả đi lẫn về hết 21 giờ Trên đường ca nô trở về bến A , khi còn cách bến A 36 kmthì gặp bè nứa trôi nói ở trên Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước Bài 4: (3,5điểm )
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R C là trung điểm của đoạn thẳng AO , Đường thẳng Cx vuông góc với đường thẳng AB , Cx cắt nửa đường tròn trên tại I K là một điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác I ; K khác C), tia AK cắt nửa đường tròn đã cho tại M Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O tại điểm M cắt
Cx tại điểm N tia BM cắt Cx tại D
1/ Chứng minh bốn điểm A,C,M,D cùng nằm trên một đường tròn
2/ Chứng minh tam giác MNK cân
3/Tính diện tích tam giác ABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI
4/Chứng minh rằng khi K di động trên CI thì tâm đuường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định
Bài 5: (1 điểm )
Cho a,b,c là ba số bất kì đều khác không và thõa mãn : acbc 3ab 0 Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm :
0 ) )(
)(
bx c bx cx a cx ax b
ax
ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN –LÊ HỒNG PHONG -TỈNH NAM ĐỊNH
Năm học 2003-2004
Bài 1 : (1,5 điểm)
Cho phương trình : x2 x 1 0 Chứng minh trằng phương trình có hai nghiệm trái dấu Gọi x1 là nghiệm âm của phương trình Hãy tính giá trị của biểu thức :
Trang 513
8
x
Bài 2( 2 điểm)
Cho biểu thức : Px 5 x ( 3 x) 2 x.Tìm giá trị nhỏ nhất , lớn nhất của P khi
3
0 x
Bài 3: ( 2 điểm )
a/Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a,b,c sao cho : 2 2 2 2007
b c
b/ Chứng minh rằng không tồn tại các số hữu tỉ x,y, z sao cho :
0 7 5 3
2
2
2
x
Bài 4 :( 2,5điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường cao AH Gọi (O) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC Trên cung nhỏ AH của đường tròn (O) lấy điểm M bất kì khác A Trên tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) lấy hai điểm Dvà E sao cho BD =
BE = BA Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N
a/ chứng minh rằng tứ giác BDNE nôị tiếp
b/ chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đường tròn (O) tiếp xúc với nhau
Bài 5 ( 2 điểm)
Có n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Hai điểm bất kì được nối với nhau một đoạn thẳng ,mỗi đoạn thẳng được tô một màu xanh đỏ hoặc vàng Biết rằng có ít nhất một đoạn màu xanh ,một đoạn màu đỏ , một đoạn màu
vàng ;không có điểm nào mà các đoạn thẳng xuất phát từ đó có đủ cả ba màu và không có tam giác nào tạo bỡi các đoạn thẳng đã nối có ba cạnh cùng màu
a/ Chứng minh rằng không tồn tại ba đoạn thẳng cùng màu xuất phát từ cùng một điểm
b/ Hãy cho biết có nhiều nhất có bao nhiêu điểm thõa mãn đề bài
ĐỀ THI VÀO 10 NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA- T P HỒ CHÍ MINH
Năm học 2003-2004
Bài 1: 1/ Chứng minh rằng : phương trình
0 )
( 2
)
a luôn có nghiệm với mọi a, b
Trang 62/ Giải hệ phương trình (x 1 ) 3 (y 1 ) 3 35
Bài 2 : 1/ Với mỗi số nguyên dương n, đặt 22 1 2 1 1; 22 1 2 1 1;
n n n n n
a
Chứng minh rằng với mọi n , a n b nchia hết cho 5 va øa n b n không chia hết cho 5
2/tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao tích của chúng bằng tổng của chúng
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao A1H AB,A1K AC.Đặt
, 1
1B x A C y
1/ Gọi r và r’ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC và AHK Hãy tính tỉ số
r
r'
theo x, y tìm giá trị lớn nhất của tỉ số đó
2/Chứng minh rằng Tứ giác BHKC nội tiếp trong một đường tròn Tính bán kính của đường tròn đó theo x,y
Bài 4:
1/Cho đường tròn (C) tâm O và điểm A khác O nắm trong đường tròn một đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (C) tại M, N Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O
2/ Cho đường tròn (C) tâm O và đường thẳng (D) nằm ngoài đường tròn I là một điểm di động trên (D) Đường tròn đường kính IO căÉt (C) tại M,N Chứng minh rằng
MN luôn đi qua một điểm cố định
Bài 5:
1/ Cho một bảng vuông 4x 4 ô.Trên các ô của hình vuông này ,ban đầu người
ta ghi 9số 1và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ô một số ) Với mỗi phép biến đổi bảng cho phép chọn một hàng hay một cột bất kì và trên hàng hay trên cột đã chọn ,đổi đồng thời các số 0 thành số1, các số 1 thành số 0 Chứng minh rằng sau một số phép biến đổi hữu hạn như vậy , ta thể đưa bảng ban đầu về bảng toàn bộ số 0
2/Ở vương quốc “sắc màu kỉ ảo “ Có 45 hiệp sĩ : 13 hiệp sĩ tóc đỏ , 15 hiệp sĩ tóc vàng và, 17 hiệp sĩ tóc xanh Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau mà gặp nhau thì tóc của họ lập tức đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ : khi hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng Thì cả hai đổi sang tóc xanh ).Hỏi có thể xảy ra trường hợp sau một số hữu hạn lần gặp nhau như vậy ở vương quốc “sắc màu kì ảo “ Tất cả các hiệp sĩ có cùng mùa tóc được không?
ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN NGUYỄN TRÃI – HẢI DƯƠNG
Năm học 2003-2004
Bài 1: Cho hai số dương a và b Xét tập hợp T bao gồm các số có dạng :
}.
1
; 0 , 0 ,
b a
ab
2
đều thuộc tập T
Trang 7Bài 2: Ch o tam giác ABC ,D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AB, AC Chứng minh đường phân giác trong của góc B , đường trung bình song song với AB của tam giác ABC và đường thẳng DE đồng qui
Bài 3;
1/ Giải hệ phương trình
85 ) )(
(
45 ) )(
(
2 2 2 2
y x y x
y x y x
2/ Tìm các số hữu tỉ a,b,c sao cho các số : c a
c
b b
a1, 1, 1 là các số nguyên dương Bài 4 : Tìm đa thức f(x) và g(x) với hệ số nguyên sao cho : 2
) 7 2 (
) 7 2 (
g
f
Bài 5 Tìm số nguyên tố p để 4 2 1
p và 6 2 1
p là các số nguyên tố Bài 6 : Cho phương trình : x2 axb 0 có hai nghiệm x 1 x2 Đặt
2
1
2
1
x
x
x
x
u
n
n
n
(n là số tự nhiên ) Tìm giá trị của a,b sao cho đẳng thức :
n n
n
n
u 1 2 3 ( 1 ) Với mọi số tự nhiên n từ đó suy ra u n u n 1 u n 2
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 -TỈNH NAM ĐỊNH
KHÓA THI: 2002-2003
Bài 1: Rút gọn biểu thức :
5 3 10
5 3 5
3 10
5 3
Trang 8Bài 2: Gọi avà b là hai nghiệm của phương trình bậc hai : x2 x 1 0 Chứng minh rằng các biểu thức Paba3 b3 ,Qa2 b2 a4 b4vaRa2001 b2001 a2003 b2003 , là những số nguyên và chia hết cho 5
Bài 3: 1/ Cho hệ phương trình ( 1 )
4
4
1 2
2 2
2
m y xy x xy x
a/ Giải hệ phương trình khi m=7
b/ Tìm m sao cho hệ phương trình (1) cónghiệm
Bài 4 : Cho hai đường tròn (C1);(C2) tiếp xúc ngoài với nhau tại T hai đường tròn này nằm trong đường tròn (C3)và tiếp xúc vơí (C3)tương ứng tại Mvà N tiếp tuyến chung tại T của (C1);(C2)cắt (C3)tại P PM cắt (C1)tại điểm thứ hai là Avà MN cắt (C1)tại điểm thứ hai là B PN cắt (C2) tại điểm thứ hai là D và MNø cắt (C2) tại điểm thứ hai là C
Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp
Chứng minh rằng các đường thẳng AB , CD và PT đồng qui
Bài 5 :Một ngũ giác có tính chất : tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của một ngũ giác đều có diện tích bằng 1 tính diện tích của ngũ giác đó
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 -TỈNH BẮC NINH
KHÓA THI: 2002-2003
BÀI 1:1/ Tìm các số tự nhiên x,y thõa mãn : x2 3y 3026
2/ Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: x y 1989
Bài 2: 1/ Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn m : 2 0
x m
x
2/ Tìm các giá trị của a để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :
0 1 ) 7
(
3/Tìm x thõa mãn : 7x2 8x 10 x2 8x 10 2x
Trang 9Bài 3 : Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây cung AB cố định trương cung 1200 Lấy C thay đổi trên cung lớn AB (C không trùng A và B ); M trên cung nhỏ AB ( M không trùng Avà B) Hạ ME , MF thứ tự vuông góc với AC và BC
1/ Cho M cố định hãy chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi C thay đổi 2/ Cho M cố định hãy chứng minh giá trị
MF
BC ME
AC
không thay đổi khi C thay đổi
3/ Khi M thay đổi hạ MK vuông góc với AB Hãy xác định vị trí của M sao cho
MK
AB MF
BC
ME
AC
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 4 : Cho tam giác đều ABC Lấy điểm M ngoài Tam giác sao cho MA 2;MB=2 (cùng đơn vị đo độ dài vớicạnh tam giác ); góc MAC 15 độ ( tia CM nằm giữa hai tia CAvà CB ).Tính độ dài CM và số đo góc BMC