Cấu trúc của tập nghiệm pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong không gian định chuẩn

KHOA TOÁN************* HOÀNG THỊ NHUNG CẤU TRÚC CỦA TẬP NGHIỆM PARETO YẾU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH TỪNG KHÚC TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ch

KHOA TOÁN

*************

HOÀNG THỊ NHUNG

CẤU TRÚC CỦA TẬP NGHIỆM PARETO YẾU

CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU

ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH TỪNG KHÚC TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Th.S Nguyễn VănTuyên, người thầy đã truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướngdẫn em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóaluận này

Em xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình họctập tại trường và tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài khóa luận tốtnghiệp Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi những thiếu sót

và hạn chế, em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầygiáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2015Sinh viên

Hoàng Thị Nhung

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Văn Tuyênkhóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nàokhác

Trong khi làm khóa luận này, em đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2015Sinh viên

Hoàng Thị Nhung

Mục lục

Chương 1 Bài toán tối ưu vector 3

1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

1.2 Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự 8

1.3 Điểm hữu hiệu 10

1.4 Sự tồn tại của điểm hữu hiệu 13

1.5 Bài toán tối ưu vector (VOP) 15

Chương 2 Cấu trúc của tập nghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc 17

2.1 Đặt bài toán 17

2.2 Cấu trúc của tập nghiệm 21

2.2.1 Trường hợp nón thứ tự là đa diện 22

2.2.2 Trường hợp nón thứ tự tổng quát 28

Kết luận 35

MỞ ĐẦU

Tối ưu đa mục tiêu tuyến tính được nghiên cứu rộng rãi và được áp dụng

để giải quyết nhiều vấn đề khác nhau trong kinh tế, tổ chức khoa học,năng lượng, Ta biết rằng họ các hàm tuyến tính từng khúc lớn hơn họcác hàm tuyến tính và tồn tại một lớp rộng các hàm có thể xấp xỉ bằngcác hàm tuyến tính từng khúc Vì thế việc nghiên cứu các bài toán tối

ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc càng có ý nghĩa quan trọng hơn.Trong không gian hữu hạn chiều, một số nhà toán học đã nghiên cứucác bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc khi các hàm mụctiêu là lồi và nón sinh thứ tự là đa diện (xem [9, 16])

Trong khóa luận này chúng tôi nghiên cứu các bài toán tối ưu đa mụctiêu tuyến tính từng khúc trong không gian định chuẩn với thứ tự đượcsinh bởi một nón lồi đóng với phần trong khác rỗng

Như chúng ta đã biết, một trong những vấn đề quan trọng trong tối

ưu đa mục tiêu là nghiên cứu về cấu trúc của tập nghiệm Pareto (xem[3, 5, 8, 14, 20, 21, 24]) Arrow, Barankin và Blackwell [3] đã chứng minhrằng nếu hàm mục tiêu là một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gianhữu hạn chiều và nếu nón thứ tự và tập ràng buộc là các đa diện thìtập tất cả các nghiệm Pareto yếu là hợp hữu hạn các đa diện và là liênthông đường

Mục đích của khóa luận này là trình bày các kết quả trong bài báo[27] Các kết quả này là một mở rộng của [3] từ trường hợp các không

1

gian hữu hạn chiều sang trường hợp các không gian định chuẩn Chúngtôi sẽ chỉ ra rằng nếu hàm mục tiêu là tuyến tính từng khúc, lồi theo nóngiữa hai không gian định chuẩn, nón thứ tự có phần trong khác rỗng vàtập ràng buộc là đa diện thì tập các nghiệm Pareto yếu là hợp hữu hạncác đa diện và là liên thông đường Nếu bỏ qua giả thiết về tính lồi theonón của hàm mục tiêu, bằng phản ví dụ, chúng ta thấy rằng các kết quảtrên không còn đúng Nhưng nếu nón thứ tự là đa diện và hàm mục tiêu

là tuyến tính từng khúc (không nhất thiết lồi), thì chúng tôi cũng chỉ rarằng tập nghiệm Pareto yếu là hợp hữu hạn các đa diện

Khóa luận được chia thành hai chương Chương 1 giới thiệu một sốkiến thức cơ bản về tối ưu vector

Chương 2 trình bày cấu trúc của tập nghiệm Pareto yếu của bài toántối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong không gian định chuẩn.Các ví dụ cũng được trình bày trong chương này để phân tích các kếtquả đạt được

Chương 1 Bài toán tối ưu vector

1.1 Một số khái niệm cơ bản.

Giả sử E là không gian tuyến tính, R là tập các số thực

Định nghĩa 1.1 Tập A ⊂ E được gọi là lồi, nếu:

∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C

Ví dụ 1.2 Các tập sau đây trong Rn:

{ξ1, ξ2, , ξn ∈ Rn : ξi > 0, i = 1, , n}

(nón orthant không âm)

{ξ1, ξ2, , ξn ∈ Rn : ξi > 0, i = 1, , n}

(nón orthant dương)

là các nón lồi có đỉnh tại 0 Đó là nón lồi quan trọng trong Rn

Ngoài ra, nếu cho D ⊆ Rm là một nón lồi, nón cực dương của D đượcxác định bởi:

D∗ := {x∗ ∈ Rm :< x∗, x >> 0, ∀x ∈ D} Cho a, b ∈ Rm, a >D b khi và chỉ khi a − b ∈ D; a > 0 khi và chỉ khi

ai > 0, i = 1, , m Kí hiệu Rm+ := {x ∈ Rm : x > 0} và cho g : X → Rm.Hàm g được gọi là D- giống lồi trên S ⊆ X khi và chỉ khi :

∀x1, x2 ∈ S, ∀α ∈ [0, 1], ∃bx ∈ S

sao cho

(1 − α)g(x1) + αg(x2) − g(x) ∈ D.bĐiều này được biết đến trong [13] rằng g là một hàm D- giống lồi khi

và chỉ khi tập g(S) + D là lồi

Định nghĩa 1.4 Phần trong tương đối của tập A ⊂ Rn là phần trongcủa A trong af f A (bao affine); kí hiệu là riA Các điểm thuộc riA đượcgọi là điểm trong tương đối của tập A

Nhận xét 1.2.

intA := {x ∈ Rn : ∃ε > 0, x + εB ⊂ A} ,riA := {x ∈ af f A : ∃ε > 0, (x + εB) ∩ af f A ⊂ A} ,

trong đó, B là hình cầu đơn vị đóng trong Rn

Tiếp theo, chúng ta sẽ đi xem xét một số nón thường gặpCho C là nón lồi trong không gian vector tôpô E

Kí hiệu l(C) := C ∩ (−C) (phần tuyến tính của C); clC (bao đóngcủa C); một tập con A ⊆ E, Ac là phần bù của A trong E, nghĩa là

Ac = E\A

Định nghĩa 1.5 Chúng ta nói nón C là:

(a) Nhọn nếu l(C) = 0;

(b) Nón sắc nếu bao đóng của nó là nhọn;

(c) Nón có giá chặt nếu C\l(C) là được chứa trong một nửa không gian

mở thuần nhất;

(d) Nón đúng nếu (clC) + C\l(C) ⊆ C, hoặc tương đương

clC + C\l(C) ⊆ C\l(C)

Ví dụ 1.3 Theo định nghĩa 1.5

1 Cho Rn là không gian Euclide n-chiều Khi đó, nón orthant không

âm Rn+ gồm tất cả các vector của Rn với toạ độ không âm là nón lồi,sắc, đóng, có giá chặt và là nón đúng

Tập {0} cũng là một nón, nhưng là nón tầm thường

Tập hợp của 0 và các vector với toạ độ đầu tiên dương là một nónđúng, nhọn, có giá chặt nhưng không là nón sắc.

Bất kì nửa không gian đóng thuần nhất là nón đúng, có giá chặtnhưng không là nón nhọn

2 Cho Ω là không gian vector gồm tất cả dãy x = {xn} số thực Cho

C = {x ∈ Ω : xn > 0, ∀n}, thì C là nón nhọn, lồi Tuy nhiên, ta chưabiết nón C là nón đúng hoặc nón sắc vì ta chưa biết tôpô xác định trênkhông gian này

Kí hiệu C là hợp của 0 và các dãy mà số hạng đầu tiên khác không củadãy là dương Đây là một nón lồi, còn gọi là nón thứ tự từ điển Nó lànón nhọn nhưng không là nón đúng và cũng không phải là nón có giáchặt

Mệnh đề 1.1 Nón C là đúng khi và chỉ khi một trong các điều kiệnsau thoả mãn:

(a) C là đóng;

(b) C\l(C) là mở, khác rỗng;

(c) C là hợp của 0 và giao của các nửa không gian mở và nửa khônggian đóng trong E

Chứng minh (a) Hiển nhiên

(b) Nếu C\l(C) mở thì intC 6= ∅ và intC = C\l(C) Do đó, ta có

clC + C\l(C) = (clC) + intC ⊆ C,

Định nghĩa 1.6 Cho một nón C trong không gian E Một tập B ⊆ Esinh ra nón C và viết C = cone(B) nếu

C = {tb : b ∈ B, t > 0} Hơn nữa, nếu B không chứa 0 và với mỗi c ∈ C, c 6= 0, tồn tại duy nhất

b ∈ B, t > 0 sao cho c = tb thì B được gọi là cơ sở của C Khi đó B làmột tập hữu hạn, cone(conv(B)) được gọi là một nón đa diện

Nhận xét 1.3 Rõ ràng trong không gian hữu hạn chiều một nón có cở

sở là lồi, đóng bị chặn khi và chỉ khi nó là nhọn, đóng Tuy nhiên, nókhông đúng trong không gian vô hạn chiều

Mệnh đề 1.2 Nếu E là không gian Hausdorff thì một nón với một cơ

Thật vậy, giả sử ngược lại lim tα = ∞ Vì E là không gian Hausdorffnên lưới {bα = cα/tα} hội tụ tới 0 Hơn thế nữa B là đóng, dẫn tới mâuthuẫn: 0 = lim bα ∈ B Bằng cách này, ta có thể giả sử {tα} hội tụ tớiđiểm to > 0 Nếu to = 0 thì từ tính bị chặn của B, lim tαbα = 0 Do đó

c = 0 và hiển nhiên c ∈ C Nếu to > 0, ta có thể giả sử tα > , ∀α,  > 0

Từ bα = cα/tα hội tụ tới c/to và hơn nữa, B đóng nên vector c/to ∈ B

Do đó c ∈ C và C đóng nên C nhọn là hiển nhiên

1.2 Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự.

Cho một tập hợp E tuỳ ý, một quan hệ hai ngôi trong E được địnhnghĩa bởi một tập con B của tập hợp tích E × E Điều này có nghĩa là,một phần tử x ∈ E có quan hệ với y ∈ E nếu (x, y) ∈ B

Định nghĩa 1.7 Cho B là một quan hệ hai ngôi trong E Ta nói quan

hệ này là:

(a) Phản xạ nếu (x, x) ∈ B với mọi x ∈ E;

(b) Đối xứng nếu(x, y) ∈ B suy ra (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈ E;

(c) Bắc cầu nếu (x, y) ∈ B, (y, z) ∈ B suy ra (x, z) ∈ B với x, y, z ∈ B;(d) Đầy đủ hoặc liên thông nếu (x, y) ∈ B hoặc (y, x) ∈ B với mỗi

Để làm rõ định nghĩa này, chúng ta xem xét một số ví dụ cổ điển sau.Cho E là một cộng đồng dân cư của một thành phố và chúng ta địnhnghĩa quan hệ hai ngôi như sau (số dân cư được gán bởi x, y, z, )

1 (x, y) ∈ B1 nếu x, y là những người tuổi cao hoặc có tuổi

2 (x, y) ∈ B2 nếu x, y là hai giới tính khác nhau

3 (x, y) ∈ B3 nếu x, y là những người có họ

Ta thấy rằng B1 là phản xạ, bắc cầu, không đối xứng, đầy đủ B2không phản xạ, đối xứng, không bắc cầu, không đầy đủ B3 là phản xạ,không bắc cầu, đối xứng, không đầy đủ

Định nghĩa 1.8 Quan hệ hai ngôi là một quan hệ thứ tự nếu nó làphản xạ, bắc cầu

Thật vậy, nếu B là một quan hệ thứ tự mà là tuyến tính trong mộtkhông gian vector thì tập

x > y nếu nó chắc chắn là quan hệ hai ngôi được định nghĩa bởi C;

x >C y nếu x >C y và không phải là y >C x, hay là x ∈ y + C\l(C).Khi intC 6= 0, x C y nghĩa là x >K y với K = {0} ∪ intC

Ví dụ 1.4 1 Cho Rn và tập C = Rn+ Thì BC là phản xạ, bắc cầu,tuyến tính, đóng, không đối xứng nhưng không đầy đủ.

Cho x = (x1, , xn) , y = (y1, , yn) ∈ Rn:

x >C y khi và chỉ khi xi > yi với i = 1, , n;

x >C y khi và chỉ khi xi > yi với i = 1, , n và ít nhất một bất đẳngthức là ngặt;

x >C y khi và chỉ khi xi > yi với mọi i = 1, , n

2 Trong R2 Nếu C = R1, 0
thì BC là phản xạ, bắc cầu, tuyến tính,đóng và đối xứng Trong trường hợp này x >C y khi và chỉ khi hai thànhphần của các vector trùng nhau Thứ tự này không đầy đủ

3 Nón thứ tự từ điển là một quan hệ phản xạ, bắc cầu, tuyến tínhđầy đủ trong lp

1.3 Điểm hữu hiệu.

Cho E là không gian vector tôpô thực với quan hệ thứ tự (>) được sinhbởi một nón lồi C

Định nghĩa 1.9 Cho A là một tập con khác rỗng của E Ta nói rằng:(a) x ∈ A là một điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) của Atương ứng với C nếu y > x, ∀y ∈ A;

Tập các điểm cực tiểu lí tưởng của A được kí hiệu là IE (A, C);(b) x ∈ A là điểm hữu hiệu (cực tiểu-Pareto hoặc không cực tiểu) của

A tương ứng với C nếu x > y, y ∈ A thì y > x;

Tập các điểm hữu hiệu của A kí hiệu là E(A, C);

(c) x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự (toàn cục) của A tương ứng với Cnếu tồn tại một nón lồi K 6= E với intK ⊇ C\l(C) sao cho x ∈ E(A, K);Tập các điểm hữu hiệu toàn cục của A được kí hiệu là P rE(A, C);(d) Giả sử intC 6= ∅, x ∈ A là một điểm hữu hiệu yếu của A tương ứngvới C nếu x ∈ E(A, {0} ∪ intC);

Tập các điểm hữu hiệu yếu của A kí hiệu là W E(A, C)

P rE(A) = E(A) = W E(A) = A

Từ định nghĩa của các điểm hữu hiệu, ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.3 Cho A ⊆ E thì :

(a) x ∈ IE(A) khi và chỉ khi x ∈ A và A ⊆ x + C;

(b) x ∈ IE(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊆ x + l(C) hoặc tương đương:

6 ∃y ∈ A sao cho x > y Đặc biệt khi C là nhọn, x ∈ E(A) khi và chỉ khi

A ∩ (x − C) = {x};

(c) Khi C 6= E, x ∈ W E(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − intC) = ∅ hoặc tươngđương với 6 ∃y ∈ A sao cho x  y

Mệnh đề 1.4 Cho tập khác rỗng A ⊆ E có

P rE(A) ⊆ E(A) ⊆ W E(A)

Hơn nữa, nếu IE(A) 6= ∅ thì IE(A) = E(A) và nó là tập một điểmkhi C là nhọn

Chứng minh Lấy x ∈ P rE(A) Nếu x 6∈ E(A) có y ∈ A và x − y ∈C\l(C) Lấy nón lồi K, K 6= E với intK ⊆ C\l(C) và x ∈ E(A, K) Thì

x − y ∈ intK ⊆ K\l(K) Điều này mâu thuẫn với x ∈ E(A, K) suy ra

P rE(A) ⊆ E(A)

Lấy x ∈ E(A) Nếu x 6∈ W E(A) theo Mệnh đề 1.3 tồn tại y ∈ A saocho x − y ∈ intC Do C 6= E, intC ⊆ C\l(C) nên ta có x − y ∈ C\l(C).Điều này mâu thuẫn với x ∈ E(A) Vậy E(A) ⊆ W E(A)

Rõ ràng, IE(A) ⊆ E(A) Nếu IE(A) 6= ∅, cho x ∈ IE(A) thì x ∈E(A) Cho y ∈ E(A) thì y ≥ x vì vậy x > y Lấy một điểm bất kì

z ∈ A có z > x vì x ∈ IE(A) suy ra z > y là y ∈ IE(A) Do đó,IE(A) = E(A) Ngoài ra, nếu C là nhọn x > y và y ≥ x chỉ có thể xảy

ra trường hợp x = y Vậy IE(A) là tập một điểm

Định nghĩa 1.10 Cho x ∈ E Tập A ∩ (x − C) được gọi là một nhátcắt A tại x và kí hiệu Ax

Mệnh đề 1.5 Cho x ∈ E với Ax 6= ∅ Ta có :

(a) IE(Ax) ⊆ IE(A) nếu IE(A) 6= ∅;

(b) E(Ax) ⊆ E(A) (tương tự cho W E)

Chứng minh (a) Cho y ∈ IE(Ax) và z ∈ IE(A) có Ax ⊆ y + C và

Chứng minh tương tự cho W E

Nhận xét 1.4 Quan hệ P rE(Ax) ⊆ P rE(A) nói chung không đúngtrừ một số trường hợp đặc biệt

1.4 Sự tồn tại của điểm hữu hiệu.

Định nghĩa 1.11 Cho lưới {xα : α ∈ I} từ E được gọi là lưới giảm( tương ứng với C) nếu xα >C xβ với α, β ∈ I; β > α

Định nghĩa 1.12 Cho A ⊆ E được gọi là đầy đủ (tương ứng đầy đủ mạnh) nếu nó không có phủ dạng {(xα− clC)c : α ∈ I} (tươngứng {(xα− C)c : α ∈ I}) với {xα} là một lưới giảm trong A

C-Định lý 1.1 Giả sử C là một nón lồi đúng và A là một tập khác rỗngtrong E Thì E(A, C) 6= ∅ khi và chỉ khi A có một nhát cắt C- đầy đủ

và khác rỗng

Chứng minh Nếu E(A, C) 6= ∅ thì mọi điểm của tập này cho ta mộtnhát cắt C- đầy đủ vì không tồn tại lưới giảm Ngược lại, cho Ax khácrỗng là một nhát cắt C- đầy đủ của A Theo Mệnh đề 1.5 thì ta chỉcần chứng minh E(Ax, C) 6= ∅ Xét tập P bao gồm tất cả các lưới giảmtrong A Vì A 6= ∅ suy ra P 6= ∅ Với a, b ∈ P ta viết a  b nếu b ⊆ a

Rõ ràng () là quan hệ thứ tự trong P , và một xích bất kì trong P đều

có cận trên Thật vậy, giả sử {aλ; λ ∈ Λ} là một xích trong P Gọi B làtập tất cả các tập con hữu hạn B của Λ được sắp thứ tự bởi bao hàm,đặt

aB = ∪ {aα; α ∈ B} Và

ao = ∪ {aB : B ∈ B} Thì ao là một phần tử của P và ao  aα với mọi α ∈ Λ nghĩa là ao làmột cận trên của xích này Áp dụng bổ đề Zorn, tồn tại phần tử lớnnhất của P , kí hiệu là a∗ = {xα : α ∈ I} ∈ P Bây giờ, giả sử ngược lạiE(Ax, C) = ∅ Chúng ta sẽ chứng minh {(xα− clC)c : α ∈ I} phủ Ax

Ta chỉ ra với mỗi y ∈ Ax có α ∈ I mà (xα− clC)c chứa y Giả sử phảnchứng y ∈ xα− clC, ∀α ∈ I Vì E(Ax, C) = ∅ có z ∈ Ax với y >C z Dotính đúng của C nên x − α >C z, (α ∈ I) Thêm z vào lưới a∗ ta thấyrằng lưới này không thể lớn nhất, dẫn tới mâu thuẫn Vậy định lí đượcchứng minh

1.5 Bài toán tối ưu vector (VOP).

Cho X là một tập con khác rỗng của một không gian tôpô và F là mộtánh xạ đa trị từ X vào E, ở đây, E là không gian vector tôpô thực đượcsắp thứ tự bởi nón lồi C

Xét VOP :

minF (x)với ràng buộc x ∈ X

Điểm x ∈ X được gọi là tối ưu (cực tiểu hoặc hữu hiệu) của VOPnếu F (x) ∩ E(F (X), C) 6= ∅

Ở đây, F (X) là hợp của các tập F (x) trên X Các phần tử củaE(F (x), C) được gọi là giá trị tối ưu của VOP Tập các điểm hữu hiệu củaVOP được kí hiệu là S(X; F ) Thay thế IE, P rE, W E cho E(F (X), C)chúng ta có các khái niệm IS(X; F ), P rS(X; F ) và W S(X; F )

Quan hệ giữa các điểm hữu hiệu, hữu hiệu thực sự và hữu hiệu yếucủa VOP được trình bày trong mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.6 Cho VOP, chúng ta có các bao hàm thức sau:

Chứng minh Giả sử phản chứng rằng F (X) không là C đầy đủ Điềunày có nghĩa là có một lưới giảm {aα : α ∈ I} của F (X) sao cho

Chương 2 Cấu trúc của tập nghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu

tuyến tính từng khúc

2.1 Đặt bài toán.

Trong phần này, cho X, Y là các không gian định chuẩn và cho C ⊂ Y

là nón lồi với int (C) 6= ∅, khi đó xác định một quan hệ thứ tứ ≤Ctrong Y : với y1, y2 ∈ Y, y1 ≤C y2 ⇔ y2 − y1 ∈ C y1 <C y2 có nghĩa là

y2 − y1 ∈ int (C)

Cho một tập con A của Y , gọi a ∈ A là một điểm Pareto yếu nếu không

có phần tử y ∈ A sao cho y <C a Kí hiệu, W E (A, C) là tập tất cả cácđiểm Pareto yếu của A Rõ ràng là,

a ∈ W E (A, C) ⇔ a ∈ A và (a − int (C)) ∩ A = ∅

Kí hiệu X∗ là không gian đối ngẫu của X Một tập con P của X đượcgọi là đa diện nếu nó tồn tại x∗1, , x∗n ∈ X∗ và c1, , cn ∈ R sao cho:

P = {x ∈ X : hx∗i, xi ≤ ci, i = 1, , n}

Kí hiệu L (X, Y ) là lớp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào

Y Một ánh xạ f : X → Y được gọi là tuyến tính từng khúc nếu tồn tại

17