a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị â của hàm số.. c/ Tìm tất cả các điểm thuộc â có toạ độ nguyên.. a/ Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu S.. b/ Viết phơng trình mặt phẳng
Trang 1sở gd & đt
trờng thpt đề thi học kỳ ii năm học 2010-2011 môn thi: toán 12
( Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề )
Câu 1 (3 điểm ):
Cho hàm số 2 1
1
+
−
x
y có đồ thị â a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị â của hàm số b/ Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm A thuộc â biết A có hoành độ bằng 2 c/ Tìm tất cả các
điểm thuộc â có toạ độ nguyên.
Câu 2 (3 điểm ):
a/ Giải phơng trình : 3x2−1 = 92x−2
b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = x 3 – 3x và y = x
2 0
sin 2 (2 sin )
π
=
+
x
Câu 3 ( 1 điểm ):
Giải phơng trình sau trên tập số phức: x 2 – 4x + 9 = 0.
Câu 4 ( 3 điểm ):
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A( 3 ; 5 ; -1 ) mặt phẳng (P): 2x + 3y – 4z + 4 = 0 và mặt cầu (S): x 2 +y 2 +z 2 –2x+4y–6z–15 = 0.
a/ Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) b/ Viết phơng trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp (P) c/ Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua mp(P) .Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh Số báo danh
Chữ kí của giám thị 1 Chữ kí của giám thị 2
đáp án và thang điểm đề thi học kỳ ii
môn thi: toán 12
Câu 1
(3 điểm)
a/ ( 1,5 đ )
2 SBT
Trang 2• CBT: 2
3 '
( 1)
y x
−
=
− y’ không xác định khi x = 1 luôn âm với
mọi x ≠ 1 Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ ;1) và
(1; +∞)
• Cực trị: không có
• Giới hạn:
1
lim
1
x
x x
+
lim
1
x
x x
−
x = 1 là tiệm cận đứng
lim 2 1 2
1
x
x x
− Vậy đờng thẳng y = 2 là tiệm cận ngang
• BBT:
0,25 0,25
0,25
0,25
3 Đồ thị: Đồ thị cắt Oy tại điểm ( 0;-1 ), cắt Ox tại điểm ( 1;0)
2
−
f(x)=(2x+1)/(x-1)
-5
5
x y
0,25
b/ ( 0,75đ )
Điểm A( 2 ; 5 )
y’(2) = -3
suy ra PTTT cần tìm là: y – 5 = -3( x – 2 ) hay y = -3x +11
0,25 0,25 0,25
c/ (0,75đ)
Trang 3Điểm M(x;y) ∈â có toạ độ nguyên tức là
( )
x y
y f x
∈
∈
=
Â
Â
Với x ∈Z ta có
x
+
Vậy các điểm thuộc â có toạ độ nguyên là
(-2;1) , (0;-1) , (2;5) , (4;3)
0,5
0,25
Câu 2
(3 điểm) a/ (1 đ) Phơng trình đã cho
Vậy PT có hai nghiệm là x = 1 và x = 3
0,25 0,5
0,25
b/ (1 đ)
Xét phơng trình x3 – 3x = x ⇔ x(x2 – 4) = 0 ⇔ x = -2, x = 0, x =
2
Vậy diện tích cần tính là
−
0,25 0,25 0,5
c/ (1 đ)
Đặt t = 2+sinx ⇒ dt = cosxdx,
sin2xdx = 2sinx.cosxdx = 2(t – 2)dt
π
= ⇒ =
= ⇒ =
2 ln 3 ln 2 1 2(ln )
−
0,25 0,25
0,25 0,25
Trang 4Câu 3
(1 điểm) vậy PT đã cho có hai nghiệm 1
2
' 5
∆ = −
= −
= +
0,25 0,75
Câu 4
(3 điểm)
a/ (1 đ)
b/ (1 đ)
Giả sử (Q) là mặt phẳng cần tìm Vì (Q) song song với (P) nên
ph-ơng trình của (Q) có dạng: 2x + 3y – 4z + m = 0 (m≠4)
(Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇔d(I, (Q)) = R
2 6 12
29
4 9 16
16 29 45
13
m
m m m
= + +
⇔ =
= −
Vậy có hai mặt phẳng thoả mãn là: 2x +3y – 4z + 45 = 0
và 2x + 3y – 4z – 13 = 0
0,25 0,25 0,25
0,25
c/ (1 đ)
Giả sử d là đờng thẳng qua A và vuông góc với (P) khi đó vtpt của
(P) nr= (2;3; 4) − là vtcp của d
suy ra PTTS của d là:
3 2
1 4
= +
= − −
Ă
Tham số t ứng với giao điểm H của d và (P) là nghiệm PT
2.(3 +2t) + 3.( 5+3t) – 4.(- 1- 4t) + 4 = 0 ⇔ 29t + 29 = 0 ⇔ t = - 1
⇒H(1 ; 2 ; 3 )
Ta có H là trung điểm của AA’ ⇒ A’(- 1 ; - 1 ; 7)
0,25 0,25
0,25 0,25
