T57 Dinh li Vi et vµ ung dung

Tìm hai số đó.. Các nghiệm này chính là hai số cần tìm.. Giải : Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình... Vậy không có hai số nào có tổng bằmg 1 và tích bằng 5... Không giải ph ơng tr

Giải phương trình: 2x2 - 9x + 7 = 0

Giải:

= (-9)2 – 4.2.7 = 81 - 56 = 25 > 0    5

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Ta có : a = 2, b= - 9, c = 7

Tính x1 + x2, x1.x2 ?

1 2

1 2

  

b a

 

c a



Nếu phương trình bậc hai ax2 +

bx +c = 0 có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép ta đều có thể viết các nghiệm

đó dưới dạng:

a

b x

, a

b x

2

1

















?1 H·y tÝnh : x1+x2, x1 x2

1 2

x x

-b + Δ + (-b) - Δ

=

2a -2b

2a

- b

a

1 2

x x

         

2

4 4

ac a

  c

a

1 HÖ thøc vi- Ðt

F.Viète(1540-1603)

§Þnh lÝ vi- Ðt

1 2











b

a c

x x

a

Bµi tËp1:

Biết rằng các phương trình sau có nghiệm, không giải phương trình, hãy tính tổng và tích của chúng:

Gi¶i

a) x1+ x2 =

x1.x2 = 1

2 2

 



b) x1+ x2 =

x1.x2=

6 2 3







1 1

3 3







¸p dông

§Þnh lÝ vi- Ðt

NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh

ax 2 + bx + c= 0 (a 0) ≠ th×





















a

c x

x

a

b x

x

2 1 2 1

Hoạt Động nhóm Làm ?2

Cho ph ơng trình 2x2 - 5x + 3 = 0.

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính

a + b + c.

b) Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm của ph

ơng trình.

c) Dùng định lý Vi- ét để tìm x2

Làm ?3

Cho ph ơng trình 3x2 + 7x + 4=0.

a) Chỉ rõ các hệ số a, b, c của ph

ơng trình và tính a – b + c b) Chứng tỏ x1 = -1 là một nghiệm của ph ơng trình.

c) Tìm nghiệm x2.

áp dụng

Định lí vi- ét

Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của ph ơng trình

ax 2 + bx + c= 0 (a 0) ≠ thì





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Tổng quát 1 : Nếu ph ơng trình ax 2 +bx+c=0

(a≠ 0) có a+b+c= 0 thì ph ơng trình có m t ột

nghiệm x 1 =1, còn nghiệm kia là 2 c

a



x

Hoạt Động nhóm

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.

trình.

Trả lời:

a) a =2; b = - 5; c = 3 a+b+c =2+(-5)+3=0 b) Thay x=1 vào phương trỡnh ta được: 2+(-5)+3=0

Vậy x=1 là một nghiệm của phương trỡnh

Định lí vi- ét

Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của ph ơng trình

ax 2 + bx + c= 0 (a 0) ≠ thì





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

c a

¸p dông

Tæng qu¸t 1 : NÕu ph ¬ng tr×nh ax 2 +bx+c= 0

(a≠ 0) cã a+b+c=0 th× ph ¬ng tr×nh cã mét

nghiÖm x 1 =1, cßn nghiÖm kia lµ 2 c

x =

a

Tæng qu¸t 2 : NÕu ph ¬ng tr×nh ax 2 +bx+c=0

Ho¹t §éng nhãm

Trả lời

a) a =3; b = 7; c = 4 a-b+c = 3 - 7 + 4 = 0 b) Thay x= -1 vào phương trình ta được: 3+(-7)+4=0

Vậy x= -1 là một nghiệm của phương trình

§Þnh lÝ vi- Ðt

NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh

ax 2 + bx + c= 0 (a 0) ≠ th× 1 2

1 2













b

a c

x x

a

2

c

x =

-a

4 1

3

 

    c  c 

c a

a) ChØ râ c¸c hÖ sè a, b, c cña ph ¬ng tr×nh

vµ tÝnh a – b + c

¬ng tr×nh.

¸p dông

?4 TÝnh nhÈm nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh

a) -5x2 +3x +2 = 0

b) 2004x2 +2005x +1= 0

cã a=2004, b=2005, c=1

Cã a - b + c = 2004-2005+1=0

2004

Cã a + b + c= -5+3+2= 0.





x

Lêi gi¶i

Tæng qu¸t 1 : NÕu ph ¬ng tr×nh ax 2 +bx+c= 0

(a≠ 0) cã a+b+c=0 th× ph ¬ng tr×nh cã mét

nghiÖm x 1 =1, cßn nghiÖm kia lµ 2 c

x =

a

2

c

x =

-a

Tæng qu¸t 2: NÕu ph ¬ng tr×nh ax 2 +bx+c= 0

(a 0 ≠ ) cã a-b+c = 0 th× ph ¬ng tr×nh cã mét

nghiÖm x 1 = -1, cßn nghiÖm kia lµ

§Þnh lÝ vi- Ðt

NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh

ax 2 + bx + c= 0 (a 0) ≠ th×

Chuye n





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Định lí Vi-ét: Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK)

Tổng quát 2:(SGK)

2 Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng

ơng trình x 2 – Sx + P = 0 Sx + P = 0

B i toán: ài toán: Cho hai số có tổng l S và ài toán: tích bằng P Tìm hai số đó.

x(S – Sx + P = 0 x) = P

Nếu Δ= S 2 - 4P ≥0 thì ph ơng trình (1) có nghiệm Các nghiệm này chính là hai số cần tìm.

bằng 27, tích của chúng bằng 180

Giải :

Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12

S -x.

Theo giả thiết ta có ph ơng trình

 x 2 - Sx + P= 0 (1)

9 3

Giải

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK)

Tổng quát 2:(SGK)

2 Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng

P thì hai số đó là hai nghiệm của ph

ơng trình x 2 – Sx + P = 0 Sx + P = 0

áp dụng

tích của chúng bằng 5

Giải

- x + 5 = 0

Ph ơng trình vô nghiệm

Vậy không có hai số nào có tổng bằmg 1 và tích bằng 5

Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của ph ơng trình

x2-5x+6 = 0

Giải

Δ = 25 – 24 = 1>0

Vì: 2+3 =5; 2.3 = 6, nên x1= 2, x2= 3 là hai nghiệm của ph

ơng trình đã cho

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét:

Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của ph ơng

trình ax 2 + bx + c= 0 (a≠0) thì           a c x x a b x x 2 1 2 1 áp dụng Tổng quát 1 :(SGK) Tổng quát 2:(SGK) 2.Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng : Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng trình x 2 – Sx + P = 0

Sx + P = 0

Điều kiện: S 2 -4P ≥0 Luyện tập Bài tập 25: Đối với mỗi ph ơng trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có) Không giải ph ơng trình, hãy điền vào những chỗ trống ( )

a) 2x2- 17x+1= 0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

b) 5x2- x- 35 = 0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

c) 8x2- x+1=0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

d) 25x2 + 10x+1= 0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

2

1 2

5

-7

-31

5

 1

25

Khụng cú Khụng cú

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét: Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm

1 2

1 2













b

x x

a c

x x

a

áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK)

Tổng quát 2:(SGK)

2.Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

ph ơng trình x 2 – Sx + P = 0 Sx

+ P = 0

Bài 27Tr53 SGK Dùng hệ thức Vi-ét

để tính nhẩm các nghiệm của ph ơng trình.

a) x2 – Sx + P = 0 7x+12= 0 (1) b) x2+7x+13=0 (2)

Giải

Theo Vi-ét x1+x2= 7 và x1.x2 = 12 nên x1=3, x2= 4 là hai nghi m ệm

c a ph ơng trình (1) ủa phương trình (1)

Ph ơng trình (2) vô nghiệm.

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét: Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK)

Tổng quát 2:(SGK)

2.Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

ph ơng trình x2 - Sx +

P = 0

Hai soỏ u vaứ v laứ hai nghieọm cuỷa

Tỡm hai soỏ u vaứ v bieỏt:

u + v=32, u.v = 231

H ớng dẫn

* Dựng điều kiện a+b+c=0 hoặc a-b+c=0 để tớnh nhẩm nghiệm

Giải

Ta có a=1, b= - 6, c=5

Có a + b + c = 1+(- 6) + 5 = 0.

Nờn phương trỡnh cú hai nghiệm là:

1 1; 2 c 5

a

* Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm.

 x 1 =1, x 2 = 5 là hai nghiệm c a ph ơng trình ủa phương trình (1)

Giải

’ = 9 – 5 = 4>0

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét:





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Tổng quát 2:(SGK)

2.Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

ph ơng trình x 2 – Sx + P = 0

Sx + P = 0

Hướng dẫn

- Học thuộc định lớ Vi-ột và cỏch tỡm

hai số biết tổng và tớch

- Nắm vững cỏch nhẩm nghiệm: a+b+c=0; a-b+c=0

- Trường hợp tổng và tớch của hai nghiệm ( S và P) là những số nguyờn

cú giỏ trị tuyệt đối khụng quỏ lớn

Bổ sung thờm: Bài tập 38,41 trang 43,44 SBT

Bài: 28 (SGK) Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: b) u+v= -8, u.v = -105 c) u+v=2, u.v=9 Chú ý: u+v= S và uv= P -Hai số u và v là hai nghiệm của phương trình:

x 2 – Sx + P=0 ( Δ = S 2 - 4P 0 ≥0 )

Bài 29: (SGK) Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:

a) 4x 2 + 2x - 5 = 0 b) 9x 2 - 12x + 4 = 0 c) 5x 2 + x + 2 = 0 d)159x 2 - 2x -1 = 0 Chú ý: -Xét phương trình có nghiệm : (hay ac < 0)

-Rồi tính tổng x 1 +x 2 ; tích x 1 x 2

0

 

b) Bài sắp học: