Sử dụng Dirichlettrong BDT

Sử dụng Nguyên Lý Dirichlet trong chứng minh Bất Đẳng Thức Trong chương trình đại số THPT thì đỉnh cao của sự sáng tạo và điểm nhấn của sự trưởng thành về “nghệ thuật” biến đổi đại số củ

Sử dụng Nguyên Lý Dirichlet trong chứng minh Bất Đẳng Thức

Trong chương trình đại số THPT thì đỉnh cao của sự sáng tạo và điểm nhấn của sự trưởng thành

về “nghệ thuật” biến đổi đại số của học sinh phổ thông thể hiện ở những bài toán về bất đẳng

thức Có người đã nói bất đẳng thức là “bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học” Thật vậy!

Bất đẳng thức chẵng những chứa đựng cả một thứ nghệ thuật trong mình mà còn mang một vẻ

đẹp triết học của riêng mình Mọi thứ trong thế giới này đều có giá trị của nó nhưng con người ta

không nhận ra rằng những thứ ấy chỉ nhận được giá trị của mình qua sự so sánh của nó với những

thứ khác và cũng chính bỡi những quan hệ này đã làm nên những bất đẳng thức toán học

Ngoài ra ta lại có một Nguyên Lý toán học đã được làm quen từ thời còn học tiểu học, một

nguyên lý làm nên vẽ đẹp của toán học_ Nguyên Lý Dirichlet Nguyên lý này thực ra là một định

lý vô cùng đơn giản mà phát biểu cơ sở nhất của nó là : “Nếu nhốt n con thỏ vào n + 1 cái lồng

thì tồn tại ít nhất một lồng có từ 2 thỏ trở lên” Thoạt nhìn thì nó thật đơn giản và dễ hiểu nhưng

nó lại có không ít những ứng dụng kì diệu như có phép màu trong việc giải quyết những vấn đề

nội tại của toán học và những vấn đề khác ngoài đời sống cũng như các đối tượng rời rạc của toán

học nữa!

Thử tưởng tượng, một ngày nào đó và lúc nữa đêm bạn nhận được một cuộc điện thoại cung cấp

một thông tin gì đó mà điều đó khiến bạn phải đi ra ngoài Những điều bạn cần là mang giày vào

và đi ra ngoài nhưng hãy thật cẩn thận không khéo sẽ đánh thức những người xung quanh bạn dậy

và lúc đó điều bạn nhận được sẽ là những câu nói lớn tiếng chẳng mấy dễ nghe Nhưng làm sao

được nếu như trong ngăn kéo của bạn có rất nhiều vớ mà chúng đều có 2 màu trắng và đen nhưng

bạn lại không được bậc đèn vì điều đó có thể làm đánh thức những người xung quanh??? Một ý

tưởng chợt lóe sáng là ta hãy mang ra ngoài 3 chiếc vớ bất kỳ, hiễn nhiên rồi, sẽ có 2 chiếc vớ

cùng màu trong 3 chiếc vớ đó Và hãy mang chúng ra ngoài mang vào rồi chạy thật nhanh kẻo trễ

mất!

Ví dụ trên thật thuyệt vời cho ta thấy ứng dụng của nguyên lý Dirichlet Bây giờ ta hãy thay đổi

một xíu! Giả sử như bạn được chọn lấy 3 số thực a b c   (không yêu cầu phải khác nhau) , , 

thì hãy chắc chắn rằng trong 3 số đó ít nhất có 2 số có tích không âm Ta có thể chứng minh rất

đơn giản như sau:

 Giả sử có ít nhất 1 trong 3 số đã cho là 0 thì mặc nhiên tích của số này với bất kì số nào trong 2

số còn lại sẽ là 0 (không âm) Vậy trường hợp này thì mệnh đề trên đúng!

 Giả sử như có không có số nào trong số 3 số đã cho nhận giá trị 0 thì thật dẽ dàng nhận ra rằng

theo nguyên lý Dirichlet ít nhất có 2 số cùng dấu, 2 số này sẽ có tích dương (vì không có số nào

bằng không cả) Mệnh đề cũng lại đúng với trường hợp này!

Vậy ta đã chứng minh được mệnh đề trên! Nó thật sự quan trọng trong việc chứng minh bất đẳng

thức khi mà bạn đã chọn được “điểm rơi” cho bài toán của mình rồi Cụ thể chúng ta xét các ví dụ

sau:

Bài 1 (USA – 2001) Cho các số a b c , , 0sao cho 2 2 2

4

a b c abc Chứng minh abbccaabc2

Giải

Theo nguyên lí Dirichlet thì có 2 trong 3 số a1 , b1 , c1 có tích không âm

Không mất tính tổng quát, giả sử a1b 1 0c a 1b  1 0 abcbcca2c

abbccaabcabc Mà

 

4a b c abc2abc abc 4 c ab c   2 2 c abab c 2

Từ hai BĐT trên ta suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1.

Với giả thiết 2 2 2

4

a b c abc , đại đa số chúng ta đều nghĩ đến việc lượng giác hóa bằng cách đặt :a2 cos ,A b2cos ,B c2 cosC

Nhưng lời giải trên phức tạp vô cùng so với cách sữ dụng nguyên lý Dirichlet và đòi hỏi bạn phải

tính toán rất nhiều

Bài 2 Cho các số thực dương a, b, c

Chứng minh rằng: 2 2 2

a b c  abc  abbcca

Giải

Dự đoán điểm rơi a  b c 1

Theo nguyên lí Dirichlet thì có 2 trong 3 số a1 , b1 , c1 có tích không âm Không

mất tính tổng quát, giả sử a1b 1 0 thì 2c a 1b  1 0 2abc2bc2ca2c

a b c   c ab ab  c  BĐT trên luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

Bài 3 (IRAN – 2002)

Cho các số a b c , , 0sao cho 2 2 2

4

a b c abc Chứng minh a  b c 3

Giải

a b c   abca b c 

Từ đó, ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

Bài 4 (UK TST – 2005) Cho các số thực dương a b c, , sao cho abc 1

Chứng minh

 2  2  2

3

a b c

a b c

Giải

Trước tiên ta chứng minh 2 bổ đề sau:

1 a1 b1 c1 a b c

Bổ đề 2.

 2  2  2

1 1

  

Chứng minh Bổ đề 1. BĐT tương đương với

1

ab bc ca a b c a b c

a b c

ab bc ca a b c a b c

Mà theo BĐT AM- GM thì 2 2 2 3 2 2 2

a b c  a b c 

Vậy Bổ đề 1 được chứng minh

Chứng minh Bổ đề 2. Theo nguyên lí Dirichlet thì có 2 trong 3 số a1 , b1 , c1 có

tích không âm Không mất tính tổng quát giả sử a 1)(b 1 0 c 1 ab 1 a b

c



Ta có

       

1

ab a b ab

a b



Nên

 2  2

c

ab c

a b

Do đó

1 1

c

c

a b c c

c

Vậy Bổ đề 2 được chứng minh

Trở lại bài toán. BĐT đã cho tương đương với

 2  2  2

3

1 a1 b1 b a 1  b 1  b 1 

Mà theo bổ đề trên ta có

 2  2  2

1 a1 b1 b a 1  b 1  b 1

 2  2  2

1

a b b

  

Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

Bài 5 (MOSKVA – 2000) Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1

2

x y z  x y z xyyzzx (1) Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Giải

Theo nguyên lí Dirichlet thì có 2 trong 3 số x1 , y1 , z1 có tích không âm Không

mất tính tổng quát, giả sữ như: x1y10xy x y  1 0 xyzxzyz  z

Theo BĐT AM-GM : xy z 33 xyz  3

BĐT (1) được chứng minh nếu ta chứng minh được:

x2y2z2 3 2xyyzzx (2)

x y z  x y z  xyz x y z  xzyzz 

2xy2z2xzyz2z2xyyzzx (đpcm)

Bài 6 (VMO – 1996) Cho các số thực không âm a, b, c sao cho abbccaabc4

Chứng minh a  b c abbcca

Giải

Theo nguyên lí Dirichlet thì có 2 trong 3 số a1 , b1 , c1 có tích không âm Không mất

tính tổng quát, giả sử ta có a1b 1 0

Khi đó c a 1b   1 0 c acbcabc Do đó ta chỉ cần chứng minh a b ababc

Từ giả thiết abbccaabc4 suy ra c 4 ab

a b ab





  ,

Thay vào BĐT thức trên ta được BĐT thức tương đương là:

      2

4

a b ab a b a b ab ab a b a b

a b ab



BĐT trên hiển nhiên đúng Phép chứng minh hoàn tất

Nhận xét: Bài toán trên có thể giải được bằng phương pháp dồn biến

Bài 7 (TRƯỜNG ĐHKHTN – ĐHQGTPHCM)

Cho các số thực không âm bất kì a, b, c Chứng minh rằng:

1

2

abc  a  b  c   a b c

Giải

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a1 , b1 , ( c1) cùng dấu Không mất

tính tổng quát, giả sử a1b  1 0 ab  a b 1 Vì vậy để hoàn tất bài toán ta

chỉ cần chứng minh

1

2

c ab          c

2 a  b  c  a b c

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

2

2

a b

a b c   c a b c a b c

Chứng minh xong!

Bài 8 (APMO – 2004)

Chứng minh rằng : x22y2 2z229xy yzzx,x,y,z0

Giải

Theo nguyên lí Dirichlet trong ba số xy – 1; xz – 1; yz – 1 tồn tại hai số có tích không âm,

chẳng hạn như xy – 1; yz – 1 có tích không âm, ta có: xy1yz1 0

Suy ra xy2z 1xy yz Khi đó : x2y2z2 y2 22xy2z12xy yz

BĐT cần chứng minh viết lại:

2

2

2

zx yz xy z

y x x

z z y y x z

y

Ta có x2y2z2  y222(xyyz) (1) ;

3x2  y2z2  xy yzzx (2)

Vì : x2y212xy, nên 2x2y2 y2z2 z2x264(xy yzzx) (3) và x2z2 2xz (4)

Cộng các BBDT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta có:

2

2

2

zx yz xy z

y x x

z z y y x z

y

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

Hết