Định lí Vi ét ( dùng tạm)

-2 Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm Bài tập 4: Cho phơng trình : a Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m b Gọi 2 nghiệm là x và x tìm

A) Kiến thức cơ bản

1) Nếu phơng trình bậc hai ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có

2 nghiệm phân biệt thì tổng và tích hai nghiệm đó là:

S = và P =

2 ) Tính nhẩm nghiệm

a ) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình ax + bx + c

= 0 ( a 0 ) có các nghiệm số là

b ) Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình ax + bx + c =

0 ( a 0 ) có các nghiệm số là

3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng

Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai :

B ) Bài tập áp dụng và bài tập phát triển , nâng cao

1, Loại toán xét dấu nghiệm của phơng trình mà không giải phơng trình

Bài tập 1:

Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ?

a)

b)

c)

Giải

a) Theo hệ thức Vi – ét có S =

P =

Vì P > 0 nên 2 nghiệm x và x cùng dấu

S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dơng

b) Theo hệ thức Vi – ét có P = nên 2 nghiệm cùng dấu

c) P = nên 2 nghiệm trái dấu

S =

Bài tập 2

Cho phơng trình (1)

Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m 0 Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?

Giải

Ta có a = 1 > 0 , c = - m < 0 với mọi m 0

Vì a , c trái dấu nên phơng trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi - ét : P = < 0 Do

đó và trái dấu

S = nên nghiệm dơng có giá trị tuyệt

đối lớn hơn

Bài tập 3

(Đề TS chuyên Hạ Long 1999 – 2000)

a) Giải phơng trình trên với m = 2

b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu m

c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x , x

Tìm m để biểu thức đạt giá trị lớn nhất

Giải

a) Thay m = 2 vào phơng trình ta đợc

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

b)Xét

Có

Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu

c, Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x , x

Từ kết quả phần b có x , x 0 , biểu thức A đợc xác định với mọi x , x tính theo m và

Đặt Với a > 0

Có A = -a + mang giá trị âm

A đạt giá trị lớn nhất <=> - A có giá trị nhỏ nhất

Có – A = a +

áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm a và ( vì a > 0 và ) Ta có:

Vậy – A 2 <=> A - 2 nên A có GTLN là - 2

( thoả mãn điều kiện a > 0 )

 Với a = 1 thì

 Theo kết quả có

* Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là

-2) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm

Bài tập 4: Cho phơng trình :

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m

b) Gọi 2 nghiệm là x và x tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất

Giải:

a ) Ta có a = 1 > 0

a, c trái dấu nên phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số m

nghiệm trái dấu

b) Ta có

=

Vậy Min khi m =

Bài tập 5:

Cho phơng trình

Tìm giá trị dơng của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia

Giải :

Ta có a = 2 > 0

Phong trình có 2 nghiệm trái dấu

Với điều kiện này giả sử x < 0 ,x > 0 theo đề ra ta có

Vì m > 0 nên ta chọn m = ( thoả mãn điều kiện

) Kết luận : Vậy với m = thì phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia

Bài tập 6 : ( Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2006 – 2007 ) (2 đ)

số

1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phơng trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt

2) Gọi các nghiệm của phơng trình (1) là Hãy tính theo m giá trị của biểu thức M =

Giải :

1) Đặt x = y ( ĐK : y 0 ) Pt (1) trở thành

(2)

Phơng trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi – ét có

nên P > 0 với mọi m Z

cùng dấu

Vì

nên S > 0 cùng dấu dơng (thoả mãn ĐK y 0)

Vậy phơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dơng nên phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt đối nhau từng

đôi một

2) Theo kết quả phần a có

và

Thay kết quả S và P vào M ta đợc

Kết luận:

Bài tập 7: (Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 1997 - 1998 )

( 2,5 đ)

a) Chứng minh : Phơng trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m

b) Trong trờng hợp m > 0 và là các nghiệm của phơng trình nói trên hãy tìm GTLN của biểu thức

a)

Phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

b)

Theo kết quả phần a phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt

áp dụng hệ thức Vi – ét ta có

S =

P =

Vì P = m > 0 nên biểu thức A đợc xác định với mọi giá trị tính theo m

=

Thay S và P vào biểu thức A ta đợc :

> 0và )

Vậy biểu thức A có GTNN là 8

Trong bất đẳng thức Cô Si dấu bằng xảy ra m =

Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0

m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0

Vậy với m = 1 thì A có GTNN bằng 8

Bài tập 8 : ( đề TS chuyên Hạ Long 2005 - 2006 ) (2 đ) Xét phuơng trình mx + (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m

là tham số

b) Chứng minh rằng nếu m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình có nghiệm số hữu tỉ

Giải

a ) Điều kiện để m có 2 nghiệm

Xét

Vậy điều kiện để phơng trình có 2 nghiệm là m và m

Với điều kiện trên theo hệ thức Vi ét có

Gọi

áp dụng hệ thức Vi ét có A = 4 ( ĐK )

Cã a + b + c = 3 – 2 – 1 = 0 => m = 1 ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m vµ m )

m = ( kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m vµ m )

VËy víi m = 1 th× ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm tho¶ m·n

c) Gäi n ta cã m = n( n + 1 ) lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp ( TM§K m 0 )

d) Theo kÕt qu¶ phÇn a ta cã

vËy ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m

( do n > 0 )

tö n +2 vµ n +1 => lµ ph©n sè

KÕt luËn:Víi m lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm sè h÷u tØ

3 ) Lo¹i to¸n t×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng Bµi tËp 9 : T×m hai sè x y biÕt

a) x + y = 11 vµ xy = 28

b)x – y = 5 vµ xy = 66

Gi¶i :

a ) Víi x + y = 11 vµ xy = 28 theo kÕt qu¶ hÖ thøc Vi Ðt x ,y

lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x - 11x + 28 = 0

= 121 – 112 = 9 > 0 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt lµ

= 4 VËy x = 7 th× y = 4

x = 4 th× y = 7

cã x , y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x - 5x - 66 = 0

= 25 + 264 = 289 > 0 , = 17 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt lµ

VËy x = 11 th× y = - 6 cßn x = - 6 th× y = 11

Bµi tËp 10 : T×m hai sè x y biÕt x + y = 25 vµ xy = 12 Gi¶i :

Ta cã x + y = 25 <=> (x + y ) - 2xy = 25 <=> (x + y ) -

2.12 = 25

(x + y ) = 49 <=> x +y = 7

* Trờng hợp x + y = 7 và xy =12

Ta có x và y là nghiệm của phơng trình x - 7x +12 = 0

= 49 – 4.12 = 1

* Trờng hợp x + y = - 7 và xy =12

Ta có x và y là nghiệm của phơng trình x +7x +12 = 0 Giải phơng trình ta đợc x = -3 ; x = - 4

các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4)

4 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2

nghiệm không phụ thuộc

tham số :

Bài tập 11 : Cho phơng trình x - ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm

a) Không giải phơng trình hãy tính giá trị biểu thức

b) Tìm a để tổng các bình phơng 2 nghiệm số đạt GTNN ?

Giải

a)

Theo hệ thức Vi ét có

(ĐK : )

b) Ta có (1)

(2)

Trừ 2 vế của (1) cho (2) ta có , đây là biểu thức liên hệ giữa x và x không phụ thuộc vào a

C) Các bài tập t ơng tự

Bài tập 1 : Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ?

a) x - 6x +8 = 0

b) 11 x +13x -24 =0

c) 2 x - 6x + 7 = 0

Bài tập 2 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k ,

ph-ơng trình

a) 7 x + kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu

b) 12 x +70x + k +1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái dấu c) x - ( k +1)x + k = 0 có một nghiệm bằng 1

Bài tập 3 : Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh

a) mx - 2(m +1)x + m + 2 = 0

b) (m -1) x + 3m + 2m + 1 = 0

c) (1 – 2m) x + (2m +1)x -2 = 0

Bài tập 4 : Cho phơng trình x - 2m + m - 4 = 0

a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đối nhau Tính 2 nghiệm đó

b) Định m để phơng trình có 2 nghiệm thực dơng

Bài tập 5 : ( đề TS chuyên Hạ Long năm học 2002 -2003 )(2,5

Cho phơng trình x - mx +1 = 0 ( m là tham số )

a) Giải phơng trình trên khi m = 5

b) Với m = , giả sử phơng trình đã cho khi đó có 2

nghiệm là

Không giải phơng trình , hãy tính giá trị của biểu thức

Hớng dẫn giải:

a) Với m = 5 phơng trình trở thành x -5x +1 = 0

= 21 , phơng trình có 2 nghiệm phân biệt ,

b)Với m = , ta có phơng trình bậc hai :

Theo hệ thức Vi ét : và

Thay S và P vào A ta đợc :

Bài tập 6 :( đề thi học sinh giỏi lớp 9 thị xã Hà Đông , Hà

Tây 2003 -2004) (4đ)

a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi b) Gọi là nghiệm của phơng trình , chứng minh rằng

Hớng dẫn giải:

a) Phơng trình (1) có nghiệm <=>

c) Khi m 1 , theo hệ thức Vi ét có

Vì

Bài tập 7 : ( đề thi TS lớp 10 Hải Dơng 2003 – 2004 ) (1đ) Cho phơng trình :

Tính (Với x , x là 2 nghiệm của phơng trình)

Hớng dẫn giải:

Theo định lý Vi ét ta có

Ta có

Nếu

Do đó A =

Bài tập 8 : (đề thi học sinh giỏi lớp 9 - TP Hồ Chí Minh 2003-

2004)

(4đ)

nghiệm phân biệt

b) Gọi 2 nghiệm là x , x , Tìm GTNN của biểu thức

Hớng dẫn giải:

a)

Phơng trình có 2 nghiệm

b)Theo định lý Vi ét có

Do đó ta có

Khi đó

Vậy GTNN của A là khi và chỉ khi m = 2

Bài tập 9 : (đề thi TS lớp 10 chuyên toán THPT năng khiếu

Trần Phú) (2,5đ)

1) Chứng tỏ rằng phơng trình có 2 nghiệm

phân biệt x , x

Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là và

cùng dấu Khi đó hai nghiệm cùng dấu âm hay cùng dấu dơng ?

Hớng dẫn giải:

1) nên phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

vậy phơng trình cần tìm là x - 14x +1 = 0

2) Phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu

Khi đó Suy ra phơng trình có 2 nghiệm dơng

Bài tập 10 : ( Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 2005 – 2006)

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm là x , x thoả mãn b) Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình có nghiệm hữu tỉ