Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1

loại MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tham khảo Tạp chí THTT 2010 Trong các đề thi đại học những năm gần đây, ta gặp rất nhiều bài toán về hệ phương tr ình.. Nhằm giúp các bạn

(loại)

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Tham khảo Tạp chí THTT 2010

Trong các đề thi đại học những năm gần đây, ta gặp rất nhiều bài toán về hệ

phương tr ình Nhằm giúp các bạn ôn thi tốt, bài viết này chúng tôi xin giới thiệu một số dạng bài và kĩ năng giải

I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản ( có thể rút theo

y hoặc ngược lại ) rồi thế vào PT còn lại trong hệ

*Loại thứ nhất: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó ta tìm

cách rút y theo x hoặc ngược lại

( )

2

1 1 3 4 1 1

1 2

ì + + + = - + ï

í + + = ïî

Giải Dễ thấy x=0không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có :

1 -+ = x

y

x thay vào (1) ta

được

x - æ + - ö=3 -4 + Û1 -1 2 - =1 -1 3 -1

1

2

= é ê

ê = -ë

x

x

Từ đó, ta được các nghiệm của hệ là : (1;-1) , (-2; 5

2

- )

*Loại thứ hai: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình

bậc nhất hai ẩn

( )

2 2 12

2 1 2 2 2

ì + + = -ï

í

- - = -ïî

Giải Điều kiện: x³1, y³0

PT (1)Û x2-xy-2y2-(x y+ ) = Û0 (x y x+ )( -2y) (- x y+ ) =0( từ điều kiện

ta có x y+ >0)

2 1 0 2 1

Û -x y- = Û =x y+ thay vào PT (2) ta được :

2 + 2 =2 + Û2 +1 2 -2 =0 y 0³ Û = Þ =2 5

*Loại thứ ba: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn,

ẩn còn lại là tham số

( )

2

5 4 4 1

5 4 16 8 16 0 2

-ï í

ïî

Giải Biến đổi PT (2) về dạng y2-(4x+8) y-5x2+16x+16 0=

Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có 2

' 9

D = x từ đó ta được nghiệm

( ) ( )

5 4 3

4 4

é = +

ê

=

-êë

Thay (3) vào (1) ta được: ( ) (2 )( ) 4

0

é = - Þ = ê

+ = + - Ûê

= Þ = ë

Thay (4) vào (1) ta được: ( ) (2 )( ) 4 0

4 5 4 4

= Þ = é

- = + - Û ê = Þ =

ë

Vậy nghiệm của hệ là: (0;4) , (4;0) , 4;0

5

æ- ö

ç ÷

è ø

II.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ a= f x y b g x y có ( , ); = ( , )

ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình ( ) ( )

2 2

1 4 1

1 2 2

ì + + + = ï

í + + - = ïî

Giải

Dễ thấy y=1 không thỏa mãn PT(1) nên HPT

2

2

1

4 1

2 1

ì + + + = ï

ï

Û í

æ + ö

ïç ÷ + - =

ïè ø î

x

y x y

x

y x y

Đặt

1

+ = ì

+

= = + - Þ í =

î

a b x

ab

y giải hệ ta được a b= =1 từ đó ta có hệ

3

ì + =

í

+ =

î

x y

Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình

2

3

1

ï í

î

x y x

x y

Giải Điều kiện : x y+ ¹0

HPT

2

3

1

3

ï

Û í

ï + + + - =

î

x y

x y

Đặt = + + 1 ( ³2 ; ) =

-+

x y ta được hệ

( ) ( )

3 13 1

3 2

ì + = ï

í + = ïî

a b

Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( do a³2) từ đó ta có hệ

1

1

ì + + = ì + = ì =

ï - = î

x y

x y

III.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng ( ) 0f x = (1)và f x( )= f y (2) với f là hàm đơn ( ) điệu trên tập D và , x y thuộc D Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn , x y để , x y thuộc tập

mà hàm f đơn điệu

* Loại thứ nhất: Một phương trình trong hệ có dạng ( ) f x = f y , phương trình còn lại ( )

giúp ta giới hạn , x y thuộc tập D để trên để trên đó hàm f đơn điệu

Ví dụ 6 Giải hệ phương trình ( )

( )

5 5 1

1 2

ì - = -ï

í + = ïî

Giải Từ PT (2) ta có x8 £1; y4£ Û1 x £1; y £1

Xét hàm số f t( ) = -t3 5 ;t tÎ -[ 1;1] có f t'( )=3t2- < " Î -5 0; t [ 1;1] do đó ( )f t

nghịch biến trên

khoảng (-1;1) hay PT (1)Û =x y thay vào PT (2) ta được PT: x8+x4- =1 0 Đặt 4

0

= ³

a x và giải phương trình ta được 1 5 4 1 5

*Loại thứ hai:Là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải thường dẫn đến cả hai trường

hợp (1) và (2)

Ví dụ 7 Giải hệ phương trình

2 2 3 1

2 2 3 1

-ì + - + = + ï

í + - + = + ïî

y x

Giải

Đặt a x= -1;b= -y 1 ta được hệ ( )

( )

2 2

1 3 1

1 3 2

ì + + = ï

í + + = ïî

b a

Trừ vế với vế 2 PT ta được : a+ a2+ +1 3a = +b b2+ +1 3b (3)

Xét hàm số ( ) 2 ( ) 2

2

1

1 3 ; ' 3 ln 3

1

+ +

+

t

Vì t2+ >1 t2 ³ - Þt t2+ + > Þ1 t 0 f t/( ) >0, "t do đó hàm số ( ) f t đồng

biến trên R

Nên PT (3)Û =a b thay vào PT (1) ta được a+ a2+ =1 3a (4)

Theo nhận xét trên thì a+ a2+ >1 0 nên PT (4) ( 2 )

ln 1 ln 3 0

Û a+ a + -a = ( lấy ln hai vế )

Xét hàm số ( ) ( 2 ) ( )

2

1

ln 1 ln 3; g' ln 3 1 ln 3 0,

1

= + + - = - < - < " Î

+

a

hay hàm g a nghịch biến trên  và do PT (4) có nghiệm ( ) a=0nên PT (4) có nghiệm duy nhất a=0

Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là : x= =y 1

IV.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Với phương pháp này, cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản

Ví dụ 8 Giải hệ phương trình

2 2

3

2 2

3

2

2 9 2

2 9

ï í

î

xy

xy

Giải

Cộng vế với vế hai PT ta được 2 2

2 9 + 2 9 = +

Ta có : 3 2 3( )2

2

2 9 1 8 2

2

xy

Tương tự

2 3

2

2 9 £

- +

xy

xy

x x mà theo bất đẳng thức Côsi x2+y2 ³2 xy

Nên VT(1)£VP(1)

Dấu bằng xảy ra khi x y 1

0

= = é

ê = =

ëx y thử lại ta được nghiệm của hệ là: (0;0) , (1;1)

Ví dụ 9 Giải hệ phương trình

3 3

3 4

2 6 2

ì = - + + ï

í

= - -ïî

2 3

2 3

2 2 3 2 2 2 1 2 2

ì - = - - - ì - = - +

î

Nếu x>2từ (1) suy ra y- <2 0diều này mâu thuẫn với PT(2) có (x-2)và

(y-2)cùng dấu

Tương tự với x<2ta cũng suy ra điều vô lí Vậy nghiệm của hệ là x= =y 2

Hy vọng một số ví dụ trên sẽ giúp bạn phần nào kĩ năng giải hệ Để kết thúc bài viết mời các bạn cùng giải các hệ phương trình sau

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

3

2

2 3 8

3 2 16

1) 2)

3 9

3) 4)

- - =

+ - - = +

ì + =

ï

í

ïî

ìï í ïî

2

2

2

0 44

2007

1 7) 8)

2 3 6 12 13 0 2007

1

+ + - =

î

ì =

ï

+ + - + =

-î

x

y

y e

y

e

x

ï ïî

MỘT SỐ CHÚ Ý

KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Tham khảo Tạp chí THTT 400- 2010

Bài toán 1: (A- 2008) Giải hệ phương trình:

5 4 5

1 2

4

x y x y xy xy

ì + + + + = -ïï

í

ï + + + = -ïî

Lời giải: Hệ đã cho tương đương với

2 2

5 4 5

4

x y x y xy xy

ì + + + + = -ïï

í

ï + + = -ïî

Suy ra 2 ( 2 ) ( 2 )2

x + +y xy x +y = x +y

a)

2

4

xy

ì + = ï

+ = Þ í

=

-ïî (I)

Hệ (I) có nghiệm ( ); 3 5; 3 25

4 16

x y =æç - ö÷

b)

2 2

1 2

3 2

xy

ì + = -ïï

+ - - = Þ í

ï = -ïî

(II)

Hệ (II) có nghiệm ( ); 1; 3

2

x y =æç - ö÷

è ø

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm ( )x y là ; 3 5; 3 25

4 16

è ø;

3 1;

2

æ - ö

ç ÷

è ø

Bài toán 2: (B- 2009) Giải hệ phương trình: 2 2 1 7 2

1 13

+ + = ì

í + + =

Lời giải: Dễ thấy y¹0 nên hệ đã cho tương đương với

2 2

2

1

13

x

y y

ì

ï

æ ö

ï + + = ï + - =

ç ÷

Suy ra

2

1 1 20 0

æ + ö +æ + ö- =

a)

1 5

1 5

12

x y x

ì + = -ï

+ = - Þ í

ï = î

(Hệ vô nghiệm)

b) 1 4 1 4

3

x y x

ì + = ï

+ = Þ í

ï = î

Trường hợp này hệ có hai nghiệm ( ); 1;1

3

x y = çæè ö÷ø và

( ) ( )x y; = 3;1

Nhận xét: Qua hai ví dụ đề thi tuyển sinh nêu trên, chúng ta thấy rằng đôi khi chỉ cần

biến đổi cơ bản, dựa vào các hằng đẳng thức là có thể được kết quả Ta xét tiếp các ví dụ đòi hỏi các phép biến đổi phức tạp hơn

Bài toán 3: Giải hệ phương trình:

12

3 12

3

x

y

ïç + ÷

í

ï +ç ÷ =

ïè + ø î

Lời giải: Điều kiện x>0, y>0, y+3x ¹0 Hệ đã cho tương đương với

1 3

1

3

1

ì

ï

ï +

Suy ra

2

3

- = Þ + - = Þç ÷ + ç ÷- =

Tìm được y 3

x = và 9

y

x = - (loại) Với 3

y

x = ta được ( )2 ( )2

1 3 ; 3 1 3

Bài toán 4: Giải hệ phương trình: log log (1)

2 2 3 (2)

ï í + =

Lời giải: Điều kiện x>0, y>0, x¹1, y¹1

Từ (1) có t2+ - =t 2 0 với t=logy x

a) Với logy x=1, ta được log2 3

2

x y= = æ öç ÷

è ø

b) Với logy x= -2, ta được x 12

y

= Thế vào (2) được 2

1

2y +2y =3 (3) Trường hợp này PT (3) vô nghiệm Thật vậy:

+ Nếu y>1 thì 2 2

2y >2; 2y > Þ1 2y +2y >3

+ Nếu 0< <y 1 thì 1 12

y > suy ra:

2y >1; 2y > Þ2 2y+2y >3

Vậy hệ đã cho chỉ có một nghiệm ( ); log2 3 ;log2 3

x y =æç æ öç ÷ æ öç ÷ö÷

è ø è ø

Bài toán 5: (Dự bị D- 2008) Giải hệ phương trình:

36 60 25 0

36 60 25 0

36 60 25 0

ï

í

î

Lời giải: Hệ đã cho tương đương với

2 2 2 2 2 2

60

36 25 60

36 25 60

36 25

x y

x y z

y z x

z

ì

=

ï

ï =

ï ï

= ï

+ î

Hiển nhiên hệ này có nghiệm (x y z; ; ) (= 0;0;0 ) Dưới đây ta xét x y z, , ¹0

Từ hệ trên ta thấy x y z, , >0 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

36 25 2 36 25 60

Tương tự ta thu được y x z y£ £ £ Suy ra x y z= = Từ đó suy ra hệ có một nghiệm nữa

5

6

x y z= = =

Bài toán 6: Giải hệ phương trình:

3 4

1

ì - - = -ï

í

- =

Lời giải: Đk x³1, y³0. Thế y từ PT(2) vào PT(1) ta được

1 1 8 (3)

x- - x- = -x

Từ (3) có x- = - +1 x3 x2-2x+9 (4)

Xét hàm số f x( )= - +x3 x2-2x+9 (x³1) Ta có f x/( )= -3x2+2x- <2 0 (" ³x 1) Suy ra hàm số f x luôn luôn nghịch biến khi ( ) x³1

Mặt khác, hàm số g x( )= x-1 luôn nghịch biến khi x³1 nên x=2 là nghiệm duy nhất của PT(4)

Vậy hệ có một nghiệm duy nhất ( ) ( )x y; = 2;1

Nhận xét: Đối với bài toán trên, dung công cụ đạo hàm để giải quyết là rất hay, tuy

nhiên, ta cũng có thể tránh được đạo hàm bằng cách biến đổi khéo léo như sau:

( ) ( )

2

2

PT(3) 1 1 1 1 8 0

2

1 1

1

2 Do 2 4 0, 1

1 1

x

x

Û - - -ë - - +û - =

- +

Û = ç + + + > " ³ ÷

- +

Dưới đây, xin nêu một bài toán trong Đề thi tuyển sinh Đại học gần nhất mà nếu không dùng đến công cụ đạo hàm thì khó có thể giải quyết được

Bài toán 7: (A- 2010) Giải hệ phương trình: ( 2 ) ( )

4 1 3 5 2 0 (1)

4 2 3 4 7 (2)

ï í + + - =

Lời giải: Đk 3; 5

4 2

x£ y£

PT(1)Û 4x +1 2x= 5 2- y+1 5 2- y

Đặt 2 ( 2 ) ( 2 )

5 2

x u

y v

=

í

- =

Hàm f t( )=(t2+1)t có f t/( ) 3= t2+ >1 0 nên f t luôn đồng biến trên  , suy ra: ( )

2

0

2

x

y

³ ì ï

= Û = - Û í

-= ïî

Thế y vào PT (2) ta được:

2

4 2 2 3 4 0 (3)

2

x +æç - x ö÷ + - x =

Nhận thấy x=0 và 3

4

x= không phải là nghiệm của PT (3) Xét hàm số:

2

( ) 4 2 2 3 4

2

g x = x +æç - x ö÷ + - x

è ø trên

3 0;

4

æ ö

ç ÷

è ø

Ta có /( ) 8 8 5 2 2 4 4 4( 2 3) 4 0

3 0;

4

æ ö

ç ÷

è ø

Suy ra g x nghịch biến trên ( ) 0;3

4

æ ö

ç ÷

è ø Nhận thấy

1 0 2

gæ ö =ç ÷

è ø , nên PT(3) có nghiệm duy

nhất 1

2

x= Với 1

2

x= thì y=2 Vậy hệ đã cho có một nghiệm ( ); 1;2

2

x y = çæ ö÷

è ø

Bài toán 8: Giải hệ phương trình:

2

(1)

4 5 8 6 (2)

ì + = + ï

í + + + =

Lời giải: Hiển nhiên y¹0 Chia hai vế của PT(1) cho y5 ¹0 ta được

5

5

æ ö +æ ö= +

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

Hàm số f t( )= +t5 t có f t/( ) 5= t4+ >1 0, "t nên hàm số f t luôn đồng biến nên ( )

2

x y x y

y = Û = Thế

2

x y= vào PT(2) ta được 4x+ +5 x+ =8 6 Tìm được x=1 Vậy hệ có hai nghiệm ( ) ( )x y; = 1;1 và ( ) (x y; = 1; 1- )

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Giải các hệ phương trình sau:

1) 2)

3) 4)

7 6 26 3

x

y

- + - = ï

î

2

2

1

1

2

12 20 0 5) 6)

ln 1 ln 1

2 2

2 7) 8)

2 1

2 2 4 1 0

x

y x

x y

xy

-ì

=

ì

+ = + + + =

ïï

í

+ + = +

2

3

1

ìï í ïî

ì - = -

-ï

í æ - ö+ æ - ö=

-ç ÷

ç ÷

è ø

î