HAI PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

Phương pháp đổi biến: Phương pháp đổi biến được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định.. Phương pháp đổi biến số để xác định các nguyên hàm có hai dạng dựa trên định

hai phương pháp tính nguyên hàm

I Phương pháp đổi biến:

Phương pháp đổi biến được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định Phương pháp đổi biến số để xác định các nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:

b) Nếu hàm f (x) liên tục thì khi ta đặt x = ϕ(t) trong đó ϕ(t) cùng với

đạo hàm ϕ0(t) của nó là những hàm số liên tục, ta sẽ được:

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn biến phụ:

1cos2t +

2sin t cos t)dt.

Chú ý: ở lời giải trên, ta có kết quả cotg2t ư tg2t = 4x√

4 cos 2tsin22t =

4p1 ư sin22tsin22t

sin 2t

r

1sin22t ư 1 = 4xpx2 ư 1

tg t = sin t

cos t =

1 ư cos 2tsin 2t =

1sin 2t ư

r

1sin22t ư 1 = x ư px2 ư 1

Ví dụ 3. Tính tích phân bất định: I =

Z

dxp(1 + x2)3

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn biến phụ:

• Dấu hiệu hàm có mẫu số: chọn t là mẫu số.

−x − a + √−x − b.

Ví dụ 4. Tính tích phân bất định: I =

Zcos x sin3x

Z(t7 − t4)dt = 3

t ư 1

t + 1

+ C = ln

t = ư2 ln |pư(x + 1) + pư(x + 2)| + C

II Phương pháp tích phân từng phần:

Từ công thức đạo hàm của hàm tích suy ra:

Zudv = uv ư

Zvdu

Sử dụng công thức nầy ta có các bước tính tích phân I =

Z

f (x)dx, như sau:

• Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:

• Bước 3: Khi đó: I = uv ư

Zvdu.

Lưu ý: Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta cần tuân thủ nguyên tắc sau:

• Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng.

• Tích phân

Zvdu tính được dễ hơn so với

I = x

2[cos(ln x) + sin(ln x)] + C.

Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu tính cả hai tích phân:

Zsin(ln x)dx;

Zcos(ln x)dx,

ta sử dụng công thức tích phân từng phần cho cả hai tích phân rồi cộng

vế và trừ vế để suy ra tích phân cần tính.

Ví dụ 12: Tính tích phân bất định: I =

Z ln(cos x)cos2x dx.

dv = sin αxdx , bằng cách nầy ta phải tích phân

từng phần nhiều lần (số lần ít nhất bằng bậc của đa thức P (x)).

• Cách 2: Phương pháp hằng số bất định Thực hiện các bước sau:

+ Bước 1. Ta có:

I =

Z

P (x) cos αxdx = A(x) sin αx + B(x) cos αx + C (1)

trong đó A(x) và B(x) là hai đa thức cùng bậc với P (x).

+ Bước 2. Lấy đạo hàm hai vế của (1), đựơc:

P (x) cos αx = [A0(x) + B(x)] sin αx + [A(x) + B0(x)] cos αx

(2)

Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được các đa thức A(x), B(x).

+ Bước 3. Kết luận.

Nhận xét. Nếu bậc của đa thức P (x) lớn hơn hoặc bằng 3 thì cách

1 cồng kềnh hơn cách 2 Do đó ta đi tới nhận định sau:

? Nếu bậc của P (x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1

Ta có: I =

Z(x3 − x2 + 2x − 3) sin xdx = P3(x) cos x + Q3(x) sin x

ex.(1 + cos 2x)dx = (a + b cos 2x + c sin 2x)ex + C.

Lấy đạo hàm hai vế rồi đồng nhất ta được hệ phương trình:

b = 110

2[A(x) + B(x)] + C.

VÝ dô 19: TÝnh I =

Z

sin xsin x − cos xdx; J =

Z

cos4xsin4x + cos4xdx.

Hµm phô cho I lµ g(x) = cos x

sin x − cos x vµ J lµ g(x) =

sin4xsin4x + cos4x.

cos xdx

K =

Zcos2xdx

x2 + 2x + 2

K =

Z

(6x3 + 8x + 1)dx(3x2 + 4)√

Z

dx2x√2x + 1

M =

Z

sin xdxcos x√

Chó ý: TÝch ph©n

b

Z

a

f (x) dx chØ phô thuéc f, a, b kh«ng phô thuéc c¸ch

ký hiÖu biÕn lÊy tÝch ph©n:

Chú ý: Nếu biết tận dụng ý nghĩa hình học của tích phân, trong nhiều

trường hợp ta có ngay được đáp số của một tích phân tương đối phức tạp.

2 đường tròn nên theo ý nghĩa hình học của tích phân thì I

là diện tích của nửa đường tròn này: I = πa2

sin2tdt = 1

2

π 2Z

o

(1 − cos 2t)dt = π

8 − 1

4.

VÝ dô 2. TÝnh I =

2

√ 3Z

sin t

r1sin2t − 1

= dt

I = −

π 3Z

π 2

dt =

π 2Z

π 3

1 2

lại đổi biến u = sin t (đổi biến ng−ợc)

u2(1 − u2) =

√3

√ 2 2Z

1 2

u − 1

u + 1

sin x

2 + cos

x2

dx

= √

2

Z 2π 0

sin x

2 +

π4

dx

Các dấu hiệu đổi biến:

(i) Lẻ theo sin x, đặt t = cos x

(ii) Lẻ theo cos x, đặt t = sin x

(iii) Chẵn theo sin x và cos x, đặt t = tg x (hoặc t = cotg x).

Ngoài ra mọi tích phân đều có thể đặt t = tg x

(1 − t2)t2dt = 2

15.

* Tính J : J = 2

Z π 4

2tdt

3 + t = −2

Z 0 1

tdt

t + 3 = 2

Z 1 0

t + 3 − 3

t + 3 dt

= 2(t − 3 ln |t + 3|)

1 0

Z π 3

π 6

dxsin4x cos x.

Ví dụ 7 Tính I =

Z π 4

0

cos x + sin xp4 − (sin x − cos x)2dx

Đổi biến t = sin x − cos x, ta đ−ợc I =

0

sin x + 7 cos x + 6

4 sin x + 3 cos x + 5dx.

Tính I : Đặt t = tg x

2, ta đ−ợc I =

Z 1 0

dt

t + 1 = ln |t + 1|

1 0

0

sin 2xdx

|a| = −

14|a|.

(ii) a 6= b : đổi biến t =

0

(2x − 1) cos2xdx

Ví dụ 10 Tính I

Z 1 0

x tg2dx

I =

Z 1 0

cos2x − 1
dx =

Z 1 0

xdxcos2x −

Z 1 0

xdx

Tích phân từng phần vào tích phân thứ nhất, ta đ−ợc I = tg 1+ln(cos 1)

x + sin xcos2x dx. (§S:

π√3

0

cos32xdx = 1

4

Z π 2

8(2 + 3 cos 2x + 2 cos 4x + cos 6x).

(ii) §æi biÕn t = π

2 − x ta ®−îc I = J TÝnh I + J ta sÏ suy ra ®−îc I.

Bµi tËp TÝnh I =

Z π 0

x cos4x sin3xdx (§S: 2π

35).

VÝ dô 12 TÝnh I =

Z π 2

0

sinnxsinn x + cosnxdx.

§æi biÕn t = π

2 − x

VÝ dô 13 TÝnh I =

Z π 2

√

x2 + 1dx

(i) §æi biÕnx = tg t −→

Z π 4

0

cos tdt(1 − sin2t)2

u=sin t

−→

Z

√ 2 2

0

du(u + 1)2(u − 1)2

(ii) §æi biÕn t = x +√

dx

ex − e−x

I =

Z 2 1

exdx

e2x − 1 =

Z 2 1

ex − 1

ex + 1

2 1

= 12

VÝ dô 2 Gäi In =

Z 1 0

e−(n−1)x

1 + e−xdx =

Z 1 0

ex + 1 − ex

ex(ex + 1) dx =

Z 1 0

dx

ex + 1;

Z ln 2 0

dx

5 + ex;

Z ln 2 0

(1 + ex)2

ex dx

§æi biÕn t = ex, ta ®−îc I =

Z e 1

√

2 + ln x2x dx.

§æi biÕn t = ln x =⇒ dt = dx

x . Ta ®−îc

I =

Z 1 0

dt

t2 − 1 = ln

...

II Phương pháp tích phân phần:

Từ cơng thức đạo hàm hàm tích suy ra:

Zudv = uv

Zvdu

Sử dụng cơng thức nầy ta có bước tính tích phân... class="page_container" data-page="24">

cho thấy việc nhìn nhận tính chất cận đặc tính hàm số dấu tích phân để từ lựa chọn phương pháp giải quan trọng.

Tuy nhiên làm thi nên... (x) là hàm lẻ, đó I =

Chú ý: Khi gặp dạng tích phân thường ta nghĩ tới phương pháp< /small>

tích phân phần, nhiên chưa phải giải pháp tốt Điều