Giải phơng trình với m=4.. Tìm m để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt.. Chứng minh rằng: Đờng thẳng MN luôn cắt tia phân giác của góc xOy tại một điểm cố định... Gọi I là giao điểm của M
Trang 1Trờng thpt hậu lộc 4
-*** - Đề thi học sinh giỏi trờng năm học 2009 2010–
Môn thi: Toán 10
Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phát đề
Câu I.(6 điểm)
Cho phơng trình: (x 2) x− ( 2−2mx 2m+ )= − 2x2+ +3x 2
1 Giải phơng trình với m=4
2 Tìm m để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt
Câu II (6 điểm)
1 Giải hệ phơng trình:
8
2 Giải bất phơng trình:
x − + +x x − x+ ≥ x − +x
Câu III.(6 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đờng thẳng (d): x-2y-1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đờng thẳng AB bằng 6
2 Trong mặt phẳng, cho góc xOy 60= 0 M,N là hai điểm lần lợt thay đổi trên 2 tia
Ox và Oy sao cho : 1 1 2009
2010
OM ON Chứng minh rằng: Đờng thẳng MN luôn
cắt tia phân giác của góc xOy tại một điểm cố định
Câu IV.(2 điểm)
Cho x và y là hai số dơng thoả mãn x y 2010+ =
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2010 2010
P
-Hết -Trờng thpt hậu lộc 4
-*** - đáp án và thang điểm thi học sinh giỏi
tr-ờng năm học 2009-2010
Môn thi: Toán 10
Trang 2Câu ý Nội dung Điểm
(3 đ)
* Với m=4 phơng trình trở thành:
(x-2)(x2-8x +8) = -2x2+3x+2
⇔(x-2)( x2-6x+9)=0
⇔x-2=0 hoặc x2-6x+9=0
⇔x=2 hoặc x=3
1 1 1
2
(3 đ)
Ta có:
(x-2)(x2-2mx+2m) = (x-2)(-2x-1) (1)
⇔(x-2)[x2-2(m-1)x+2m+1]=0
⇔x-2=0 hoặc x2-2(m-1)x+2m+1=0 (2)
Để phơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì cần và đủ là phơng trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2
⇔
2
∆ = − − + >
− − + + ≠
⇔
9 2
m
> <
≠
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5
0.5
II 1
2 2
= +
= +
Khi đó hệ trở thành:
8 12
u v uv
+ =
=
Suy ra u, v là nghiệm của phơng trình t2-8t+12=0 ⇔t=2 hoặc t=6 TH1 : Nếu u=2 thì v=6, khi đó ta có hệ :
2 2
2 6
x x
y y
+ = + = ⇔
1 ặ 2
3 ặc 2
x ho c x
Khi hệ có các nghiệm: (1;-3), (1;2), (-2;-3), (-2;2)
TH2: Nếu u=6 thì v=2, khi đó ta có hệ:
2 2
6 2
x x
y y
+ = + = ⇔
= = −
Khi đó hệ có các nghiệm: (-3;1), (-3;-2), (2;1), (2;-2) Vậy hệ đã cho có các nghiệm: (1;-3), (1;2), (-2;-3), (-2;2), (-3;1), (-3;-2), (2;1), (2;-2)
0.5
0.5
0.5 0.5
0.5
0.5
Trang 3(3đ)
* Điều kiện:
2 2 2
− + ≥
− + ≥
⇔ x ≤ 1 ặc ho x ≥ 4
( x − 1)( x − + 2) ( x − 1)( x − ≥ 3) 2 ( x − 1)( x − 4) (1)
TH1: Nếu x 1≤ Khi đó:
(1)⇔ (1 − x )(2 − + x ) (1 − x )(3 − x ) 2 (1 ≥ − x )(4 − x )
⇔ 1 − x 2 − + x 1 − x 3 − ≥ x 2 1 − x 4 − x
⇔ 1 − x ( 2 − + x 3 − − x 2 4 − x ) 0 ≥ (2)
+ Với x=1 thoả mãn (2) nên x=1 là một nghiệm của bpt
+Với x<1 thì 1− >x 0 nên ta có:
(2) ⇔ 2 − + x 3 − − x 2 4 − ≥ x 0
⇔ 2 − + x 3 − ≥ x 2 4 − x
⇔ ( 2 − + x 3 − x )2 ≥ 4(4 − x )
⇔ 2 2 − x 3 − ≥ − x 11 2 x
⇔ 4(2 − x )(3 − ≥ x ) (11 2 ) − x 2(Vì x<1)
⇔ 97
24
x ≥ không thoả mãn x<1
TH2: Nếu x 4≥ Khi đó:
(1) ⇔ x − 1 x − + 2 x − 1 x − ≥ 3 2 x − 1 x − 4
⇔ x − 1( x − + 2 x − − 3 2 x − ≥ 4) 0
⇔ x − + 2 x − − 3 2 x − ≥ 4 0 ( Vì x 4≥ nên x-1>0)
⇔ x − + 2 x − ≥ 3 2 x − 4
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Trang 4⇔ 2 ( x − 2)( x − ≥ 3) 2 x − 11 (3)
+ Nếu 4 11
2
x
≤ ≤ hiển nhiên thoả mãn (3) vì VP≥ ≥ 0 VT
+ Nếu 11
2
x> ta có:
(3) ⇔ 4( x − 2)( x − ≥ 3) (2 x − 11)2
⇔ 97
24
x ≥ kết hợp với điều kiện suy ra bpt có nghiệm 11
2
x>
Vậy bpt có tập nghiệm là: S={ }1 ∪[4; +∞).
0.5
III 1
(5đ)
Phơng trình đờng thẳng AB:
1 1 4 3 7 0.
3 4
x− = y− ⇔ x+ − =y
−
Giả sử C(x; y) Theo giả thiết ta có: x-2y-1=0 (1)
d(C, AB) =6 ⇔ 4 3 7 6
2 2
4 3
x− − =y
4 3 37 0 (2 )
4 3 23 0 (2 )
+ − = + + =
* Giải hệ (1), (2a) ta đợc C1(7;3).
* Giải hệ (1), (2b) ta đợc 43 27
( ; ) 1
1
0.5 1,5
1 1
2
(1đ)
Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy Suy ra Ot cố định Gọi I là giao điểm của MN với tia Ot Ta sẽ chứng minh I
là điểm cố định
Thật vậy:
OMN
S∆
=21OM.ON.sinMON
=
2
1OM.ON.sin600 =
2
3OM.ON (1)
OMN
S∆ = S∆OMI +S∆ONI =
2
1
OM.OI.sinMOI + 21ON.OI.sinNOI=
=
2
1(OM+ON).OI.sin300 =
4
1 (OM+ON).OI (2)
0.25
0.25
0.25
0.25
O
M
I N
x
t y
Trang 5Từ (1) và (2) suy ra 1 1 ( 1 1 ) 2009
OM ON
+
Theo BĐT Côsi ta có
y x y
4 1
1
Đẳng thức xảy ra khi x=y (2)
Theo BĐT Bunhiacỗpski ta có
2
Đẳng thức xảy ra khi x=y
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra 2010.4 4020 4020
4020
Đẳng thức xảy ra khi x=y
Vậy P đạt GTNN là 4020 khi x=y=1005
0.5
0.5
0.5
0.5