Bài giải đại số sơ cấp

Khi đó ta cóVới điều kiện ban đầu thì tam thức bậc hai trong phuong trình 1 ban đầu ta cũng nhận được.. đpcm To: vb2toan-k2@googlegroups.com Bài 10, Chương 1, $2 Giải: Thật vây, với một

Trang 1

Biến đổi vế trái ta được:

Biến đổi vế phải ta được:

Trang 2

Vế trái là 1 đa thức bậc 3 với x, nhận 3 nghiệm là (b+c), (b-c), (c-b) nên:

Trang 3

SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Wed, May 15, 2013 at 11:08 AMTo: vb2toan-k2@googlegroups.com

Trang 4

Đặt

Khi đó ta có:

Khai triển và rút gọn phương trình (2) ta được:

Do điều kiện ban đầu dẫn đến nên ta chỉ nhận nghiệm:

Trang 5

Khi đó ta có

Với điều kiện ban đầu thì tam thức bậc hai trong phuong trình (1)

ban đầu ta cũng nhận được Như vậy ta có với mọi

Trang 6

Nhận xét: Vế trái của (1) là số vô tỷ, còn vế phải hữu tỉ, số vô tỷ bằng số hữu tỷ là điều vô lý

Vậy không tồn tại các số p,q thỏa mãn đề bài (đpcm)

To: vb2toan-k2@googlegroups.com

Bài 10, Chương 1, $2

Giải:

Thật vây, với một bộ số hữu tỉ tùy ý, ta luôn có thể quy đồng mẫu số các số hữu tỉ đó để được các số hữu tỉ mới có cùng mẫu số.Thay vào phương trình đề cho ta được:

Bây giờ, từ (1) ta có:

Suy ra , thay vào phương trình trên ta được:

Trang 8

Vậy: (đpcm)

Bài 1f, Chương 1, $4

Đề: Cho A, B, C là 3 góc của 1 tam giác Chứng minh rằng:

Từ đó suy ra tổng 3 phân số có dạng bằng tích của chúng

Giải:

Do A, B, C là 3 góc của 1 tam giác nên ta có:

Ta biến đổi tương đương hai vế:

Trang 9

Thay vào biểu thức S ta được:

Trang 10

Trường hợp ta thay vào biểu thức của , khi đó

Trang 13

Ta thử tính một số trường hợp đặc biệt trong tổng đề bài cho như sau:

Trang 14

Từ các biểu thức trên, ta dự đoán mẫu số của bằng với , xem như là đã có công thức tổng quát của mẫu số.

Còn tử số của thay đổi phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của i, ta phải quan sát kỹ các tử số của Nếu giả sử tử số của

là , ta có biểu thức của như sau:

nếu i chẳn

nếu i lẻ

Ta xét từng trường hợp i chẳn và lẻ để tính Tính toán dựa vào công thức:

Lần lượt cho k = 1,3,5, vào công thức (1) ta tính được với i lẻ

Lần lượt cho k = 2,4,6, vào công thức (1) ta tính được với i chẳn

Cả 2 trường hợp đều dẫn đến cùng kết quả là:

Từ đó ta tìm được công thức của Sau đó thử quy nạp lại thấy đúng Nếu thử quy nạp lại mà không đúng nghĩa là ta đã dự đoáncông thức sai và phải dự đoán lại /

Bài 2, Chương 1, Phần làm thêm

Đề: Tìm điều kiện để đa thức là lập phương của một đa thức bậc nhất

Giải:

nghiệm Theo định lý Bezout, f(x) có thể viết lại thành: Từ đó suy ra nghiệm của f(x) có

Trang 15

Áp đụng định lý Viét trong cho phương trình bậc 3, ta có:

Ta thay vào vế trái của đẳng thức trên, ta được:

Sau khi nhân khai triển và rút gọn lại, ta được:

Ta xem vế trái là một đa thức bậc 4 với ẩn a, hệ số bậc cao nhất là Dễ dàng kiểm tra được các giá trị sau đây là nghiệm:

Đo đó đa thức P(a) (vế trái) có thể viết lại thành:

Trang 16

SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Tue, May 21, 2013 at 4:30 PMTo: vb2toan-k2@googlegroups.com

Đề: Đơn giản biểu thức:

Trang 17

Bài 7b, Chương 1, Phần làm thêm

Trang 18

SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Tue, May 21, 2013 at 5:16 PMTo: vb2toan-k2@googlegroups.com

Bài 7f, Chương 1, Phần làm thêm

Bài 8a, Chương 1, Phần làm thêm

Giải:

Biến đổi công thức của x, ta được:

Ta trục căn thức ở mẫu của A, sau đó biến đổi như sau:

Trang 19

Vì A>1 nên ta chỉ nhận nghiệm A=3 (đpcm)

Trang 20

Bài 9c, Chương 1, Phần làm thêm

Trang 21

Xét vế trái của (*):

Vậy ta thấy (*) đúng khi

Ta thấy (**) chính là trường hợp 1 đã được chứng minh, với u đóng vai trò của x, v đóng vai trò của y Suy ra (**) đúng, suy ra (*) đúng.Tổng hợp cả 2 trường hợp, ta có (đpcm)

Đề: Đơn giản biểu thức

Giải:

Điều kiện để A xác định là :

Ta biến đổi A như sau:

Trang 22

Bài 14b, Chương 1, Phần làm thêm

Đề: Tìm điều kiện xác định và đơn giản biểu thức:

Cho hai phương trình f(x)=0 (1), và f(x)g(x)=0 (2) Hãy nêu ví dụ cho các trường hợp:

a) (2) là hệ quả của (1) nhưng (1) không là hệ quả của (2)

b) (1) là hệ quả của (2) nhưng (2) không là hệ quả của (1)

c) (1) và (2) tương đương nhau

d) Hai phương trình không có nghiệm chung

Trang 23

Ta tìm các biểu thức f(x) và g(x) sao cho khi g(x)=0 thì f(x) không xác định (nghĩa là ta loại bớt nghiệm của (2) để được nghiệm của (1)

Rõ ràng (1) và (2) không có nghiệm nào chung

Khi (x,y)=(1,0), thay vào (1) ta được:

Khi (x,y)=(0,1) thay vào (1) ta được:

Lấy một nghiệm khác 0 nào đó thay vào (1a) ta suy ra được Khi đó:

Đến đây ta đã chứng minh được Bây giờ giả sử nếu , khi đó phương trình (1) trở thành phươngtrình đồng nhất có vô số nghiệm (mặt phẳng Oxy), tập nghiệm này lớn hơn nhiều so với tập nghiệm của phương trình (2) (chỉ làđường tròn tâm O, bán kính r=1) Do đó (1) và (2) không tương đương, mâu thuẫn giả thiết, nên

Trang 24

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử m, n là các số không cùng chẵn và UCLN(m,n)=1

Thật vậy, nếu m, n cùng chẵn hay UCLN(m,n)>1 ta đều có thể rút gọn số hữu tỉ để được số hữu tỉ tối giản bằng với

Khi đó ta có:

Vế trái và vế phải của (1) là các số nguyên, mà vế phải chia hết cho 2, nên vế trái cũng chia hết cho 2 Từ đó ta suy ra:

Suy ra là số chẵn Với mỗi số nguyên m, n biểu thức chỉ nhận giá trịchẵn khi m và n cùng chẵn => mâu thuẫn giả thiết m và n không cùng chẵn

Như vậy (*) không có nghiệm hữu tỉ nếu p, q là các số nguyên lẻ => (đpcm)

Trang 25

Do nên có ít nhất hoặc Suy ra trong hai phương trình (1) và (2) có ít nhất một phương trình cónghiệm thực (đpcm).

Trang 26

a) Tìm điều kiện cần và đủ để biểu thức là bình phương của 1 nhị thức bậc nhất theo x.

thức bậc nhất theo x và hơn nữa thì biểu thức cũng có tính chất đó

Giải:

Câu a)

Ta viết A lại dưới dạng tam thức bậc 2 như sau:

Để một tam thức bậc 2 dạng là bình phương của 1 nhị thức bậc nhất theo x thì điều kiện cần và đủ là:

Câu b)

Áp dụng kết quả câu a), theo giả thiết, ta có:

Từ điều kiện (3) ta suy ra c và c' không thể đồng thời bằng 0 Do c và c' có tính đối xứng nhau, nên ta có thể giả sử (Trườnghợp còn lại chứng minh tương tự)

Ta có , thay giá trị a' vào (2) ta suy ra:

Trang 28

SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Thu, May 23, 2013 at 3:57 PMTo: vb2toan-k2@googlegroups.com

chẵn thấy rằng không thỏa (1), nên thử tiếp các giá trị lẻ trong khoảng (-1,0) Các giá trị đặc biệt có thể nhận là:

và ta nhận thấy là nghiệm của (1) Dùng sơ đồ Horner để giải tiếp, ta được:

Vậy phương trình có 3 nghiệm như trên

Bài 11a, Chương 2, $2

Giải:

Do phương trình (1) có tính đối xứng đối với các ẩn x,y,z nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử

Ta có

Do và nên Suy ra (x,y)={(1,1),(1,2),(1,3)} (do )

Với (x,y)=(1,1), thay vào (1) ta được z+2=z => không tồn tại z thỏa (1)

Trang 29

Với (x,y)=(1,2), thay vào (1) ta được z=3.(thỏa )

Với (x,y)=(1,3) thay vào (1) ta được z=2 (không thỏa )

Vậy một nghiệm của (1) là (x,y,z)=(1,2,3) Do tính đối xứng nên hoán vị x,y,z ta được các nghiệm khác là (x,y,z)={(1,3,2), (2,1,3),(2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)}

Bài 11b, Chương 2 $2

Giải:

Trước tiên ta chứng minh nếu (*) có nghiệm là cặp số tự nhiên (x,y), thì

Thật vậy, giả sử (*) có nghiệm (x,y) mà , khi đó (*) trở thành:

Xét vế trái của (1), ta có

Xét vế phải của (1):

Như vậy ta có kết hợp với (2) ta suy ra Vế trái và Vế phải của (1) bằng nhau là vô lý Vậy (*) không có nghiệm(x,y) mà trong đó Vậy ta có

Cho x các giá trị từ 1 đến 6 thay vào vế trái của (*) để tìm y, ta được kết quả sau:

Với x=1, ta có => (x,y) = (1,1)

Vậy (*) có hai nghiệm là (x,y)={(1,1), (3,3)}

Trang 30

Nếu PT đã cho vô nghiệm

Nếu PT đã cho có nghiệm duy nhất là

Bài 4b, Chương 2, $3

Đề: giải và biện luận hệ

Giải:

Trang 31

Điều kiện xác định:

Với điều kiện (*), ta có:

Ta thấy vế trái của (1) là số không âm, nên vế phải của (1) cũng phải không âm, nên ta có , kết hợp điều này với

điều kiện (*) ta suy ra điều kiện chung của nghiệm của (I) là

Với điều kiện (**), ta có:

Để nghiệm của (III) thỏa (**) thì Để nghiệm của (IV) thỏa (**) thì Hơn nữa khi a=0 thì nghiệm của (III) và nghiệm của (IV)trùng nhau x=y=0 Như vậy ta biện luận như sau

Biện luận:

Khi a>0, hệ đã cho vô nghiệm

Khi a=0, hệ đã cho có nghiệm duy nhất x =y = 0

Khi a<0, hệ đã cho có 2 nghiệm:

Trang 32

Biến đổi tương đương BĐT đã cho về 1 BĐT luôn luôn đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.

Trang 34

SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Mon, Jun 3, 2013 at 7:29 PMTo: vb2toan-k2@googlegroups.com

Vậy bài toán đã giải quyết xong

Trang 36

Mà theo BĐT Cauchy, ta có

Đấu "=" xảy ra <=> a=b=c

Trang 37

Vậy g(x)>0 nên ta có f'(x) luôn luôn dương trong khoảng (0,1) Vậy f(x) là hàm tăng trên (0,1) Như vậy

Trang 38

Vậy ta đã chứng minh được hay

Từ (3) ta suy ra hay (2) đúng Vậy (1) đã được chứng minh

a) Khai triển từng số hạng bình phương của vế trái, khai triển bình phương của vế phải, sau đó đơn giản 2 vế Ta được bất đẳng thức

đã cho tương đương với:

Áp dụng Bất đẳng thức BCS ta có:

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

Nhân vế theo vế của (3) và (4) ta suy ra:

Mà theo (2), ta suy ra

Trang 39

Vậy từ (5) ta suy ra:

Từ (2) và (6) ta suy ra (1) đúng Vậy (a) đúng => đpcm

b) Tương tự câu a) ta khai triển từng số hạng bình phương của vế trái, khai triển bình phương của vế phải, sau đó đơn giản 2 vế Tađược bất đẳng thức đã cho tương đương với:

Bất đẳng thức (1) này đã được chứng minh ở câu a) Vậy ta có (b) đúng => đpcm

Ta có

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

Trang 40

Vậy BĐT đã được chứng minh

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số (6-2x), (12-3y), (2x+3y) ta có:

Nhân vế theo vế của 3 BĐT trên, rồi lấy căn hai vế ta thu được:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Vậy tam giác ABC đều

Bài 21, Chương 3, $1

Trang 41

Đề: Tính miny với và a,b,x>0

a) Cộng vế theo vế hai BĐT của (*) ta được:

2x+3z=72 và x+3y=36, b=3

b) Ta biến đổi (*) như sau:

Trang 42

SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Wed, Jun 5, 2013 at 7:33 PMTo: vb2toan-k2@googlegroups.com

Đề: Cho a,b,c,d>0 Chứng minh

Trang 43

Đề: Cho và thỏa điều kiện Chứng minh

Giải:

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm và 1 ta có:

Cho i chạy từ 1 đến n ta thu được n các bất đẳng thức sau:

Nhân vế theo vế của n bất đẳng thức trên, ta được:

Giả sử (3) đúng với n=k Khi đó dễ thấy (3) đúng với n=2k, n=4k, , ,

Thật vậy, giả sử khi n=k, ta có:

Trang 44

thì khi n=2k, ta có:

Vậy (3) đúng với n=2k Tương tự ta có (3) đúng với n=4k, 8k, ,

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh (3) đúng với n=k-1 là bước sau cùng để hoàn tất bài toán

Vậy (3) cũng đúng khi n=k-1

Theo nguyên lý quy nạp lùi, ta đã chứng minh (3) đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy (1) đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Trang 45

Do nên ta có đpcm.

Đề: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC Gọi p là nửa chu vi, S là diện tích Chứng minh:

Nhân 3 bất đẳng thức trên lại với nhau rồi lây căn 2 vế, ta thu được:

Trang 46

Nhân vế theo vế 2 BĐT trên ta thu được

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

Với cách đặt u và v như thế, ta có x và y luôn luôn do đó (I) xác định Vậy ta chỉ cần xét điều kiện

Thay u và v vào (I), ta được:

Trang 47

Giải hệ (III)

Xét phương trình (1) có

: Khi đó (1) vô nghiệm => (III) vô nghiệm

: Khi đó (1) có nghiệm duy nhất (loại) Do đó (III) cũng vô nghiệm

Nghiệm luon luôn âm nên loại Để nhận nghiệm ta phải có:

Khi đó (III) có nghiệm là và nghiệm của (I) là

Giải hệ (IV)

Xét phương trình (2) có

: Khi đó (2) vô nghiệm, suy ra (IV) vô nghiệm

: Khi đó (2) có nghiệm duy nhất Từ đó nghiệm của (IV) là (nhận).Khi đó nghiệm của (I) là

: Khi đó (2) có 2 nghiệm phân biệt:

Trang 48

Điều kiện nhận nghiệm là

Tương tự điều kiện nhận nghiệm ta cũng thu được

Khi đó ta có các nghiệm của (I) là:

Tổng hợp cho ệ (III) và (IV) ta biện luận cho hệ (I) như sau

Biện luận:

Khi hoặc : Hệ đã cho vô nghiệm

Khi : Hệ có nghiệm duy nhất

Khi : Hệ có 2 nghiệm phân biệt

Bài 2a, Chương 2, $4

Đề: Xác định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

Bên lề: Thật ra ngay từ đầu ta không cần đặt u=x-1 mà có thể nhận xét ngay rằng do nên ta suy ra để (1) cónghiệm duy nhất là x thì x=2-x <=> x=1 sau đó thế vào (1) tìm m Cách làm này ngắn hơn tuy nhiên sẽ gặp khó khăn nếu biểu thứcdưới dấu giá trị tuyệt đối không phải là x-1 mà là một biểu thức f(x) phức tạp nào đó thì ta không thấy ngay được Do đó phương pháp

Trang 49

chung là nên đặt ẩn phụ để dễ dàng giải với ẩn phụ sau đó quay về ẩn chính

Với điều kiện (*), ta có:

Đến đây ta khoan vội giải tiếp mà nhận xét 1 chút Ta thấy vế phải của (5) và (6) là những số không âm Nếu nào đó là

nghiệm của (II) mà thỏa điều kiện (1) và (2), thì cũng thỏa luôn (3) và (4), vì

Vậy từ đây ta có thể rút gọn điều kiện (*) trở thành:

Trang 50

: Khi đó (7) vô nghiệm => (IV) vô nghiệm

Khi k= -1, (IV) có nghiệm là (nhận vì thỏa (**)) Khi k=3, (IV) có nghiệm là x=y=0(loại)

Khi đó (7) có 2 nghiệm phân biệt là:

Để nghiệm thỏa (**) ta phải có:

Trang 51

cần là nghiệm đó phải thỏa

Thay x=0 vào (I) ta có:

Vậy ta tìm được hai giá trị của a là a=0 và a=2

Điều kiện đủ: thử lại ta thấy:

Từ đó suy ra: Do đó (1) có nghiệm khi và chỉ khi

Từ đó suy ra (I) có nghiệm duy nhất là (x,y)=(0,1)

Vậy a=0 là giá trị cần tìm

Đề: Chứng minh rằng nếu x1, x2 là nghiệm của phương trình thì ta có là một số nguyên vàkhông chia hết cho 5

Giải:

Phương trình có nên dĩ nhiên có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Theo định lý Viét ta có

Đặt Ta sẽ chứng minh là số nguyên và không chia hết cho 5 với mọi n là số tự nhiên

Đầu tiên ta chứng minh là số nguyên Bằng quy nạp, ta có:

- Giả sử là số nguyên tới n=1,2, ,(k-1),k Ta chứng minh cũng là số nguyên

Ta có:

Trang 52

Do là số nguyên nên cũng là số nguyên

Chứng minh không chia hết cho 5:

Ta sẽ chứng minh điều này bằng quy nạp, ta có:

- Khi n=1,

- Giả sử không chia hết cho 5 Ta chứng minh cũng không chia hết cho 5

Ta có:

Mà

Vậy không chia hết cho 5

Vậy ta có không chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n

Đề: CMR nếu một phương trình đại số với hệ số hữu tỉ có một nghiệm với và c không là số chínhphương của một số hữu tỉ thì phương trình đó cũng nhận làm nghiệm

Giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp

- Khi n = 2

Xét đa thức với m,n,k là số hữu tỉ m khác 0, và nhận làm nghiệm Khi đó ta có:

Vế trái của (1) là số hữu tỉ, còn vế phải là số vô tỷ (vì là số vô tỷ) Nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi

Vậy ta có (2)

Bây giờ, với x = ta có

Trang 53

Do (2) nên ta suy ra ngay Vậy cũng là nghiệm của

Từ đó suy ra khi n=2 thì mệnh đề đúng

- Giả sử mệnh đề đúng đến n=k, nghĩa là nếu đa thức bậc k nhận thì đa thức đó cũng nhận

làm nghiệm Khi đó, theo định lý Bezout, ta có thể phân tích

, trong đó là đa thức có bậc k-2 và có

hệ số hữu tỉ

Sau cùng, ta chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1., tức là cần chứng minh là nghiệm của đa thức

hữu tỉ Ta thấy G(x) là đa thức với hệ số hữu tỉ, có bậc nhỏ hơn hoặc bằng k-1 và nhận làm nghiệm, nên theo giả thiếtquy nạp trên, G(x) nhận làm nghiệm và phân tích được như sau:

trong đó Q''(x) là đa thức với hệ số hữu tỉ bậc nhỏ hơn hoặc bằng k-3

Từ đó suy ra:

Từ biểu thức trên ta thấy cũng là một nghiệm của

Định dạng
Số trang	53
Dung lượng	1,81 MB

Bài giải đại số sơ cấp

Bài 5, Chương 3, Phần làm thêm