Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính

Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu nhằm nắm được các định nghĩa, định lí, tính chấtcủa "Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính" và các ứng dụng của bài toánliên quan đến các vấn đề

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Năng Tâm

Thái Nguyên - Năm 2014

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám Hiệu TrườngĐại học khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng sau Đại Học đã tạo điềukiện rất thuận lợi về mọi mặt cho tác giả trong quá trình tác giả học tập,nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Hải Hà

CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG

Rn không gian Euclid n-chiều

hx, yi tích vô hướng của x , y

k.k chuẩn Euclid trong Rn

intS miền trong của tập hợp S

Rn+ nón orthan dương trong Rn

f : X → Y Ánh xạ từ X vào Y

IM in(A) Tập hữu hiệu lý tưởng của A

M in(A) Tập hữu hiệu của A

W M in(A) Tập hữu hiệu yếu của A

(M OLP ) Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tínhIS(X, f ) Tập cực tiểu lý tưởng của (MOLP)S(X, f ) Tập cực tiểu của (MOLP)

W S(X, f ) Tập cực tiểu yếu của (MOLP)

Mục lục

1.1 Tập lồi và tính chất 3

1.2 Tập affine 4

1.3 Tập lồi đa diện 6

1.4 Điểm trong và điểm trong tương đối 9

1.5 Hàm lồi 10

1.6 Tính chất cực trị 11

1.7 Quan hệ thứ tự từng phần và điểm hữu hiệu 11

2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 16 2.1 Khái niệm 16

2.2 Phát biểu bài toán 19

2.3 Một số khái niệm nghiệm 20

2.4 Sự tồn tại nghiệm 22

2.5 Vô hướng hóa 23

2.6 Tính chất của tập nghiệm 28

1 Lý do chọn đề tài

Tối ưu đa mục tiêu tuyến tính [2], [4], [5] có nhiều ứng dụng trong lýthuyết cũng như trong các bài toán thực tế Lý thuyết tối ưu đa mục tiêutuyến tính đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [4] và nhữngtài liệu được trích dẫn trong đó Sau một thời gian học Cao học, với mongmuốn tìm hiểu sâu hơn về toán ứng dụng, tôi chọn đề tài:

"Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính" để nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu nhằm nắm được các định nghĩa, định lí, tính chấtcủa "Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính" và các ứng dụng của bài toánliên quan đến các vấn đề thực tiễn Qua đó, giúp củng cố các kiến thức

đã được học như: giải tích lồi trong không gian Rn, không gian affine, giảitích hàm,

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống hoá các các kiến thức cơ sở liên quan đến bài toán

Hệ thống hóa những nội dung cơ bản của bài toán "Bài toán tối ưu đamục tiêu tuyến tính”.

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức cơ bản của giải tích trong Rn

5 Đóng góp của luận văn

Đã trình bày được một cách tương đối có hệ thống về nội dung Bài toántối ưu đa mục tiêu tuyến tính

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn

có 2 chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi, quan hệthứ tự từng phần và một số khái niệm điểm hữu hiệu để sử dụng trongnhững phần sau

Chương 2: Trình bày một số nội dung của Bài toán tối ưu đa mục tiêutuyến tính bao gồm có sự tồn tại nghiệm, tính chất của tập nghiệm và vôhướng hóa

Cho S ⊂ Rn Giao của tất cả các tập lồi trong Rn chứa S là một tập lồi

và được gọi là bao lồi của S ký hiệu: convS

Rõ ràng, convS là tập lồi nhỏ nhất chứa S

Đoạn thẳng đi qua 2 điểm a, b ∈ Rn ký hiệu là [a, b], là tập:

{x ∈ Rn : x = λa + (1 − λ) b, 0 6 λ 6 1} Định lý 1.3

Nếu M là tập affine khác rỗng trong Rn thì tồn tại không gian véc tơcon W của Rn sao cho M = a + W , trong đó a ∈ M

Định nghĩa 1.5

Nếu M là tập affine khác rỗng trong Rn và W là không gian con của

Rn sao cho M = a + W , trong đó a ∈ M thì W được gọi là không gian consong song với M , số chiều của W được gọi là số chiều của tập affine M Định nghĩa 1.6

Cho một tập S bất kỳ của Rn Giao của tất cả các tập affine trong Rnchứa S là một tập affine Ta gọi giao đó là bao affine của S, ký hiệu aff S

Dễ thấy aff S là tập affine nhỏ nhất chứa S

Ví dụ 1.1

Trong R2, mọi đường thẳng đều là một siêu phẳng

Trong R3, mọi mặt phẳng đều là siêu phẳng

được gọi là nửa không gian mở.

1.3 Tập lồi đa diện

Định nghĩa 1.9

Tập lồi đa diện là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng.Nói cách khác, tập lồi đa diện là tập nghiệm của một hệ bất đẳng thứctuyến tính có dạng:

hai, xi 6 bi , i = 1, 2, , n,trong đó ai ∈ Rn, bi ∈ R

Một tập lồi đa diện bị chặn thì được gọi là đa diện lồi

Một tập lồi đa diện là bao lồi của một số hữu hạn điểm và một số hữuhạn đoạn thẳng

Một đa diện lồi là bao lồi của một số hữu hạn điểm

Cho một tập lồi đa diện M , tập con F ⊂ M được gọi là diện nếu:

x ∈ F, a, b ∈ M, 0 < λ < 1, x = λa + (1 − λ) b ∈ F

⇒ a, b ∈ F

Nói cách khác, F là một diện của M nếu F chứa một điểm trong (hoặcđiểm tương đối) của một đoạn thẳng nào đó của M thì F chứa trọn cảđoạn thẳng đó Một diện có thứ nguyên là 0 được gọi là một đỉnh hay điểmcực biên, cạnh là diện có thứ nguyên bằng 1.

Cho C là một tập lồi đa diện, một điểm x0 ∈ C được gọi là điểm cựcbiên (hay đỉnh) nếu nó không chứa bất kỳ một đoạn thẳng nào của C nhận

x0 làm điểm trong của đoạn thẳng đó, tức là không tồn tại 2 điểm phânbiệt a, b ∈ C sao cho:

x0 = λa + (1 − λ) b, 0 < λ < 1

Với tập lồi đa diện, một đỉnh của diện cũng chính là đỉnh của tập đó.Một tập hữu hạn (n+1) điểm u0, u1, u2, , un ∈ Rn được gọi là độc lậpaffine khi và chỉ khi (u1 − u0), (u2 − u1), , (un − u0) là độc lập tuyếntính

Nếu (n+1) điểm u0, u1, u2, , un ∈ Rn là độc lập affine thì bao lồi của

nó được gọi là một n-đơn hình với các đỉnh u0, u1, u2, , un

Xét ánh xạ tuyến tính f : Rn → Rm, ta có định lý sau:

Định lý 1.5

Nếu X là tập lồi đa diện thì f (X) cũng là tập lồi đa diện

Hơn nữa, nếu X là đa diện lồi thì f (X)là bao lồi của ảnh các đỉnh củaX.

Cho B ⊂ Rn và K là một nón trong K ⊂ Rn Ta nói B sinh ra nón K

và viết K = cone(B) nếu

K = {tb | b ∈ B, t ≥ 0}

Nếu 0 /∈ B và với mọi c ∈ K, c 6= 0 tồn tại duy nhất b ∈ B, t > 0 sao cho

c = tb thì ta nói B là một đáy của K Khi B là tập hữu hạn, cone(conv(B))được gọi là nón đa diện

Định nghĩa 1.12

Nón lùi xa của tập X ⊆ Rn, X 6= ∅ là nón :

Re c (X) = ∩ {clcone (X ∩ V ) : V ⊂ B} Với B là lọc của điểm vô cùng ∞

Mệnh đề 1.2 [4]

Cho X ⊂ Rn Khi đó, véc tơ a ∈ Rec(X) khi và chỉ khi với mọi V códạng Rn\ W với W là tập đóng và lân cận mở U của 0 trong Rn ta có:

cone(a + U ) ∩ X ∩ V 6= ∅

1.4 Điểm trong và điểm trong tương đối

Định nghĩa 1.13

Cho tập A bất kỳ, một điểm x0 gọi là điểm trong của A nếu:

∃ε > 0 : B (x0, ε) = {x ∈ Rn : kx − x0k < ε} ⊂ A

Tập hợp các điểm trong của tập A được ký hiệu là intA

Điểm x0 được gọi là điểm trong tương đối nếu

Cho A là một tập lồi đóng và x0 ∈ A Lúc đó tồn tại một siêu phẳng/tách hẳn A và x0.

f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) ;

∀x, y ∈ A, 0 < λ < 1.

Hàm f được gọi là lõm (lõm chặt) nếu -f lồi (lồi chặt)

Hàm f được gọi là tựa lồi trên A nếu ∀λ ∈ R tập mức :

Cho (6) là thứ tự từng phần trên Rm Ta nói thứ tự 6 là tuyến tính nếu

x 6 y kéo theo tx 6 ty với mỗi t>0 và x+z 6 y+z với mỗi z ∈ Rm

Khi đó, x 6 y là một thứ tự từng phần trên Rm Dễ thấy x 6 y khi vàchỉ khi y − x ∈ Rm+ Ta gọi thứ tự này là thứ tự xác định bởi nón Rm+.Định nghĩa 1.23.

Cho Rn và thứ tự 6 xác định bởi nón Rm+ Cho A ⊂ Rn là tập khác rỗng

là IM in(A), M in(A) và W M in(A)

Các kết quả sau đây là những trường hợp riêng của những kết quả tổngquát trong [4]:

Định lý 1.10

Cho A ⊂ Rn là tập khác rỗng Khi đó, M in(A) ⊂ W M in(A)

Hơn thế, nếu IM in(A) 6= ∅ thì IM in(A) = M in(A)

Chứng minh

Để chứng minh

M in(A) ⊂ W M in(A),

lấy x ∈ M in(A) và đặt K là hình nón sinh bởi 0 và intRn+ Giả sử rằng

y ∈ A và y − x ∈ K Chúng ta chỉ ra x − y ∈ K và điều này suy ra

x ∈ W M in(A)

Thật vậy, nếu x = y thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh Nếu x 6= y

và y − x ∈ K thì

Vì x ∈ M in(A) và K ⊆ Rn+, x − y ∈ K suy ra x 6 y Nói cách khác,

y − x ∈ Rn+ Điều này và (1.1) chỉ ra 0 ∈ int Rn+, nghĩa là intRn+ = K và

do đó x − y ∈ K

Tiếp theo, rõ ràng

IM in (A) ⊆ M in (A) Nếu IM in(A) khác rỗng, thì ta giả sử x là một trong những phần tử của

nó Khi đó, với mỗi y ∈ M in (A), y > x kéo theo x > y Tính bắc cầu củaquan hệ thứ tự cho ta z > y với mọi z ∈ A Điều đó nghĩa là y ∈ IMin (A)

2.1 Khái niệm

Trong thực tế cùng một lúc người ta thường theo đuổi nhiều mục tiêukhác nhau Ví dụ khi lựa chọn mua nhà ở, chúng ta phải tính đến nhiềuyếu tố: giá cả, môi trường, tiện nghi Thường nhà rẻ hơn thì môi trườnghay tiện nghi kém hơn Điều đó dẫn đến mô hình bài toán tối ưu đa mụctiêu Để hiểu rõ hơn về bài toán tối ưu đa mục tiêu, ta xét một số ví dụsau:

Ví dụ 1 (Tối ưu phương án thiết kế nhà ở)

Giả sử trong thiết kế nhà ở, cách bố trí các phòng như một số thông

số và ràng buộc được cho trước.Vấn đề phải xác định các thông số còn lại

nhằm cực đại diện tích sử dụng và cực tiểu chi phí xây dựng.

Chi phí xây dựng cho bảng sau:

Loại phòng Diện tích min(m2) Diện tích max(m2) Giá (triệu VNĐ)

Đạm Mỡ Vitamin Calo Giá cả

Gọi f2(x) là số calo mỗi khẩu phần cung cấp, ta có

f2(x) = c1x1 + c2x2 + c3x3.Gọi f3(x) là sự ngon miệng thì f3(x) thường được đánh giá bởi tỷ lệ thịt

cá so với rau Ta nói khẩu phẩn (x1, x2, x3) là ngon nếu

2x3 − x1 − x2 > và − x3 + x1 + x2 > 0

Khẩu phần (x1, x2, x3) ngon hơn khẩu phần (y1, y2, y3) nếu (x1 − y1, x2 −

y2, x3 − y3) đảm bảo tỷ lệ như trên

Các ràng buộc đối với dinh dưỡng:

min f1(x), min f2(x), max f3(x);

với các ràng buộc dinh dưỡng

2.2 Phát biểu bài toán

Một bộ phận quan trọng của tối ưu đa mục tiêu là tối ưu đa mục tiêutuyến tính Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính được phát biểu nhưsau:

Định nghĩa 2.1

Cho X là một tập lồi đa diện trong Rn

Ánh xạ f : Rn → Rm

là ánh xạ tuyến tính, trong đó Rm được trang bịthứ tự bởi nón Rm+, nghĩa là với x, y ∈ Rm, x 6 y khi và chỉ khi y − x ∈ Rm+.Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính ứng với X và f là tìm x ∈ X,gọi là nghiệm tối ưu (nghiệm hữu hiệu lí tưởng, hoặc nghiệm cực tiểu lítưởng) sao cho:

Hàm f gọi là hàm mục tiêu, tập đa diện X gọi là tập ràng buộc Tậptất cả các nghiệm tối ưu của (MOLP) được kí hiệu là IS(X, f ) Nếu x ∈IS(X, f ) thì f (x) gọi là giá trị cực tiểu lí tưởng của bài toán

2.3 Một số khái niệm nghiệm

Nhận xét rằng, vì f (X) ⊂ Rm nên trong nhiều trường hợp hai phần tửbất kì f (x), f (y) có thể không so sánh được với nhau theo quan hệ 6 Do

đó, nghiệm cực tiểu lí tưởng thường không tồn tại Do đó người ta đưa rakhái niệm nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu cho bài toán như sau:Định nghĩa 2.2

Một điểm x0 ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu (cực tiểu Pareto) củabài toán (MOLP), nếu không tồn tại x ∈ X sao cho

f (x) 6 f (x0) , f (x) 6= f (x0)

Dễ dàng kiểm tra được IS(X, f ) = ∅, S(X, f ) = W S(X, f ) và

Đảo lại, giải sử rằng Rec(f (X)) ∩ −Rm+ = {0} Vì dimf (X) hữu hạn,kết quả suy ra từ Định lý 1.12

Định lý 2.3 Cho bài toán (MOLP) Khi đó, nếu W S(X, f ) khác rỗng thì

Rec(f (X)) ∩ −intRm+ = ∅

Chứng minh:

Giả sử W S(X, f ) khác rỗng, nhưng tồn tại véc tơ v sao cho:

v ∈ Rec(f (X)) ∩ −intRm+.Với mọi f (x) ∈ f (X), dễ thấy v ∈ Rec(f (X) − f (x)) Theo Mệnh đề 1.2trong chương 1 và vì v ∈ −intRm+ ta có thể chọn được lân cận mở U của

Nói cách khác, tồn tại f (y) ∈ f (X) sao cho f (x) − f (y) ∈ intRm+, nghĩa

là x không thể là nghiệm hữu hiệu yếu của (MOLP)

2.5 Vô hướng hóa

Xét bài toán (MOLP):





min f (x);

và bài toán tối ưu vô hướng (SP):

i) (SP) là biểu diễn vô hướng của (MOLP) nếu với mọi x, y ∈ X:

f (y) 6 f (x) suy ra s(y) 6 s(x) và

f (y) < f (x) suy ra s(y) < s(x);

ii) (SP) là biểu diễn vô hướng chặt của (MOLP) nếu với mọi x, y ∈ X:

f (y) 6 f (x) suy ra s(y) 6 s(x) và

f (y)  f (x) suy ra s(y) < s(x);

iii) (SP) là biểu diễn vô hướng yếu của (MOLP) nếu với mọi x, y ∈ X:

f (y)  f (x) suy ra s(y) < s(x);

Dễ thấy i) ⇒ ii) ⇒ iii)

Định nghĩa 2.5

Nếu biểu diễn vô hướng (SP) của (MOLP) là bài toán tối ưu đa mụctiêu tuyến tính thì ta gọi (SP) là biểu diễn tuyến tính của (MOLP)

hξ, ai 6 0 < hξ, bi với mỗi a ∈ A, b ∈ B.

Điều này chỉ ra ξ ∈ int(Rm+)∗

Định lý 2.4 Bài toán (MOLP)

Khi đó, x ∈ S(X, f ) (tương ứng, x ∈ W S(X, f )) khi và chỉ khi x lànghiệm tối ưu của biểu diễn tuyến tính (tương ứng, biểu diễn tuyến tínhyếu) (SP) của (MOLP) với hàm mục tiêu có dạng s = ξ ◦ f với ξ ∈ C∗(tương ứng, ξ ∈ C∗ \ {0}), trong đó C∗

= {ξ ∈ Rm | hξ, xi ≥ 0 ∀x ∈ Rm

+}.Chứng minh:

Trước hết, lưu ý rằng với bất kỳ ξ ∈ C∗, bài toán (SP) với s = ξ ◦ fluôn là tuyến tính Hơn thế, nếu ξ ∈ intC∗ thì nó là phiếm hàm tăng Thậtvậy, với a, b ∈ R+m ta có:

a − b ∈ Rm+ suy ra hξ, (a − b)i > 0,

a − b ∈ Rm+ \ {0} suy ra hξ, (a − b)i > 0,

trái lại, hξ, (a − b)i = 0 với mọi ξ ∈ C∗ và suy ra cả hai véc tơ (a − b) và(b − a) đều thuộc (C∗)∗ = Rm+, nghĩa là a − b = 0, mâu thuẫn Như vậy,

s = ξ ◦ f cho ta một biểu diễn tuyến tính của (MOLP) Vì vậy, nếu x làlời giải tối ưu của (SP) thì, theo mệnh đề 2.2 trong [4], nó cũng là một lờigiải tối ưu của (MOLP)

Ngược lại, giả sử x ∈ S(X; f ) Khi đó, hai tập đa diện f (X) và f (x) −

Rm+\{0} không có điểm chung Theo một bổ đề trên, tồn tại véc tơ ξ ∈ intC∗tách những tập này Nói riêng ra:

hξ, f (x)i 6 hξ, f(y)i ∀y ∈ X,nghĩa là x ∈ S(X, ξ ◦ f )

Định lý 2.5

Tồn tại hữu hạn véc tơ ξ1, , ξn của (C∗) = Rn+ (tương ứng, intRn+)sao cho tập W S(X, f ) (tương ứng, S(X, f )) là hợp:

X{S(X, ξi◦ f ) | i = 1, k.}

Chứng minh

Vì X là tập đa diện, f là ánh xạ tuyến tính, ta có f (X) là tập đa diện

Do đó có thể phân hoạch f (X) thành hữu hạn các diện mở tương đối rờinhau:

f (X) =X{Xi | i = 1, , m}

Vì Xi mở tương đối nên, nếu ánh xạ tuyến tính f đạt cực tiểu tại mộtđiểm nào đó của Xi thì mọi điểm của Xi đều là điểm cực tiểu của f Kíhiệu X1, , Xk là những diện của phân hoạch đang xét có tính chất: Hợpcủa chúng chứa W M in(f (X)) và không có diện nào trong chúng không

cần đến Theo định lý 2.9 trong chương 4 của [4] với xi ∈ W S(X, f ) cốđịnh mà f (xi) ∈ Xi, tồn tại ξi ∈ Rn

và lấy e là véc tơ bất kỳ của intRm+ Ta xây dựng hàm g như sau:

g(a) = inf{t | a ∈ te + A}, với mọi a ∈ Rm.Dựa vào định lý 1.6 ([4], p.83) ta có hàm g như mong muốn

Giả sử phản chứng rằng, tồn tại dãy {xk} ⊂ W S(X, f ) hội tụ tới x0 ∈/

W S(X, f ) Khi đó, vì X đóng ta có x0 ∈ X, tồn tại x ∈ X sao cho:

f (xk) − f (x) ∈ intRm+.Lấy lân cận V của f (x0) sao cho:

Vì f là Rm+ - liên tục trên X, tồn tại chỉ số k0 sao cho:

f (xk) ∈ V + Rm+, ∀k > k0

kết hợp điều này với (2.1) ta nhận được

xk ∈ W S(X, f ),/mâu thuẫn

Hệ quả 2.1

Nếu f (X) đóng thì W M in(f (X)) đóng Nói riêng ra, nếu X compact

và f liên tục thì W M in(f (X)) đóng

Chứng minh:

Nếu f (X) đóng thì theo định lý trên ta có W S(X, f ) đóng Kí hiệu id

là ánh xạ đồng nhất trên f (X) Vì W M in(f (X)) trùng với W S(f (X), id),

ta suy ra WMin(f(X)) đóng

Nếu X compact và f liên tục thì f (X) đóng

Nhắc lại rằng, tập con X0 của đa diện lồi X được gọi là một diện nếu

X0 = X hoặc tồn tại siêu phẳng H sao cho X được chứa trọn trong mộtnửa không gian sinh bởi H và sao cho X0 = X ∩ H

Định nghĩa 2.7

Tập B ⊂ Rn được gọi là liên thông cung nếu với mọi a, b ∈ B tồntại hữu hạn điểm của B : b0 = a, , bl+1 = b sao cho các đoạn thẳng[bi, bi+1], i = 0, , l thuộc B

Định lý 2.8

Với mọi đa diện lồi X trong Rn, nếu các tập M in(X) và W M in(X)khác rỗng thì chúng gồm một số diện của X và chúng liên thông cung.Chứng minh

Chúng ta biết rằng, với mọi hàm tuyến tính ξ trên Rn, tập các điểm cựctiểu của ξ trên X là một diện đóng của X Do đó, khẳng định thứ nhấtsuy từ Theorem 3.3, [4].

Phần còn lại của định lý được suy ra từ phần thứ nhất và những kếtquả về tính liên thông liên quan đến các tập lồi Dưới đây là cách chứngminh của Podinovski-Nogin (1983) [4], p.137 Kí hiệu X1, X2, , Xk là cácmặt mở tương đối của X đôi một không giao nhau và hợp của chúng là

M in(A) Lấy ai ∈ Xi và xét các nón lồi đóng:

xi ⊆ S(X, ξ)

Điều này này nghĩa là ξ ∈ C∗(ai) Bây giờ lấy a, b ∈ M in(X) với a ∈ Ai, b ∈

Aj với i, j ∈ {1, 2, , k} Ta phải chỉ ra rằng có b0, , bl+1 ∈ M in(X)sao cho:

và

[br, br+1] ⊆ M in(X), r = 0, , l