Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.. Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện sẽ là trung ñiểm của MN.. b Tính bán kính mặt cầu này.. Tính bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp.. Gọi r là bá
Trang 1Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=c; AC=BD=b; AD=BC=c
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Giải:
Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của BC và AD
Vì ABC∆ = ∆DBC⇒AM =DM ⇒MN ⊥ AD Tương tự: MN ⊥BC
Vậy MN là ñoạn vuông góc chung của AD và BC Hay MN là ñường trung trực của AD
và BC
Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện sẽ là trung ñiểm của MN
Ta có:
2 2 2
Vậy:
2 2 2
S = π = π + + =π + +
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có tất cả các cạnh ñáy và cạnh bên ñều bằng a Gọi A’, B’,
C’, D’lần lượt là trung ñiểm của SA,SB,SC,SD
a) CMR: Các ñiểm A,B,C,D,A’,B’,C’,D’ cùng thuộc một mặt cầu (C)
b) Tính bán kính mặt cầu này
Giải:
a) Gọi O, O’ lần lượt là tâm các hình vuông ABCD, A’B’C’D’
Khi ñó OO '⊥(ABCD v) à OO '⊥( ' 'A B C D' ') và OO’ là trục ñường tròn ngoại tiếp các hình vuông ấy
⇒ Tâm I của hình cầu cần tìm thuộc OO’ và nằm ngoài OO’
ðặt:
OO '
x
Vậy 8 ñiểm A,B,C,D, A’,B’,C’,D’ cùng thuộc mặt cầu tâm I
Trang 2b) Bán kính :
10
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB) và
(SAD) cung vuông góc với ñáy, SA=a
Tính bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp
Giải:
Vì
Tương tự AB ⊥ SA
Ta hoàn toàn chứng minh ñược SB⊥BC và SD⊥DC
2
2
a a a a
TP
a
□
a
2
TP
r S
r = ⇒ = −
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có 4 chiều cao kẽ từ 4 ñỉnh lần lượt là h1, h2 ,h3 ,h4 Gọi r là bán
kính hình cầu nội tiếp tứ diện
CMR:
Giải:
Gọi diện tích các mặt ñối diện với các ñỉnh lần lượt là S1,S2,S3,S4 ta có:
TP
Bài 5: Cho tam giacs cân ABC có 0
120
BAC
∠ = và ñường cao AH =a 2 Trên ñường thẳng ∆ vuông góc với (ABC) tại A lấy 2 ñiểm I,J ở 2 bên ñiểm A sao cho: IBC là tam giác ñều,
JBC là tam giác vuông cân
a) Tính các cạnh của ∆ ABC
b) Tính AI, AJ và chứng minh các tam giác BIJ và CIJ là các tam giác vuông
Trang 3c) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC, IABC
Giải:
a) Các bạn tự tính ra ta ñược:AB=AC =2a 2;BC=2a 6
b) Các bạn sẽ tính ñược AI=4a và AJ=6a
Ta thấy IJ=AI+AJ=2a+4a=6a và IB2 + JB2 =24a2+12a2 = 36a2
ðiều này chứng tỏ tam giác BIJ vuông tại B, tương tự ta cũng chứng minh ñược tam giác CIJ
vuông tại C
90
IBJ ICJ
∠ = ∠ = ðiều này chứng tỏ B,C nằm trên mặt cầu ñường kính IJ, bán kính
1
IJ 6
3
a
R = = = a
Vì tam giác ABC cân tại A nên ñường cao Ah cũng là ñường trung trực
⇒ Tâm A’ của ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên AH
sin
BC
A
= ⇒ = = nên A’ ñối xứng với A qua BC
Gọi K là trung ñiểm của AI, Tâm L của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC là giao ñiểm của trục
A’x của ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trung trực của ñoạn Az nằm trong mp (AIH)
Bán kính mặt cầu ñó là:
2
4
AI
R =LA= AK +LK = + AH = a + a = a
……….Hết………
Nguồn: Hocmai.vn
