Dành cho tất cả học sinh Bài I.. Gọi I là trung điểm của SD.. Tính góc giữa hai mặt phẳng AIC và ABCD II.. Phần riêng: 3,0 điểm Học sinh học theo chương trình nào thì chỉ được làm phần r
Trang 1SỞ GD-ĐT KON TUM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2008 – 2009
Môn: Toán Lớp: 11
Thời gian: 90 phút ( Không kể thời gian phát đề)
I Phần chung: (7,0 điểm) Dành cho tất cả học sinh
Bài I (2,0 điểm) Tìm giới hạn của các hàm số sau
1
1
2 5 lim
4 3.5
+
− +
n n
lim 4 3 2
2
2 5
11 30 lim
25
→
−
x
x x
x
Bài II (1,5 điểm) Cho hàm số 2
3 2
2
x x
f x x , khi x > 2
ax + 4 , khi x
1 Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó khi a = -2
2 Định a để f(x) liên tục trên R.
Bài III (1,5 điểm) Cho hàm số y=2 1
3
x x
− + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến song song với
đường thẳng 6x – 3y + 5 = 0
Bài IV (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và
SA = a Gọi I là trung điểm của SD
1 Chứng minh (AIC) ⊥ (SCD)
2 Tính góc giữa hai mặt phẳng (AIC) và (ABCD)
II Phần riêng: (3,0 điểm) Học sinh học theo chương trình nào thì chỉ được làm phần riêng cho chương trình đó.
1 Phần dành riêng cho chương trình chuẩn
Bài Va (1,0 điểm): Cho hàm số y = x.sinx Chứng minh rằng:
x.y – 2(y’ – sinx) + x.y” = 0
Bài VIb (2,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh SA = a 2 và vuông góc với mặt phẳng (BCD)
1 Chứng minh tam giác SDC là tam giác vuông
2 Tính khoảng cách từ SC đến BD
2 Phần dành riêng cho chương trình nâng cao
Bài Vb (1,0 điểm): Cho hàm số f(x) = 16 cosx – 2cos2x + 2x2 Giải phương trình f”(x) = 0
Bài VIb (2,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA = a và vuông
góc với mặt phẳng (ABCD)
1 Gọi M là một điểm di động trên BC, gọi K là hình chiếu của S trên DM Tìm tập hợp các điểm K khi M di động
2 Đặt BM = x Tính khoảng cách từ S đến DM
Hết
Trang 2-Đáp án và biểu điểm
Phần chung (7,0 điêm) Bài I 1
1
2 5
3 5
n
n
0,5
2
2
2
lim 4 3 2 lim
3
| | 4 2
lim
4 3
→+∞
+ +
x
x x x
x x x
x x x
x x x
x
x
0,5 0,5
2
2
x x
0,5
Bài II
(1,5
điểm)
1 Tập xác định: D=¡
Ta có: f(2) = 2.(-2) + 4 = 0
x
Vì lim2 ( ) lim2 ( )
x − f x x + f x
→ ≠ → nên hàm số không liên tục tại x = 2
0,25
0,25 0,25
2 Để hàm số liên tục trên ¡ khi và chỉ khi
2
lim lim
3 2 lim x+4 lim
4 1
2 4
4 17 8
f x f x
x x a
x a
a
−
⇔ = −
0,25 0,25 0,25
Bài III
(1,5
điểm)
Ta có y’= 2
7 (x+3) Gọi phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có dạng: y = k(x – x0) + y0
Vì tiếp tuyến song song với đương thẳng 7x – 4y + 5 = 0 hay y = 7
4x + 5
4 nên
k = 7
4 hay 2
7 (x+3) =
7
1
x x
x
= −
Với x = -5 11
2
y
⇒ = , phương trình tiếp tuyến y = 7
4(x + 5) + 11
2 hay y = 7
4 x +57 8 Với x = - 1 3
2
y
⇒ = − , phương trình tiếp tuyến y = 7
4(x + 1) 3
2
− hay y = 7
4x + 1 8
0,5
0,5 0,5
Bài IV
D
SA CD
C
AD C
⊥
Trang 3điểm) Mà AI ⊂(SAD) ⇒ AI ⊥ CD
Và AI ⊥ CD nên AI ⊥ (SCD) mà AI ⊂ (AIC)
Vậy (ACI) ⊥ (SCD)
0,5 0,5
2
D
SA BD
B
AC B
⊥
Và AO ⊥ BD (vì AC, BD là đường chéo của hình vuông ABCD)
Do SO BD
AO BD
⊥
nên ((SBD),(ABCD)) = (SO,AO) = SOA¼
Trong tam giác SOA vuông tại A ta có tanSOA¼ =
2
2
SA a
AO = a =
⇒ SOA¼ = 54044’
0,5 0,5
Phần dành riêng cho chương trình chuẩn Bài Va
(1.0
điểm)
Ta có: y’ = sinx + x.cosx y” = 2cosx – x.sinx x.y – 2(y’ – sinx) + x.y” = x.x.sinx – 2(sinx + x.cosx – sinx) + x(2cosx – x.sinx) = x2.sinx – 2x.cosx + 2x.cosx – x2.sinx
= 0
0,5 0,5
Bài
VIa
(2điểm)
1
Ta có: SA SA ((ABCD)) CD SA
CD ABCD
⊥
CD⊥AD (vì ABCD là hình vuông) Suy ra CD ⊥ (SAD) mà SD ⊂ (SAD) nên CD ⊥ CD
Vậy tam giác SCD vuông tại D
0,5 0,5
2
Ta có: BD SA D (SAC)
B
BD AC
⊥
Trong mặt phẳng (SAC) từ O kẻ OE vuông góc SC tại H
Ta có: ( D (SAC))
OH SC
OH BD B
⊥
Do đó OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC
Hai tam giác vuông SAC và OHC có chung đỉnh C nên ∆SAC: ∆OEC ta có
OE SA OE SA OC.
OC = SC⇒ = SC
a
SA +AC = a + a = a = a
2 2
a a
OE
0,25 0,25
0,25 0,25
Phần dành riêng cho chương trình nâng cao Bài Vb
( 1
điểm)
Ta có f’(x) = -16sinx + 4.sin2x + 4x f”(x) = -16cosx + 8cos2x + 4 f”(x) = 0 ⇔-16cosx + 8cos2x + 4 = 0
⇔ -16cosx + 8(2cos2x -1) + 4 = 0
⇔ 16 cos2x – 16cosx – 4 = 0
0,25 0.25
0,5
O
I
S
O
B
C S
E
Trang 41 2 cos
2
1 2 cos (lo¹i)
2
x
x
=
=
⇔ x = arccos1 2
2
Bài
VIb
(2,0
điểm)
1 Phần thuận:
Vì SK ⊥ MD theo định lí ba đường vuông góc
ta có AK ⊥ DM hay ·AKD = 900
Gọi O là tâm hình vuông ABCD Vì DM luôn luôn nằm trong góc ·BDC nên K nằm trên cung »OD
Phần đảo:
Lấy điểm K bất kì trên cung »OD, DK cắt BC tại M ta có AK ⊥ DM
Vậy tập hợp các điểm K khi M di động trên đoạn BC là cung »OD
0,5
O,5
2 Ta có SK ⊥ DM nên K là hình chiếu vuông góc của S lên DM
Do đó khoảng cách từ S đến MD là đoạn SK
Trong tam giác vuông SAK ta có
SK2= SA2+ AK2
2 x+2a
CM +CD = a + −a x = x − a
Trong tam giác ADM có AK là đường cao, ta có
2
2
2
2
ADM ADM
a
S AK DM AK
∆
2 2
a
0,5
0,5
S