PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG BĐT CAUCHY pps

PH ƯƠ NG PHÁP 2: S D NG BĐT CAUCHY Ử Ụ

1. B t đ ng th c CauChy ấ ẳ ứ :

0, b 0

2

a ab Đ ng th c x y ra khi và ch khi ẳ ứ ả ỉ a= b

0, b 0, c 0

3

a abc Đ ng th c x y ra khi và ch khi ẳ ứ ả ỉ a= b = c

c) Cho 1 2 a +a + +a1 2 n 1 2

n

a a a a a a Đ ng th c x y ra khi và ch khiẳ ứ ả ỉ

1= 2 = = n

2. Ví dụ:

1) Cho 2 s dố ương a, b Ch ng minh r ng:ứ ằ

a) a b + ≥ 2

b a b) ( a b ab + ) ( + ≥ 1 ) 4 ab

2) Ch ng minh: ứ ( ) ( ) ( ) ( 3 )3

1 + a 1 + b 1 + ≥ + c 1 abc v i ớ a, b, c không âm.

3) Ch ng minh: ứ 2 a + 33b + 44c ≥ 99 abc

4) Ch ng minh: ứ xy + yz + zx ≥ + + x y z

z x y v i x, y, z > 0ớ

5) Ch ng minh:ứ a) 3

2

b c c a a b v i a, b, c > 0ớ

b)

2

+ +

3. Bài t p ậ :

1) Cho a, b, c > 0 Ch nng minh:ứ

a) ( + )  1 1 +  ≥ 4

a b

a b b) ( + + )  1 1 1 + +  ≥ 9

a b c

a b c

c) a2+ b2+ c2≥ ab bc ca + + d) ( a b c a + + ) ( 2+ b2+ c2) ≥ 9 abc

e) bc ca ab + + ≥ + + a b c

g) a + b + c ≥ + + 1 1 1

2) Cho a a1, , ,2 an là các s th c dố ự ương tho ả a a1 2 an = 1 Ch ng minh: ứ

( 1 + 1) ( 1 + 2) 1 ( + ) ≥ 2n

n

3) Cho x, y, z > 0 Ch ng minh ứ

2 + 2 + 2 ≥ + +

4) Ch ng minh: ứ 1

! ; n N

2 + > n ∈

n

n

5) Cho ba s dố ương x, y, z tho ả x + y + z =1 Ch ng minh: ứ ( ) ( ) ( ) 8

729

x y y z z x xyz + + + ≤ 6) Cho a ≥ 1; b 1 ≥ Ch ng minh r ng: ứ ằ a b − + 1 b a − ≤ 1 ab

7) Cho a > 0, b > 0, c > 0 tho a + b + c = 1 Ch ng minh: ả ứ a b + + b c + + c a + ≤ 6 8) Ch ng minh ứ ( x y y z z x + ) ( + ) ( + ) ≥ 8 xyz v i x, y, z > 0ớ

9) Cho các s dố ương x, y, z tho ả xyz=1 và n là 1 s nguyên dố ương Ch ng minh ứ

3

10)Cho x, y, z là 3 s dố ương Ch ng minh ứ 3 x + 2 y + 4 z ≥ xy + 3 yz + 5 zx

11)Cho a, b, c là 3 s th c b t kỳ tho a+b+c = 0 Ch ng minh ố ự ấ ả ứ 8a+ + ≥ 8b 8c 2a+ 2b + 2c

12)Ch ng minh v i m i s th c ứ ớ ọ ố ự a, ta có: 3a2−4+ 34a+8 ≥ 2

2

xyz

xy yz zx

xyz

+

14)Cho a, b, c, d > 0 Ch ng minh ứ

15)Cho x, y, z tuỳ ý khác không Ch ng minh ứ 12 + 12 + 12 ≥ 2 92 2

16)Ch ng minh v i ứ ớ x, y là 2 s không âm tuỳ ý, ta luôn có: ố 3 x3+ 17 y3≥ 18 xy2

17)Ch ng minh ứ 4( 5 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 6 ) 1

4

≤ + + +

a b c d v i ớ a > − 5, b > − 4, c > 3, d > 6 18)Cho a, b, c > 0 Ch ng minh ứ ( 2 2 2) 1 1 1 3 ( )

2

a b b c c a

19)Cho x, y, z > 0 Ch ng minh ứ  1 +  1 +  1 +  ≥ 8

      

20)Ch ng minh ứ

2 2

3

2 2

x

x x

21)Ch ng minh ứ 8

6 >1 1

x

x

x + ≥ ∀

− 22)Cho n s ố a a1, , ,2 ankhông âm tho ả a1+ a2+ + an = 1 Ch ng minh ứ

1

2

23)Ch ng minh ứ 1 +

n

24)Cho x, y, z > 0 và x+ y + z = 1 Ch ng minh : ứ 1 1 1

 x   y   z  25)Cho x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 và 1 1 1

1

1 x + 1 y + 1 z ≥ + + + Ch ng minh ứ

1 8

≤

xyz

26)Ch ng minh: ứ

1

1

n

+

27)Ch ng minh ứ 1.3.5 2 ( n − < 1 ) nn ∀ ∈ n ¢ +

28)Cho x2+ y2 = 1 Ch ng minh ứ − 2 ≤ + ≤ x y 2

29)Cho 3 s th c ố ự x, y, z th a ỏ x ≥ 3; y 4 ; z 2 ≥ ≥ Ch ng minh ứ

4 6

xyz

30)Cho f x ( ) = ( x + 4 5 ) ( − x ) v i ớ − ≤ ≤ 4 x 5 Xác đ nh ị x sao cho f(x) đ t GTLNạ

31) Tìm GTNN c a các hàm s sau:ủ ố

( ) = +

x v i x > 0ớ b)

1 ( )

1

= +

−

x v i x > 1ớ

32)Cho 0 ≤ ≤ x 4; 0 y 3 ≤ ≤ Tìm GTLN c a ủ A = − ( 3 y ) ( 4 − x ) ( 2 y + 3 x )

33) Tìm GTLN c a bi u th c:ủ ể ứ

F

abc v i ớ a ≥ 3; b 4; c 2 ≥ ≥ 34)Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Tìm GTLN c a ủ

P

x y z (ĐHNT-1999)

35)Cho 3 s dố ương a, b, c th a ỏ a.b.c=1 Tìm GTNN c a bi u th c:ủ ể ứ

P

a b a c b c b a c a c b (ĐHNN – 2000)

36)Ch ng minh các b t đ ng th c sau v i gi thi t ứ ấ ẳ ứ ớ ả ế a b c , , > 0:

1.

2 a5 b5 c5 a3 b3 c3

bc ca ab + + ≥ + +

3.

4.

5.

a b c

bc + ca + ab ≥ + +

7.

1

4

a b c

8.

a b c

37)Cho x y z , , là ba s dố ương th a mãn ỏ xyz = 1 Ch ng minh r ng ứ ằ

+ + + (ĐH 2005) 38)Cho x y z , , là các s dố ương Ch ng minh r ng ứ ằ 4 4 4 1 3 3 3

2

39)Gi s ả ử x y , là hai s dố ương thay đ i th a mãn đi u ki n ổ ỏ ề ệ 5

4

x y + = Tìm GTNN c a bi u th c ủ ể ứ

4

S

= + (ĐH 2002) 40)Cho x y z , , là các s dố ương và x y z + + ≤ 1 Ch ng minh r ng: ứ ằ

82

+ + + + + ≥ (ĐH 2003)

41)Cho x y z , , là các s dố ương th a mãn ỏ 1 1 1 4

x + + = y z Ch ng minh r ng:ứ ằ

1

2 x y z + x 2 y z + x y 2 z ≤ + + + + + + (ĐH 2005) 42)Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ x ∈ ¡ thì 12 15 20

43)Cho x y z , , là các s dố ương th a mãn ỏ xyz = 1 Ch ng minh r ng:ứ ằ

3 3

+ + + + + + + + ≥ (ĐH 2005) 44)Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ x y , > 0 thì

2

9

+   +    +    ≥

(ĐH 2005) 45)Cho x y z , , th a mãn ỏ x y z + + = 0 Ch ng minh ứ 3 4 + x + 3 4 + y + 3 4 + z ≥ 6(ĐH 2005) 46)Cho a b c , , là ba s dố ương th a mãn ỏ 3

4

a b c + + = Ch ng minh r ng:ứ ằ

3a + 3 b +3b + 3 c +3c + 3 a ≤ 3(ĐH 2005) 47)Cho x y z , , th a mãn ỏ 3−x+ 3−y + 3−z = 1 Ch ng minhứ

4

48)Tìm GTNN c a hàm s ủ ố 11 72

2

  (ĐH 2006) 49)Cho x y , là hai s dố ương th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ x y + ≥ 4 Tìm GTNN c a bi u th c ủ ể ứ

2

4

A

= + (ĐH 2006) 50)Ba s dố ương a b c , , th a mãn ỏ 1 1 1

3

a b c + + = Ch ng minh r ng: ứ ằ (1 + a )(1 + b )(1 + ≥ c ) 8(ĐH 2001) 51)Gi s ả ử x và y là hai s dố ương và x y + = 1 Tìm GTNN c a ủ

P

− − (ĐH 2001) 52)Cho hai s th c ố ự x ≠ 0, y ≠ 0 th a mãn ỏ ( x y xy x + ) = 2+ y2− xy Tìm GTLN c a bi u th c ủ ể ứ

3 3

A

= + (ĐH 2006)

53)Ch ng minh r ng n u ứ ằ ế 0 ≤ ≤ ≤ y x 1 thì 1

4

x y − y x ≤ (ĐH 2006)