quy tắc nhân tử lagrange cho bài toán tối ưu vectơ khả vi

Để dẫn các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu vectơtrước hết ta có thể sử dụng định lý Ljusternik của giải tích hàm để chứngminh các điều kiện cần dạng hệ bất đẳng thứ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ THU HÀ

CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ KHẢ VI

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12 Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS Đỗ Văn Lưu

Thái nguyên – 2014

MỞ ĐẦU

Lý thuyết các điều kiện tối ưu là một bộ phận quan trọng của lý thuyếttối ưu hóa và có nhiều ứng dụng trong kinh tế, kỹ thuật Cho đến nay lýthuyết các điều kiện tối ưu đã thu được nhiều kết quả phong phú và đẹpđẽ

Để dẫn các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu vectơtrước hết ta có thể sử dụng định lý Ljusternik của giải tích hàm để chứngminh các điều kiện cần dạng hệ bất đẳng thức không tương thích Từ đó

sử dụng định lý tách của giải tích lồi ta sẽ dẫn được các điều kiện cần FritzJohn và Kuhn - Tucker Điều kiện cần Kuhn - Tucker ấy sẽ trở thành điềukiện đủ tối ưu khi giả thiết thêm một điều kiện về tính lồi suy rộng củacác hàm dữ liệu Các điều kiện tối ưu là đề tài đã và đang được nhiều nhàtoán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Chính vì vậy tôi đãchọn đề tài "Quy tắc nhân tử Lagrange cho bài toán tối ưu vectơ khả vi"Luận văn trình bày lý thuyết các điều kiện Fritz John và Kuhn - Tucker

và các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu vectơ khả vi.Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, và danh mục cáctài liệu tham khảo

Chương 1: Nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu

Trình bày các khái niệm cực tiểu, cực đại, cực tiểu yếu, cực đại yếu củamột tập hợp và nghiệm hữu hiệu (hay cực tiểu), nghiệm hữu hiệu yếu (haycực tiểu yếu) của bài toán cực tiểu vectơ cùng với một số kết quả bổ trợ

để dẫn điều kiện tối ưu

Chương 2 Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu yếu

Trình bày các điều kiện cần dạng hệ bất đẳng thức không tương thích,

điều kiện cần Fritz John và điều kiện cần Kuhn - Tucker cho nghiệm hữuhiệu yếu của bài toán tối ưu vectơ

Chương 3 Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu.Trình bày các tính chất của hàm tựa lồi và các điều kiện đủ cho nghiệmhữu hiệu yếu của bài toán tối ưu vectơ với giả thiết về tính lồi suy rộngcủa các hàm mục tiêu và ràng buộc

Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Đỗ VănLưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành bản luận vănnày

Em xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo sau đại học, Ban Giám HiệuTrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo

đã tham gia giảng dạy khóa học

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các thànhviên trong lớp cao học toán K6D đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôitrong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014

Tác giả

Lê Thị Thu Hà

1.1 Nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu của một tập vàbài toán tối ưu đa mục tiêu

Trong phần này ta sẽ dẫn quy tắc nhân tử Lagrange cho bài toán tối

ưu đa mục tiêu với các hàm khả vi Fréchet Ta đưa vào các giả thiết sau:

Ánh xạ f được gọi là ánh xạ mục tiêu Trước hết ta định nghĩa nghiệmcủa bài toán (1.2) Ta nhắc lại các khái niệm cực tiểu, cực đại, cực tiểuyếu và cực đại yếu của một tập.

(ii) Phần tử ¯x ∈ S được gọi là cực đại yếu (weakly maximal element) củatập S nếu:

Chú ý rằng các khái niệm cực tiểu và cực tiểu yếu liên quan chặt chẽ

Bổ đề 1.1.1[2]

Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính có bộ phậnXvới nón thứ tự C có phần trong đại số khác rỗng

Mệnh đề 1.1.2

Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính có thứ tự bộphậnX Với nón thứ tự C mà C 6= X và cor(C) 6= ∅ Khi đó, mọi phần tửcực tiểu của tập S cũng là cực tiểu yếu của S

Bây giờ ta định nghĩa khái niệm nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệuyếu của bài toán tối ưu (1.2)

Định nghĩa 1.1.3

Giả sử bài toán tối ưu (1.2) thỏa mãn các giả thiết (1.1).

1.2 Một số kết quả bổ trợ để dẫn điều kiện tối ưu

Để nhận được điều kiện cần cho cực tiểu yếu (nghiệm hữu hiệu yếu) củabài toán tối ưu (1.2) ta cần một kết quả về nón tiếp liên

Cho S là tập con của không gian định chuẩn X, nón tiếp liên của tập

rỗng Hơn nữa, giả sử S là tập con khác rỗng của X và ánh xạ r : X → Y

tồn tại dãy (xn)n∈N các phần tử xn ∈ S và dãy (λn)n ∈ N gồm các số thực

¯

x = lim

x→0xnvà

h = lim

n→∞λn(xn − ¯x)

Nếu ta đặt

hn := λn(xn− ¯x), ∀n ∈ N,thì ta nhận được

r(¯x) + r0(¯x)(h) ∈ −int(Cy),

và do đó từ (1.6) ta suy ra

yn : = λn(r(xn) − r(¯x) − r0(¯x)(xn − ¯x))+ r0(¯x)(hn − h) + r(¯x) + r0(¯x)(h)

Nhưng điều này lại dẫn tới:

Mệnh đề 1.2.2[2]

Chương 2

ĐIỀU KIỆN CẦN CHO NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU

Chương 2 trình bày các điều kiện cần tối ưu dạng hệ bất đẳng thứckhông tương thích, điều kiện cần Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu vàđiều kiện Kuhn - Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán tối ưuvectơ Các kết quả trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1],[2], [3], [5]

2.1 Điều kiện cần dạng hệ bất đẳng thức không tương thích

Từ bổ đề trên và định lý Lyusternik ta trình bày điều kiện cần chonghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (1.2)

Định lý 2.1.1

hứu hiệu yếu của bài toán (1.2) Hơn nữa, giả sử f và g khả vi Fréchet tại

¯

f0(¯x)(x − ¯x) ∈ −int(CY),g(¯x) + g0(¯x)(x − ¯x) ∈ −int(Cz1)và

h0(¯x)(x − ¯x) = 0z2Chứng minh

f0(¯x)(x − ¯x) ∈ −int(CY),g(¯x) + g0(¯x)(x − ¯x) ∈ −int(Cz1)và

h0(¯x)(x − ¯x) = 0z2.Khi đó, theo định lý Lyusternik ta nhận được

g(¯x) + g0(¯x)(x − ¯x) ∈ −int(CZ1),

ta suy ra

x − ¯x ∈ T ({s ∈ ˆS | f (s) − f (¯x) ∈ −int(CY),g(s) ∈ −int(CZ1), h(s) = 0Z1}, ¯x)

(1.2)

Định lý được chứng minh 22.2 Các điều kiện cần Fritz John và Kuhn - Tucker

Bây giờ ta trình bày quy tắc nhân tử Lagrange Điều kiện cần tối ưu nàyđược chứng minh dựa trên định lý 2.1.1 và định lý tách

Định lý 2.2.1

1 và v ∈ Z2∗ với (t, u, v) 6= 0Y ∗ ×Z ∗

1 ×Z ∗ 2

g(¯x) + g0(¯x)(ˆx − ¯x) ∈ −int(CZ1),và

h0(¯x)(ˆx − ¯x) = 0Z2 và ánh xạ h0(¯x) lên

thì t 6= 0Y∗

Chứng minh:

được chỉ ra.

định tập hợp sau:

M : = {(f0(¯x)(x − ¯x) + y, g(¯x) + g0(¯x)(x − ¯x) + z1, h0(¯x)(x − ¯x))

∈ Y × Z1 × Z2 | x ∈ int( ˆS), y ∈ int(CY), z1 ∈ int(CZ1)}

Tập này có thể viết dưới dạng:

M = (f0(¯x), g0(¯x), h0(¯x))(int( ˆS) − {¯x})+ int(CY) × ({g(¯x)} + int(CZ1)) × {0Z2}

phần trong của nó

Tập M là tập lồi bởi vì (f0(¯x), g0(¯x), h0(¯x)) là tuyến tính và int( ˆS) − {¯x}

thuộc vào M , tức là ta có:

Tập M là lồi và mở Do đó, theo định lý tách Eidelheit (định lý 3.16 [2])thì phương trình tập trên kéo theo tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liêntục t ∈ Y∗, u ∈ Z1∗ và v ∈ Z2∗, với (t, u, v) 6= 0Y∗ ×Z ∗

1 ×Z ∗

2} vàt(f0(¯x)(x − ¯x) + y) + u(g(¯x) + g0(¯x)(x − ¯x) + z1) + v(h0((¯x)(x − ¯x)) > 0

Do tính liên tục của ánh xạ từ bắt đẳng thức (2.3) ta nhận được

t(f0(¯x)(x − ¯x) + y) + u(g(¯x) + g0(¯x)(x − ¯x) + z1) + v(h0((¯x)(x − ¯x)) ≥ 0

Từ bất đẳng thức (2.4) trên ta suy ra với x = ¯x,

được:

t(f0(¯x)(ˆx − ¯x) + y) > 0, ∀y ∈ int(CY)

Điều kiện cần tối ưu trong định lý 2.2.1 tổng quát hóa quy tắc nhân tửLagrange đã biết Giả thiết thêm trong phần hai của định lý trên đảm bảo

t 6= 0Y ∗ được gọi là giả thiết chính quy Nếu t 6= 0Y ∗thì điều kiện cần tối

ưu cũng được gọi là điều kiện Karush Kuhn - Tucker

đẳng thức

t ◦ f0(¯x) + u ◦ g0(¯x) + v ◦ h0(¯x) = 0X∗.Quy tắc nhân tử trong định lý 2.2.1 được phát biểu qua hàm Lagrange giátrị thực t ◦ f + u ◦ g + v ◦ h

Định lý 2.2.2

Giả sử bài toán tối ưu (1.2) thỏa mãn giả thiết (1.1) Với x ∈ S) , giả sử

Khi đó, ta xác định ánh xạ L1 : Z1 → Y và L2 : Z2 → Y theo công thức:

và

L2(z2) = v(z2)˜y, với mọi z2 ∈ Z2

L1(CZ1) ⊂ (int(CY) ∪ {0Y})Hơn nữa, ta nhận được

Do đó, bất đẳng thức trong phát biểu (2.7) ta có thể viết như sau:

(t ◦ (f0(¯x) + L1 ◦ g0(¯x) + L2 ◦ h0(¯x)))(x − ¯x) ≥ 0, với mọi x ∈ ˆS.Khi đó, theo kết quả vô hướng hóa của hệ quả 5.29[1] ta có

(f0(¯x) + L1 ◦ g0(¯x) + L2 ◦ h0(¯x))(x − ¯x) /∈ −int(CY), với mọi x ∈ ˆS.Cuối cùng, từ đẳng thức (2.9) ta nhận được

con một chiều của Y.

Với bài toán tối ưu không có ràng buộc g, h quy tắc nhân tử cũng có thể

sử dụng với g và h là ánh xạ không Nhưng trong trường hợp này sẽ dẫnđến một kết quả tổng quát hơn

Định nghĩa 2.2.1

Giả sử X và Y là các không gian tuyến tính thực, S là tập con khác rỗng

Định lý 2.2.3

Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính thực X và Y

bài toán tối ưu

min

1

λ(f (ˆx) − f (¯x)) ∈ −cor(CY)

Do đó, ta có

f (ˆx) ∈ ({f (¯x)} − cor(CY)) ∩ f (S)

Bằng lý luận như trong định lý 2.2.2, điều kiện tối ưu (2.11) dạng véc tơtương dương với một bất đẳng thức nếu biến phân theo phương của f tại

Y là không gian tuyến tính có thứ tự bộ phận với nón thứ tự CY 6= Y

có phần trong đại số khác rỗng Giả sử f : S → Y là ánh xạ mà nó có

t ∈ CY 0 \ {0Y0} sao cho

mãn (2.12)

Chứng minh

lý 5.28[2] ta có ngay điều kiện (2.11) Tiếp theo, ta giả sử (2.11) đúng theo

bổ đề 4.13[2] ta nhận được:

Bây giờ ta quay lại quy tắc nhân tử trong định lý 2.2.1 và chúng ta đặcbiệt hóa kết quả này cho bài toán tối ưu đa mục tiêu (1.2)

trong đó không gian Rm có thứ tự bộ phận Giả sử f và g khả vi tại ¯x và

5gi(¯ T(x − ¯x) < 0, với mọi i ∈ I(¯x)và

trong đó

I(¯x) := {i ∈ {1, , k} | gi(¯x) = 0}

Vì vậy, giả thiết chính quy trong định lý 2.2.1 đúng Do đó, tồn tại các nhân

đẳng thức (2.13) có thể viết như sau:

Chương 3

ĐIỀU KIỆN ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU

VÀ NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU

Chương 3 trình bày các tính chất của hàm tựa lồi và các điều kiện đủ chonghiệm hữu hiệu và hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu vectơ khi các hàm dữliệu thỏa mãn giả thiết về tính lồi suy rộng Các kết quả trình bày trongchương này được tham khảo từ các tài liệu [2], [4]

3.1 Ánh xạ tựa lồi

Định nghĩa 3.1.1

Giả sử S là tập con lồi khác rỗng của không gian tuyến tính thực X, và

f : S → Y được gọi là tựa lồi (quasiconvex) nếu

Y là không gian tuyến tính có thứ tự bộ phận với nón thứ tự CY Ánh xạ

f : S → Y là tựa lồi nếu và chỉ nếu với mọi x ∈ S, tập hợp

chứa

{λx + (1 − λ)¯x | λ ∈ [0, 1]}, khi x ∈ Lx¯.Tiếp theo ta mở rộng lớp ánh xạ tựa lồi theo định nghĩa sau

Định nghĩa 3.1.2

Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính thực X, C là

Định lý 3.1.4

Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính thực X và C

một phần tử đã cho Ánh xạ f : S → Y là C-tựa lồi tại ¯x và nếu và chỉnếu tập

Từ bổ đề 3.1.2 có thể làm yếu đòi hỏi (3.2) thành (3.5) bằng cách cho phép

˜

tiểu địa phương cũng là cực tiểu toàn cục thì ta có tính chất đặc trưng củatính C-tựa lồi

Định nghĩa 3.1.3

Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính thực X và Y là

Xét bài toán tối ưu:

min

với S được thay bởi S ∩ cor(U )

gọi là cực tiểu yếu địa phương của bài toán (3.6) nếu tồn tại tập U ⊂ X,

thay bởi S ∩ cor(U )

Hai định lý sau đây phát biểu các điều kiện cần và đủ để cực tiểu địa

phương cũng là cực tiểu toàn cục.

Định lý 3.1.1

Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính thực X, và

¯

))-tựa lồi tại ¯x

Chứng minh

cực tiểu toàn cục thì tồn tại x ∈ S sao cho

cho f (¯x) − f (x) ∈ CY \ (−CY) và tính (CY \ (−CY))-tựa lồi của f tại ¯x

Định lý sau đây được chứng minh tương tự

Định lý 3.1.2

Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính thực X, Y là

đã đưa vào trong định nghĩa 2.2.1

Định nghĩa 3.1.4

Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính thực X, và giả

tại x ∈ S thỏa mãn

mọi x ∈ S suy luận sau đúng:

f0(¯x)(x − ¯x) ∈ CY =⇒ f (x) − f0(¯x) ∈ CY.Điều này tương đương với

f (x) − f (¯x) /∈ CY =⇒ f0(¯x)(x − ¯x) /∈ CY

Điều này chỉ ra rằng lớp các ánh xạ giả lồi được chứa trong lớp rộng hơn

Định lý tiếp theo trình bày một vài quan hệ giữa tính C−tựa lồi và C-tựa lồi khả vi

Định lý 3.1.3

Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính thực X, và giả

f : S → Y

Chứng minh

và

Nhưng điều này mâu thuẫn với (3.10) Vì vậy, với biến phân theo phương

C−tựa lồi khả vi của f tại ¯x kéo theo tồn tại ˜x ∈ S \ {¯x} và một biến

3.2 Điều kiện đủ tối ưu

Ta xét quy tắc nhân tử Lagrange trình bày trong chương 2 Ta chứngminh rằng quy tăc nhân tử Lagrange này là điều kiện tối ưu cho bài toánnếu ta đưa vào các giả thiết về tính lồi suy rộng Chúng ta sẽ xét bài toántối ưu đa mục tiêu và giả thiết sau đây được đưa vào

rỗng

(3.11)

Với giả thiết này ta xét bài toán tối ưu:

min

Định lý 3.2.1

và

0Z2 ∈ G2 ⊂ Z2

sao cho

(t ◦ f0(¯x) + u ◦ g0(¯x) + v ◦ h0(¯x))(x − ¯x) ≥ 0, với mọi x ∈ ˆS (3.14)và

ta cũng suy ra ¯x ∈ ¯S Khi đó, ¯x là cực tiểu yếu của bài toán

min

x∈ ¯ S

h(x) = 0Z2,

Trong định lý trên ta đã chỉ ra sự tương đương của tính tựa lồi với điều

g(¯x)

Với bài toán gốc hệ quả sau đúng:

Hệ quả 3.2.1

Giả sử các giả thiết của định lý 3.2.1 đúng, và ánh xạ (f, g, h) khả vi

hữu hiệu yếu của bài toán (3.12)

Vì vậy,

Nếu giả thiết tựa lồi trong định lý 3.2.1 được làm mạnh hơn thì ta nhậnđược định lý tương tự sau

Định lý 3.2.3

là nghiệm hữu hiệu của bài toán (3.19) nếu và chỉ nếu hàm (f, g, h) là

C1 − C2- tựa lồi khả vi tại ¯x với

và

Chứng minh định lý này tương tự như chứng minh của định lý 3.2.1 Do

đó, ta không trình bày chứng minh nữa Ta cũng nhận được một kết quảtương tự với hệ quả 3.2.1

Ta xét bài toán tối ưu đa mục tiêu mà trong đó

hj(x) = 0, ∀i ∈ {1, , p}}

lồi tại ¯x, các hàm h1, , hp, −h1, , −hp và gi với mọi i ∈ I(¯x), trong đó

I(¯x) := {i ∈ {1, , k} \ gi(¯x) = 0},

Sử dụng định nghĩa của các hàm giả lồi và tính chất của hàm tựa lồi khả

vi thì bất đẳng thức trên kéo theo

fi0(¯x)(x − ¯x) < 0, với mọi i ∈ {1, , m},

gi0(¯x)(x − ¯x) ≤ 0, với mọi i ∈ I(¯x),

h0i(¯x)(x − ¯x) = 0, với mọi i ∈ {1, , p}

Bởi vì gi(¯x) < 0 với mọi i ∈ {1, , k} \ I(¯x), cho nên tồn tại α, β ≥ 0 saocho

g0i(¯x)(x − ¯x) ≤ (α − β)gi(¯x), ∀i ∈ {1, , k}

Vì vậy ta có

(f, g, h)0(¯x)(x − ¯x) ∈ C

Bổ đề 3.2.1 chỉ ra rằng điều kiện lồi chỉ đặt trên các ràng buộc tích cực.Với hệ quả 3.2.1 và bổ đề 3.2.1 ta nhận được một điều kiện đủ cho nghiệmhữu hiệu yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu

là giả lồi tại ¯x và các hàm h1, , hp, −h1, , −hp và gi với mọi i ∈ I(¯x),trong đó

I(¯x) := {i ∈ {1, , k} | gi(¯x) = 0}

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày lý thuyết các điều kiện cần và các điều kiện đủ chonghiệm hữu hiệu yếu và nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu vectơ có ràngbuộc Nội dung của luận văn bao gồm:

- Các khái niệm cực tiểu, cực đại, cực tiểu yếu và cực đại yếu của một tập

và nghiệm hữu hiệu( hay cực tiểu), nghiệm hữu hiệu yếu( hay cực tiểu yếu)của bài toán cực tiểu vectơ;

- Các điều kiện cần tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu dạng hệ bất đẳng thứckhông tương thích, dạng Fritz John và Kuhn - Tucker;

- Các điều kiện đủ cho các nghiệm hữu hiệu và hữu hiệu yếu của bài toántối ưu vectơ

Lý thuyết các điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán tối ưu vectơ có ràngbuộc là đề tài đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] B D Craven (1981), Vector- valued optimization, in: SchaibleS.,Ziemba, W.T (eds), Generalized concavity in optimization

and economics (Academi Press, New York), 661 – 687

[2] J Jahn (2011), Vector Optimization, Springer - Verlag, Berlin

Heidelberg

[3] J Jahn (2007), Introduction to the Theory of Nonlinear

Optimization, Springer, Berlin

[4] J Jahn and E Sachs (1986), Generalized quasiconvex mappings andvector optimization, SIAM J Control Optim.24 (1986), 306 – 322.[5] E Sachs (1978), Differentiability in optimization theory Math.Operationsforsch Statist Ser Optim 9 (1978), 497 – 513