T57-Hệ thức Vi-et và ứng dụng

Tỡm hai số biết tổng và tớch của chỳng Giả sử hai số cần tỡm cú tổng bằng S và tớch bằng P.. Cỏc nghiệm này chớnh là hai số cần tỡm... Tổng quát: SGK2... Tổng quát: SGK2.. Vậy không có

Viết công thức nghiệm của phương trình bậc hai.

KIỂM TRA BÀI CŨ

Giải phương trình: 2x2 - 5x + 3 = 0

Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1 Hệ thức Vi-et Nếu pt bậc hai ax 2 + bx + c = 0

có nghiệm thì ta có thể viết các nghiệm đó dưới dạng:

Hãy tính x 1 + x 2 , x 1 x 2

?1

-b +Δ + (-b) - Δ -2b -b

x

a

b -Δ b - (b - 4ac) 4ac

c

x x

a

Giải

=

1 2

a

×

1 2

a

Phrăng-xoa Vi-et (1540-1603) nhà Toán học nổi tiếng người Pháp đã phát hiện ra mối liên

hệ giữa các nghiệm và các hệ

số của phương trình bậc hai vào đầu thế kỉ XVII, ngày nay

nó được phát biểu thành một định lí mang tên ông.

F.Viète

Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của

pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

a) Định lí Vi- et

Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1 Hệ thức Vi-et

Bài 25 (SGK) : Đối với mỗi pt sau, kí hiệu x 1 và x 2 là hai nghiệm (nếu có) Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (…)

b) Áp dụng

∆ =

x 1 + x 2 = , x 1 x 2 =

a ) 2x 2 - 17x + 1 = 0

(-17)2 – 4.2.1 = 281 > 0

1 2

17

…

…

NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña

pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) th×

a) Định lí Vi- et

=

x + x -b

a

×

1 2

x x = c

a

∆ =

x 1 + x 2 = , x 1 x 2 =

c ) 8x 2 - x + 1 = 0

(-1)2 – 4.8.1 = -31 < 0

…

…

…

∆ =

x 1 + x 2 = , x 1 x 2 =

Ph ¬ng tr×nh v« nghiÖm

Hoạt Động nhóm

Cho ph ơng trình 2x 2 - 5x + 3 = 0 a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a+b+c b) Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm của ph

ơng trình.

c) Dùng định lý Vi- ét để tìm x2.

Cho ph ơng trình 3x 2 + 7x + 4 = 0.

a) Chỉ rõ các hệ số a, b, c của ph ơng trình v tính a – b + c à

b) Chứng tỏ x1= -1 là một nghiệm của

ph ơng trình.

c) Tìm nghiệm x2.

Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của

pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG

1 Hệ thức Vi-et

a) Định lớ Vi- et

b) Áp dụng

=

x + x -b

a

ì

1 2

x x = c

a

NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña

pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) th×

Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1 Hệ thức Vi-et

a) Định lí Vi- et Phương trình 2x 2 -5x + 3 = 0

a) a = 2 ; b = -5 ; c = 3

a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0 b) Thay x = 1 vào phương trình ta được 2.1 2 + (-5).1 + 3 = 2 + (-5) + 3 = 0

Vậy x1 = 1 là một nghiệm của ph/trình c) Ta có 1 2 2

?2

Tæng qu¸t 1: NÕu pt ax 2 + bx + c = 0

(a ≠ 0) cã a + b + c = 0 th× pt cã một

x

a

=

=

x + x -b

a

×

1 2

x x = c

a

b) Áp dụng

Ho¹t §éng nhãm

Ho¹t §éng nhãm

NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña

pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) th×

Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1 Hệ thức Vi-et

a) Định lí Vi- et Phương trình 3x 2 + 7x + 4 = 0

a) a = 3 ; b = 7 ; c = 4

a - b + c = 3 - 7 + 4 = 0 b) Thay x = -1vào phương trình ta được 3.(-1) 2 + 7.(-1) + 4 = 3 - 7 + 4 = 0

Vậy x1 = -1 là một nghiệm của ph/trình c) Ta có 1 2 2

?3

Tæng qu¸t 1: NÕu pt ax 2 + bx + c = 0 (a

≠ 0) cã a + b + c = 0 th× pt cã một

x

a

=

2

c x

a

= −

Tæng qu¸t 2: NÕu pt ax 2 + bx + c = 0

(a ≠ 0) cã a - b + c = 0 th× pt cã một

=

x + x -b

a

×

1 2

x x = c

a

b) Áp dụng

NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña

pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) th×

Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1 Hệ thức Vi-et

a) Định lí Vi- et ?4 Tính nhẩm nghiệm của các pt:

a) -5x 2 + 3x + 2 = 0 b) 2004x 2 + 2005x +1 = 0

b ) 2004x 2 + 2005x + 1 = 0

cã a = 2004 , b = 2005 , c = 1

⇒ a – b + c = 2004 – 2005 +1 =

2004

VËy x1= -1,

a) -5x 2 + 3x + 2 = 0 cã a = -5, b =3, c = 2

⇒ a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0 VËy x1 = 1 , 2 2 2

x

−

−

Gi¶i

=

x + x -b

a

×

1 2

x x = c

a

b) Áp dụng

Tæng qu¸t 1: NÕu pt ax 2 + bx + c = 0 (a

≠ 0) cã a + b + c = 0 th× pt cã một

x

a

=

2

c x

a

= −

Tæng qu¸t 2: NÕu pt ax 2 + bx + c = 0

(a ≠ 0) cã a - b + c = 0 th× pt cã một

Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của

pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG

1 Hệ thức Vi-et

a) Định lớ Vi- et

=

x + x -b

a

ì

1 2

x x = c

a

b) Áp dụng

Tổng quát 1: Nếu pt ax 2 + bx + c = 0 (a

≠ 0) có a + b + c = 0 thì pt có một

x

a

=

2

c x

a

= −

Tổng quát 2: Nếu pt ax 2 + bx + c = 0

(a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì pt có một

Tổng quát: (SGK)

2 Tỡm hai số biết tổng và tớch của chỳng

Giả sử hai số cần tỡm cú tổng bằng S và tớch bằng P Gọi một

số là x thỡ số kia là S - x

Theo giả thiết ta cú phương trỡnh:

x (S – x) = P

hay x2 – Sx + P = 0 (1)

Nếu ∆ = S2 – 4P ≥ 0 thỡ phương trỡnh (1) cú nghiệm Cỏc nghiệm này chớnh là hai số cần tỡm

Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm

của ph ơng trình x2 – Sx + P = 0

ĐiềukiệnđểcóhaisốđólàS2 - 4P ≥ 0

Tổng quát: (SGK)

2 Tỡm hai số biết tổng và tớch của chỳng

Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG

1 Hệ thức Vi-et

Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của

pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

a) Định lớ vi- et

=

x + x -b

a

ì

1 2

x x = c

a

b) Áp dụng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm

của ph ơng trình x2 – Sx + P = 0

Điềukiệnđểcóhaisốđólà

S2 - 4P 0≥

áp dụng

Ví dụ 1: Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180

Giải:

Hai số cần tìm là hai nghiệm của

ph ơng trình: x2 _ 27x + 180 = 0

= = = =

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12

2

∆ = − = > ⇒ ∆ =

Ta cú:

Tổng quát: (SGK)

2 Tỡm hai số biết tổng và tớch của chỳng

Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG

1 Hệ thức Vi-et

Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của

pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

a) Định lớ vi- et

=

x + x -b

a

ì

1 2

x x = c

a

b) Áp dụng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm

của ph ơng trình x2 – Sx + P = 0

Điềukiệnđểcó haisốđólà

S2- 4P ≥ 0

áp dụng

Tìm hai sốbiết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5

Giải

Hai số cần tìm là nghiệm của

ph ơng trình : x2- x + 5 = 0

Ta cú Δ= (-1)2 - 4.1.5 = -19 < 0

⇒ Ph ơng trình vô nghiệm

Vậy không có hai số nào có tổng bằng 1 và tích bằng 5

?5

Tổng quát: (SGK)

2 Tỡm hai số biết tổng và tớch của chỳng

Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG

1 Hệ thức Vi-et

Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của

pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

a) Định lớ vi- et

=

x + x -b

a

ì

1 2

x x = c

a

b) Áp dụng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm

của ph ơng trình x2 – Sx + P = 0

Điềukiệnđểcó haisốđólà

S2- 4P ≥ 0

áp dụng

ph ơng trình x2 - 5x + 6 = 0

Giải

Vì 2 + 3 =5 ; 2.3 = 6 nên x1= 2, x2= 3

là hai nghiệm của ph ơng trình

đã cho

Tổng quát: (SGK)

2 Tỡm hai số biết tổng và tớch của chỳng

Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG

1 Hệ thức Vi-et

Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của

pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

a) Định lớ vi- et

=

x + x -b

a

ì

1 2

x x = c

a

b) Áp dụng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm

của ph ơng trình x2 – Sx + P = 0

Điềukiệnđểcó haisốđólà

S2- 4P ≥ 0

để tính nhẩm các nghiệm của ph

ơng trình x2 – 7x + 12 = 0

Giải

Δ = (7)2 - 4.1.12 = 49 - 48 = 1> 0

Vì 3 + 4 = 7 và 3 4 = 12 nên x1=3, x2= 4 là hai nghiệm của ph ơng trình đã cho

áp dụng

Tổng quát: (SGK)

2 Tỡm hai số biết tổng và tớch của chỳng

Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG

1 Hệ thức Vi-et

Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của

pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

a) Định lớ vi- et

=

x + x -b

a

ì

1 2

x x = c

a

b) Áp dụng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm

của ph ơng trình x2 – Sx + P = 0

Điềukiệnđểcó haisốđólà

S2- 4P ≥ 0

Hai soỏ u vaứ v laứ hai nghieọm cuỷa phửụng trỡnh x2 – 32x + 231 = 0

∆'=(-16)2–1.231=25>0⇒ =5

x1 =16 + 5 = 21, x2 =16 – 5=11 Vaọy u = 21, v = 11

ho c u = 11,v = 21ặ

'

∆

Baứi 28a (SGK)

Tỡm hai soỏ u vaứ v bieỏt:

u + v = 32 , u.v = 231 Giải

áp dụng

5x2 - 9x + 4 = 0 ⇒ x1 = ; x2 =

1

2

3

4

5

Ph ¬ng tr×nh v« nghiƯm

-1

3 2

− 1

2

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

4 5

1

x1 = ; x2 = .

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Chọn câu trả lời đúng:

B

A

C

D

x2 - 2x + 5 = 0

x2 + 2x – 5 = 0

x2 - 7x + 10 = 0

x2 + 7x + 10 = 0

sai

úng

Đ

Sai

Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình nào ?

HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ

HD Bài 30b: Tìm giá trị của m để pt cĩ nghiệm rồi tính tổng và

- Tính Δ theo m rồi tìm điều kiện để pt cĩ nghiệm (Δ ≥ 0)

- Áp dụng hệ thức Vi-et để tính tổng và tích các nghiệm theo m

- Học thuộc định lí Vi-ét và cách tìm hai số biết tổng và tích

- Nắm vững cách nhẩm nghiệm khi a + b + c = 0 ; a – b + c = 0 và khi tổng và tích của hai nghiệm (S và P) là những số nguyên

cĩ giá trị tuyệt đối khơng quá lớn

* BTVN: 25bd, 26, 28bc, 30 (SGK) 38, 41 (SBT)

Chuyên đề Tổ Toán