PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 TRONG BĐT

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 1 abc Lời giải... Chứng minh rằng: Lời giải.

ỨNG DỤNG NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA

VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Xét phương trình bậc ba: x3mx2nx p 0 (*)

Đặt: x y m

3

3

y     y 0 (**)

Số nghiệm của (**) chính là số giao điểm của đồ thị (C) : f (y)y3   y với trục hoành

Ta có: f '(y)3y2 

Nếu  0 thì f '(y)0, y nên phương trình (**) có đúng 1 nghiệm

Nếu  0 thì phương trình (**) có nghiệm bội ba

Nếu  0 thì f '(y)0 có hai nghiệm y1 ; y2

f y f y

27   27

Do đó, ta có:

 Phương trình (**) có ba nghiệm khi và chỉ khi:

f y f y      0 4 27 0

27p 2m 9mn 2 m 3n (1)

Từ nhận xét trên ta thấy:

Với ba số thực a, b, c Đặt m   (a b c), n(ab bc ca), p   abc Khi đó a, b, c là

ba nghiệm của phương trình : x3mx2nx p 0

Và m, n, p thoả bất đẳng thức (1)

Bây giờ ta đi xét một số trường hợp đặc biệt sau:

1) Cho m0 khi đó (1) trở thành: 4n3 27p2 0 p2 4 n3

27

Ví dụ 1 Cho các số thực a, b, c không đồng thời bằng 0 thỏa a b c  0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 13a b c2 2 22 2 2abc 22 3



Lời giải Đặt nab bc ca, p   abc

Suy ra a, b, c là ba nghiệm của phương trình : x3mx n 0 (4)

Ta có: p2 4 n3 n3 27p2

Do đó: 13p2 2p 2 2n3 13p2 2p 2 27p2 1p 12 0

13p 2p 2  2n 13a b c 2ab 2  2 ab bc ca 

Mà: (a b c)2 0 ab bc ca 1a2 b2 c2

2

Dẫn tới: 13a b c2 2 2 2abc 2 1a2 b2 c23 P 1

Đẳng thức xảy ra n 2 a, b, c

 



   là ba nghiệm của phương trình

x 3x 2   0 (x 1) (x 2)   0 x 1, x 2

Vậy max P 1

4

 đạt được khi (a, b, c)(1,1, 2) và các hoán vị

Ví dụ 2 Cho các số thực a, b, c có tổng bằng 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P a b c 32 ab bc ca a b c  8 abc

Lời giải

Đặt nab bc ca, p   abc

Suy ra a, b, c là ba nghiệm của phương trình : x3nx p 0 (4)

Ta có: p2 4 n3 n3 27p2 n3 27p2

Vì a b c   0 a2b2c2  2(ab bc ca)   2n n 0

Do đó: P 32n532np28 p 32 ( n) 5 ( n)p28 p

64 n p3 8 p 8 54 p 3 p

Xét hàm số f (t)54t3t, t0 ta có:

f '(t) 162t 1, f '(t) 0 t

18

Lập bảng biến thiên ta có

t 0

min f (t) f



 

 



   



 

Suy ra P 8 2

27

  Đẳng thức xảy ra khi

3

2 p 18 1 n

24



 



  



hay a, b, c là nghiệm của phương trình

2 3

               

Vậy min P 8 2

27

3

9

6 3

2) Cho nkm2, khi đó (1) trở thành:

27p (2 9k)m  2 m 1 3k

Ví dụ 3 Cho các số thực a, b, c thoả a2 b2c2 2(ab bc ca)  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4

1

(abc)

Lời giải

Đặt m   (a b c), nab bc ca, p   abc, suy ra a, b, c là ba nghiệm của phương trình

t mt nt p 0

Từ giả thiết ta suy ra: a b c2 4 ab bc ca  n m2

4

Suy ra

3 3

m m

Đẳng thức xảy ra

2

2 4 3

m n 4 1 27p

p



 









, chẳng hạn ta chọn 3

3

1 p 3

972 n

4

 



 



 



hay a, b, c là nghiệm của

phương trình:

2

3 3

Vậy min P27 đạt được khi a b 318 3, c 34

Ví dụ 4 Cho các số thực a, b, c thoả 2 a 2b2c25 ab bc ca    Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt m   a b c , n ab bc ca, p   abc ta suy ra a, b, c là ba nghiệm của phương trình : x3mx2nx p 0

Từ giả thiết ta suy ra: 2 m 2 2n 5n n 2m2

9

27p 2m 9mn 2 m 3n nên suy ra

Do đó: 1 a b c2 3p2

Ta chứng minh: 3p2 3p 1 p 12 0

 

     

  (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi 2



, hay a, b, c là ba nghiệm của phương trình

t 3 3t   6t 2 0 3) Xét m23nc, c là hằng số cho trước

Ví dụ 5 Cho các số thực a, b, c thoả a2 b2c2 ab bc ca 4   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P18 ab bc ca   ab bc ca a b c 48     9abc

Lời giải

Đặt m   (a b c), nab bc ca, p   abc

a b c  3 ab bc ca   4 m 3n 4

27p 2m 9mn 2 m 3n

Suy ra 27p 2m 3n 4    9mn 18 27p 3mn 8m  16

8m 16

mn 9p

3

P18 ab bc ca  48 ab bc ca   ab bc ca a b c    9abc

2 3 ab bc ca 4 ab bc ca a b c 9abc 16

Xét hàm số f (m)6m4 8m 64 , ta có: 3

3

1

f '(m) 24m 8 f '(m) 0 m

3

 



     Nên 3

1 2



    

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

3 3 3

1 m

3

1 1

p

 



    





, suy ra a, b, c là nghiệm của phương

trình : t3 31 t2 1 13 4 t 1 43 47 0

        

Vậy min P 1 23 64



    

Ví dụ 6 Cho các số thực a, b, c thoả a2 b2c2 ab bc ca 1   Chứng minh rằng:

2

(a b c)   4 3 ab bc ca  18abc

Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

2

P  (a b c) 3 ab bc ca  18abc4 (*) Đặt m   (a b c), nab bc ca, p   abc

a b c  3 ab bc ca   1 m 3n 1

Mặt khác : 3  2 3

27p 2m 9mn 2 m 3n

Suy ra 27p 2m 33m(m2  1) 2 27p m 33m 2

3

Do đó: 3P3m29n254p3m2(m21)22 m 33m 2 

 m42m35m26m 3  (m2 m 3)212 12

Đẳng thức xảy ra khi

2 2 3

n

3 1

27

   



 





, ta chọn

m

2

n

6

p

54

 



 



 



Hay a, b, c là ba nghiệm của phương trình

Vậy max P12

Ví dụ 7 Cho các số thực dương a, b, c thoả  3

a b c  32abc Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4

P

a b c



Lời giải

Chuẩn hoá abc    2 a b c 4 Đặt nab bc ca  , suy ra

18n 91  16 3n  3n312n2108n 465 0 

2

 

Mặt khác:

a b c  a b c 2 a b b c c a

Nên P 1 a4 b4 c4 1 n2 32n 144

Vì hàm f (n)n232n 144 nghịch biến trên 5;5 5 1

2

  nên ta suy ra

max P f (5)



  