Hỏi lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có hai chữ số 1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác số 1.. E là trung điểm của AB.Trên hai đờng thẳng BC và BD lần lợt lấy điểm M và N sa
Trang 1TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4
-*** -ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009 – 2010
Mụn thi: TOÁN - Khối 11
(Thời gian làm bài 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề)
Cõu I: (4 điểm)
Cho phương trỡnh: (3-m)sinx – 4sin3x = (2-m)(1-cos2x)
1 Giải phương trỡnh với m = 3
2 Tỡm m để phương trỡnh đó cho cú 10 nghiệm thuộc (0;3π)
Cõu II: (5 điểm)
Cho khai triển (1 2 )n 0 1 n
n
+ = + + + , trong đú n∈N*
1 Tớnh 1
n n
a a
A a= + + + với n= 10
2 Biết cỏc hệ số a a0, , ,1 a n thỏa món hệ thức 3
a + + +a a = Tỡm số lớn nhất trong cỏc số a a0, , ,1 a n
Cõu III: (4 điểm)
1 Cho các số 1, 2, 3, 4 Hỏi lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có hai chữ số
1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác số 1
2 Tớnh giới hạn: ( )
x
x x
x
1 3 1 2 1 lim
3 0
− + +
→
Cõu IV: (5 điểm)
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a E là trung điểm của AB.Trên hai đờng thẳng BC và
BD lần lợt lấy điểm M và N sao cho C là trung điểm của BM, D là trung điểm của
BN EM cắt AC tại I, EN cắt AD tại J
1 Chứng minh IJ // (BCD)
2 Tính diện tích tam giác EIJ theo a
Cõu V: (2 điểm)
Cho phương trỡnh: 8 1 2x( − x2) (8x4 −8x2 + =1) 1
Xỏc định số nghiệm của phương trỡnh trờn đoạn [0;1]
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ……… … .SBD:……… lớp:………
Trang 2TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4
-*** -ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HSG MễN TOÁN KHỐI 11 NĂM HỌC 2009 – 2010
Với m = 3 ta cú: (1) ⇔– 4sin3x = cos2x – 1
=
4sin 2sin 0 sin 0
1 sin 2
x x
0,5 0,5 0,5
π
=
2 (k Z) 6
5
2 6
x k
0,5
I.2 Tỡm m để phương trỡnh đó cho cú 10 nghiệm thuộc (0;3π) 2,0
( ) ( ) ( )
2 (1) sin 4sin 2(2 )sin 3 0
sin 0 2
1 sin 2 3
3 sin 4
2
x x m x
−
0,25
0,5
Vì x∈(0;3π) nên pt(2) có nghiệm làx =π,x=2π
pt(3) nghiệm là , 5 , 13 , 17
x =π x = π x= π x = π
Vậy để pt (1) có 10 nghiệm thuộc(0;3π)thì pt(4) có 4 nghiệm pb khác các nghiệm của pt(2) v pt(3).à
Biện luận để (4) có 4 nghiệm thoả mãn
là
−
< <
4
2
m
m
0,5
Trang 3II Cho khai triển (1 2 )n 0 1 n
n
n n
a a
n
f x = + x = +a a x+ +a x
1 0
n n n
n
a a
⇒ = + + + = ữ = + ữ =
Với n= 10 ta cú A = 210 = 1024
0,5 1,0 0,5
II.2 Biết cỏc hệ số a a0, , ,1 a n thỏa món hệ thức 3
a + + +a a =
n
Với mọi k∈{0,1, 2, ,11} ta cú 2k 12k,
k
1 2k 12k k
12
1 1
k k k
k k k
k
+
+
< ⇔ < ⇔ < ⇔ <
Do đú a0 < < <a1 a8
1,0
Tương tự
1
k k
a
k
a + > ⇔ > , do đú a8 >a9 > > a12
Vậy số lớn nhất trong cỏc số a a0, , ,1 a12 là 8 8
1,0
III.1 Cho các số 1, 2, 3, 4 Hỏi lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có hai chữ số 1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác số 1. 2,0
Mỗi số có 5 chữ số gồm 2 số 1 và 3 số khác là hoán vị 5 phần tử 1,1,2,3,4
do 2 số 1 khi hoán vị vẫn đợc 1 số vậy các số cần lập là 5
2 60
P
P =
1,0 1,0
III.2 Tớnh giới hạn: ( )
x
x x
x
1 3 1 2 1 lim
3 0
− + +
3 0
0
1 2 1 3 1 lim
1 2 1 3 1 2 + 1 2 1 lim
x
x
x
x
→
→
=
0,5
lim 0
x
Trang 4( )3( ) ( )3
1 2 1 3 1 1 2 1
3 6 15
= + =
IV
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a E là trung điểm của AB.Trên hai
đờng thẳng BC và BD lần lợt lấy điểm M và N sao cho C là trung
điểm của BM, D là trung điểm của BN EM cắt AC tại I, EN cắt
AD tại J
5,0
Có I,J lần lợt là trọng tâm của tam giác ABM và ABN
CD J I AD
J A AC
AI
//
3
2
⇒
=
=
⇒
Mà CD⊂(BCD)⇒IJ / /(BCD)
0,25
1,0 0,5 0,25
Chỉ ra tam giác EIJ cân tại E 1,0
36
13 60
cos 2
2 0
2 2
AI AE AI
AE
Có 2 2
a
2 2
36 3 2
0,5
Trang 56
EIJ
a
S∆
V Cho phương trình: 8 1 2x( − x2) (8x4 −8x2 + =1) 1
Do x∈[ ]0;1 nên đặt x=sint, suy ra 0;
2
t π
∈ Pt (1) đã cho trở thành: 8sin 1 2sint( − 2t) (8sin4t−8sin2t+ =1) 1 0,5 8sin cos 2 cos 4t t t 1 (2)
Nhận thấy cost = 0 không phải là nghiệm, ta có:
(2) ⇔8cos sin cos2 cos4t t t t =cos t
⇔sin8t =cost
2 , k Z
18 9 2 , l Z
14 7
k t
l t
⇔
0,5
Vì 0;
2
t π
∈ cho nên chỉ có k= 0, k = 1, l = 0, l = 1 thoả mãn.
18 18 14 14
Mặt khác: số nghiệm của pt (2) với 0;
2
t π
∈ bằng số nghiệm của
pt (1) với x∈[ ]0;1 Vậy, trên đoạn [ ]0;1 pt (1) có bốn nghiệm là:
sin ; sin5 ; sin ; sin5
x= π x= π x = π x= π
0,5