Gradient suy rộng của hàm Lipschitz và hàm không nhất thiết lipschitz

Tính cấp thiết của đề tài Tiếp theo lý thuyết giải tích hàm và giải tích lồi là giải tích Lipschitz.. Tương ứng với các phép tính của đạo hàm thông thường, ta có các phép tính cho Gradie

Mở đầu

1 Tính cấp thiết của đề tài

Tiếp theo lý thuyết giải tích hàm và giải tích lồi là giải tích Lipschitz

Giải tích Lipschitz đã được hoàn chỉnh khoảng mười lăm năm gần đây, sau những công trình nổi tiếng của F.H Clarke, R.T Rockafellar, J.B Hiriart-Urruty, I Ekeland, G Lebourg, Ta biết rằng trong không gian hữu hạn chiều, một hàm Lipschitz là khả vi hầu khắp nơi, cho nên lớp hàm Lipschitz rất gần với các lớp hàm khả vi thông thường Tương ứng với các phép tính của đạo hàm thông thường, ta có các phép tính cho Gradient suy rộng của hàm vô hướng, jacobian suy rộng của hàm vectơ, nguyên lí biến phân Ekeland và điều kiện cần cho bài toán quy hoạch toán học với các hàm Lipschitz địa phương

Gradient suy rộng là một khái niệm cơ bản của giải tích Lipschitz và

có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học như: chứng minh điều kiện

đủ cấp 2 cho cực trị địa phương người ta thường dùng Gradient suy rộng và jacobian suy rộng Ckarke thay thế vai trò của Gradient và Hesian, Gradient suy rộng và ứng dụng vào bài toán tối ưu không trơn, các nghiên cứu về định

lí hàm ẩn và hàm ngược F.H.Clarke đã chứng minh định lí hàm ẩn và hàm ngược địa phương của ánh xạ Lipschitz Như vậy ta thấy rằng Gradient có ứng dụng rất rộng rãi và đặc biệt nó cũng được vận dụng để chứng minh định

lí hàm ngược, hàm ẩn.Việc khai thác và làm rõ Gradient suy rộng của hàm Lipschitz và ứng dụng của nó cho ta thấy được vai trò của Gradient suy rộng trong giải tích hiện đại

Là sinh viên ngành Sư phạm Toán, trên cơ sở đã được trang bị lí thuyết giải tích hàm, giải tích lồi và với mong muốn được học hỏi, trau dồi vốn kiến thức về toán học cũng như cung cấp một tài liệu về giải tích Lipschitz nói chung và về Gradient suy rộng nói riêng Chính vì vậy em mạnh dạn nghiên

cứu đề tài: “Gradient suy rộng của hàm Lipschitz và hàm không nhất

thiết lipschitz” làm khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa khoa học: Hệ thống tất cả các vấn đề liên quan đến Gradient suy rộng của hàm Lipschitz và hàm không nhất thiết Lipschitz và ứng dụng quan trọng trong việc chứng minh định lí hàm ẩn và hàm ngược

Ý nghĩa thực tiễn: Cung cấp thêm tài liệu cho các bạn sinh viên nghành

sư phạm toán trong nghiên cứu giải tích Lipschitz nói chung và về Gradient suy rộng nói riêng

3 Mục tiêu khóa luận

Khóa luận nghiên cứu các vấn đề cơ bản của hàm Lipschitz, Gradient suy rộng của hàm Lipschitz, hàm không nhất thiết Lipschitz Thông qua khóa luận cho ta áp dụng chứng minh các định lí hàm ngược, hàm ẩn

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Tìm hiểu khái quát về hàm Lipschitz địa phương, Gradient suy rộng, một

số trường hợp đặc biệt của Gradient suy rộng, Gradien suy rộng của hàm Lipschitz trong Rn

• Nghiên cứu Gradient suy rộng, các phép tính của Gradient suy rộng của

các hàm không nhất thiết Lipschitz

• Nghiên cứu ứng dụng của Gradient suy rộng vào chứng minh các định lí

hàm ngược, hàm ẩn

5 Phương pháp nghiên cứu

• Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có

liên quan đến Gradient suy rộng của hàm Lipschitz, hệ thống hóa các kiến thức một cách đầy đủ và khoa học

• Phương pháp phân tích, tổng hợp và đánh giá

6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng: Hàm Lipschitz

• Phạm vi: Gradient suy rộng của hàm Lipschitz

Chương 1 Gradient suy rộng của hàm Lipschitz

1.1 Hàm Lipschitz địa phương

1.1.1 Hàm có biến phân giới nội và hàm tuyệt đối liên tục

Giả sử : ,ϕ a b⊂ → , trong đó R là không gian các số thực R R

Định nghĩa 1.1 Biến phân của hàm ϕ trên ,a b là cận trên đúng của các số

trong đó n là số tự nhiên tùy ý

Ký hiệu biến phân của ϕ trên ,a b là b( )

V ϕ ψ± ≤V ϕ +V ψ c) Từ a) và b) ta có hiệu hai hàm đơn điệu không giảm có biến phân giới nội

Mệnh đề 1.1 Hàm ϕ có biến phân giới nội khi và chỉ khi ϕ là hiệu của 2 hàm đơn điệu không giảm

ϕ =  −ϕ 

Nếu a≤ <x' x''≤ , thì với mỗi cách chia đoạn b a x, ' bởi các điểm

a=x < < <x x = , ta có: x

1 1 1

⇐ ) Ngược lại, giả sử ϕ ϕ ϕ= − , trong đó 1 2 ϕ ϕ1, 2 đơn điệu không giảm Khi

đó, theo Nhận xét 1.1.c ta có ϕ có biến phân giới nội

Mệnh đề 1.2 Nếu ϕ có biến phân giới nội, thì ϕ có đạo hàm hầu khắp nơi

Chứng minh

Theo mệnh đề 1.1: ϕ ϕ ϕ= − trong đó 1 2 ϕ ϕ1, 2 đơn điệu không giảm Ta

đã biết trong Lý thuyết độ đo và tích phân rằng: Một hàm số đơn điệu không

giảm thì có đạo hàm hầu khắp nơi Do đó ϕ có đạo hàm hầu khắp nơi

Định nghĩa 1.3 Hàm : ,ϕ a b→ được gọi là tuyệt đối liên tục trên đoạn R

ϕ tuyệt đối liên tục ⇒ biến phân của ϕ trong khoảng có độ dài δ sẽ

không vượt quá ε b ( )

a

b a

ϕδ

−

⇒ ≤ ⇒ có đạo hàm hầu khắp nơi

1.1.2 Hàm Lipschitz

Giả sử X là không gian Banach, f :X →R

Định nghĩa 1.4

a) Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x X∈ , hay Lipschitz ở gần

x , nếu tồn tại lân cận U của x , số K > sao cho: 0

(∀x x, '∈U) f x( )− f x( )' ≤K x x− ' (1.1) Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập Y ⊂X, nếu f

Lipschitz địa phương tại mọi x Y∈

b) Hàm f được gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz K trên tập Y ⊂X , nếu (1.1) đúng với mọi , 'x x ∈ Y

Định lí 1.1 Giả sử f là hàm Lipschitz trên tập lồi U ⊂X Khi đó, với mọi , '

∑ Do đó, ϕ( )t tuyệt đối liên tục

⇒ϕ có đạo hàm hầu khắp nơi (mệnh đề 1.3)

Hệ quả 1.1.1 Giả sử f là hàm Lipschitz trên tập lồi U ⊂X Khi đó, với mọi , '

Chứng minh

Theo định lí 1.1, ϕ( )t tuyệt trên liên tục trên [ ]0,1 Ta đã biết trong

Lý thuyết độ đo và tích phân: Nếu hàm ϕ tuyệt trên liên tục thì đạo hàm 'ϕ

1.1.3 Các ánh xạ khả vi là Lipschitz địa phương

1.1.3.1 Các đạo hàm cổ điển

Giả sử F là ánh xạ X → , trong đó X và Y là các không gian Banach Y

Kí hiệu L X Y( , ) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

Định nghĩa 1.5 Đạo hàm của F theo phương v tại x được xác định bởi:

nếu giới hạn này tồn tại

Định nghĩa 1.6 Ánh xạ F được gọi là khả vi Gâteaux tại x , nếu tồn tại

A∈L X Y( , ) sao cho với mỗi v X∈ ,

F x+tv =F x + Λ +t v t (1.4)

Khi đó, ta gọi Λ là đạo hàm Gâteaux của F tại x

− Λ → (1.5)

Sự hội tụ này là đồng đều theo v trên các tập hữu hạn

Định nghĩa 1.7 Ánh xạ F được gọi là khả vi Hadamard tại x , nếu tồn tại

Λ∈L X Y( , ) sao cho với mỗi v X∈ (1.4) đúng và (1.5) hội tụ đồng đều theo

v trên các tập compact

Định nghĩa 1.8 Ánh xạ F được gọi là khả vi Fréchet tại x , nếu tồn tại

Λ∈L X Y( , )sao cho F x( +v) ( )=F x + Λ +v r v( ), trong đó ( ) 1

Y

r v v − → khi v X → 0

Nhận xét 1.4

a) Ánh xạ F khả vi Fréchet tại x ⇔ ∃Λ∈ L X Y( , ) sao cho (1.4) đúng và

(1.5) hội tụ đồng đều theo v trên các tập bị chặn

Định nghĩa 1.9 Ánh xạ F được gọi là Lipschitz địa phương tại x , nếu tồn

tại số γ > và 0 K > sao cho: 0

( )' ( )'' ' '' X

Y

F x −F x ≤K x −x (∀x x', ''∈ +x γB), (1.6)

trong đó B là hình cầu đơn vị mở

Nhận xét 1.5 Định nghĩa tính Lipschitz địa phương theo lân cận hay theo

hình cầu đơn vị mở (trong không gian Banach) là tương đương

Mệnh đề 1.4 Nếu ánh xạ F là Lipschitz địa phương tại x thì khái niệm khả

vi theo Hadamard và Gâteaux của F là trùng nhau

Chứng minh

Do F là Lipschitz địa phương tại x , có tồn tại γ > và 0 K > sao cho 0(1.6) đúng

Hiển nhiên là F khả vi Hadamard thì F khả vi Gâteaux

Giả sử F khả vi Gâteaux tại x , V là tập compact trong X , ε > 0

cho trước Với hình cầu đơn vị mở B có tồn tại phủ mở hữu hạn

Điều đó chứng tỏ ( ) ( )

0

F x tv F x

v t

→ ↓

trong đó sự hội tụ là đồng đều theo v trên các tập compact

Định lí 1.2 Giả sử F là ánh xạ từ một lân cận của x vào Y Khi đó các

Theo định nghĩa của D F x s ( ): ∀ >ε 0, n : i n , ∃ ε ∀ ≥ ε ∀ ∈v V,

b) Giả sử b) đúng Lấy tập compact V trong X ; số ε > Do F là Lipschitz 0

địa phương tại x , có tồn tại số γ > và số 0 K > sao cho: 0

i i

i Y

F x t v F x

t

ες

i

i Y

− → đồng đều theo v trên các

tập compact Vì vậy ς là đạo hàm chặt Hadamard của F

Định nghĩa 1.11 Ánh xạ F được gọi là khả vi liên tục theo Gâteaux tại x ,

nếu tồn tại đạo hàm Gâteaux DF trong một lân cận của x và

( ) : ( , )

DF X →L X Y liên tục tại x (theo tôpô chuẩn toán tử)

Hệ quả 1.2.1 Giả sử ánh xạ F khả vi liên tục theo Gâteaux tại x Khi đó,

F khả vi chặt Hadamard tại x , và do đó F Lipschitz địa phương tại x

Định lí 1.3 Giả sử :f X → khả vi Fréchet và có đạo hàm bị chặn trong tập R lồi U , tức là f '( )x ≤α (∀ ∈x U)

Khi đó, f là hàm Lipschitz trên U

1.1.3.3 Hàm lồi Lipschitz

Giả sử U là tập lồi mở trong không gian Banach X

Nhắc lại: Hàm f U: → được gọi là lồi trên U , nếu với mọi , ' R u u ∈ , U

[ ]0,1

λ∈ : f (λu+ −(1 λ)u')≤λf u( ) (+ −1 λ) ( )f u'

Định lí 1.4 Giả sử f là hàm lồi trên tập mở U ; bị chặn trên trong một lân

cận của một điểm nào đó thuộc U Khi đó, f là hàm Lipschitz địa phương trên U

Chứng minh

Lấy x U ∈ , ta phải chứng minh f f trong một lân cận của x Trước hết ta chỉ ra f bị chặn trong một lân cận của x Không mất tính chất tổng quát, có thể giả sử f bị chặn trên bởi số M trên tập B U⊂

Chọn ρ> để sao cho: y1 =ρx U∈ Nếu λ 1

Lấy z V∈ (= + −x (1 λ)B), tồn tại điểm z'∈ sao cho: V 1( ')

⇒ bị chặn dưới trên V , nên f bị chặn trên V

Giả sử N là đánh giá trên của f trên tập x+2δB (δ >0) Lấy

Hệ quả 1.3.1 Giả sử f là hàm lồi và f ≤N trên tập lồi mở U chứa δ − lân

cận của tập V Khi đó f thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên V , với hằng số

Lipschitz 2N

δ

1.2 Đạo hàm suy rộng theo phương

1.2.1 Định nghĩa

Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x X∈

Định nghĩa 1.12 Đạo hàm suy rộng của hàm f theo phương v(∈X) tại x ,

Đây là khái niệm đạo hàm suy rộng theo phương của F.H.Clarke

f x v nửa liên tục trên theo ( )x v; ; o( );

f x Lipschitz (theo v ) với hằng

bởi vì với t đủ nhỏ, y U ∈ thì y tv U+ ∈ Từ đó suy ra tính chất hữu hạn của hàm o( );.

λλ

(ii) Lấy các dãy { }x i và { }v i hội tụ đến x và v tương ứng Theo định nghĩa

limsup, với i∀ , ∃ ∈ , y i X ∃ > sao cho: t i 0 y i x i t i 1

f y t v f y t v

K v v t

f x Lipschitz với hằng số K trên X

tuyến tính liên tục trên X )

Định nghĩa 1.13 Gradient suy rộng của hàm f tại x , ký hiệu ∂f x( ), là tập

hợp sau đây trong

f x

ξ

⇒ ∈∂ ⇒ ∂f x( )≠ ∅

Ta chứng minh ∂f x( ) lồi: Lấy ξ ξ1, 2∈∂f x( ), 0≤ ≤ , khi đó : α 1

⇒ ∂ ⊂ , trong đó B*(0,K) là hình cầu đóng tâm tại 0 với bán

kính K Mà B*(0,K) compăc *-yếu trong *

X (định lí Alaoglu), ∂f x( ) là đóng *-yếu nên ∂f x( ) compact *-yếu

b) Theo định nghĩa 1.13 max{ , : ( ) } o( );

< > ∈∂ ≤ có tồn tại Giả sử có tồn tại v0 sao cho

Bây giờ, ta lấy x> Khi đó 0 ( )

Định nghĩa 1.14 Cho tập C≠ ∅ (C⊂ X) Hàm tựa của C được xác định

như sau: C( ) sup ,

Mệnh đề 1.2

Giả sử ,C D≠ ∅ (⊂ X), đóng, ,E F≠ ∅ ( *)

X

⊂ lồi đóng *-yếu Khi đó

d) Hàm σ : X → ∪ +∞ thuần nhất dương, dưới cộng tính, nửa liên tục R { }

dưới (mạnh hay yếu) và σ( ) ≠ +∞ tương đương tồn tại tập ( *)

E ⊂ X ≤ ∅ lồi, đóng *-yếu sao cho σ( ) =σE( ) Tập E được xác định duy nhất

Từ định lí 1.5.i), o( );

f x v ≤K v (∀ ∈v X), trong đó K là hằng số Lipschitz trong một lân cận của x Suy ra

f là nửa liên tục trên

(iii) Là hệ quả của (ii)

(iv) Phản chứng : Giả sử f ∂ không nử liên tục trên tại x Khi đó tồn tại dãy

{ }x i hội tụ đến x , dãy { }ςi hội tụ đến ς sao choςi∈∂f x( )i , nhưng

( )

f x

ς∉∂

Điều này mâu thuẫn với (iii)

1.5 Một số trường hợp đặc biệt của Gradient suy rộng

f x v ≥<ς v> Theo định lí Hahn-Banach, có tồn tại 'ς ∈X * sao cho:

( )', o ;

< >< thì ς và 'ς là các phần tử khác nhau của ∂f x( ) Điều

đó mâu thuẫn với giả thiết

Hệ quả 1.8.1 Giả sử f Lipschitz địa phương tại x , dim X < +∞ Khi đó

( )

f x

∂ gồm một phần tử duy nhất (∀ ∈ +x x εB) ⇔ f khả vi liên tục trên

x+εB theo định nghĩa Gâteaux

Chứng minh

a) ∂f x( ) { }= ς (∀ ∈ +x x εB), ta có thể giả thiết f Lipschitz trên x+εB

⇒ f khả vi chặt tại x suy ra ∂f x( )=D f x S ( ) f∂ nửa liên tục trên khi đó tương đương với D f S ( ) liên tục (do dim X < +∞ )

b) Ngược lại f khả vi liên tục trên x+εB theo nghĩa Gâteaux suy ra F khả

vi chặt Hadamard

⇒∂f x( ) gồm một phần tử duy nhất (∀ ∈ +x x εB)

1.5.2 Dưới vi phân

Cho hàm lồi f trên tập lồi mở U ( f U: →R)

Nhắc lại: Dưới vi phân của hàm lồi f tại x U∈ được định nghĩa như sau: ∂C f x( )={ς∈X*: f x( )− f x( )≥<ς,x− > ∀ ∈x , x U}

Định lí 1.9 Giả sử f là hàm lồi trên U , Lipschitz địa phương tại x U∈ Khi

t

Thật vậy, đặt ϕ( )t = f x( +tv)

Do f lồi, cho nên với x , v cố định thì ϕ( )t lồi Bởi vì (f U: →R) cho nên

Vì vậy o( ), lim sup0 ( ) ( )

1.6 Gradient suy rộng của hàm Lipschitz trong n

R

Trước hết ta chú ý rằng: Trong n

R tất cả các tôpô mạnh, yếu, *-yếu là

tương đương; bao lồi của một tập bị chặn đóng trong n

R là đóng

Định lí 1.10 (Rademacher) Giả sử f là hàm Lipschitz trên tập con mở U

trong n

R Khi đó, f khả vi hầu khắp nơi (theo độ đo Lebesgue) trên U

Kí hiệu Ω là tập tất cả các điểm mà tại đó mà hàm f không khả vi f

f R →R

Định lí 1.11 Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x ; S là tập tùy ý

trong R n có độ đo Lebesgue bằng 0

Bởi vì f ∂ bị chặn địa phương trong lân cận điểm x và ∇f x( )i ∈∂f x( )i

với mọi i, cho nên theo định lí Bolzano-Weierstrass có tồn tại dãy con

Chú ý rằng độ đo của tập (S∪ Ω ∩f ) (x+δB) bằng 0 Theo định lí

Fubini ta có : Với hầu hết

Do đó f liên tục suy ra o( ),

f x v ≤ + Bổ đề được chứng minh và α ε

do đó Định lí được chứng minh đầy đủ

1.7 Gradient suy rộng của hàm giá trị thực mở rộng

Định nghĩa 1.18 Hàm f X: → được gọi là chính qui tại x , nếu R epi f

Do x là cực tiểu địa phương của f , cho nên với i đủ lớn :

Mệnh đề 1.7 Giả sử x C∈ Khi đó, ∂δ( )x C = N C( )x Hơn nữa, δ( )x C

chính qui tại x ⇔ tập C chính qui tại x

Bây giờ ta chứng minh tính chính qui

Theo định nghĩa 1.18: δ( ) C chính qui tại x ⇔ epi δ( )C chính qui tại ( )x,0 Ta lại có epi δ( )C = ×C [0, )∞ ; [0, )∞ là tập lồi (cho nên [0, )∞ là tập chính qui tại 0)

Vì vậy δ( )x C chính qui tại x ⇔ tập C chính qui tại x

Bổ đề được chứng minh và do đó định lí được chứng minh đầy đủ

Tiểu kết chương 1

Chương này đã trình bày được một số vấn đề về Gradient suy rộng của hàm Lipschitz như: Hàm Lipschitz địa phương, đạo hàm suy rộng theo phương Gradient suy rộng, một số trường hợp đặc biệt của Gradient suy rộng, Gradient suy rộng của hàm Lipschitz trong n

R , Gradient suy rộng của hàm giá trị thực mở rộng …

Chương 2 Gradient suy rộng của hàm không nhất thiết

Lipschitz

2.1 Hàm Lipschitz theo phương

Giả sử f X: →R(= ∪ ±∞ không nhất thiết là hàm Lipschitz địa R )

Chú ý rằng với hàm f không nhất thiết Lipschitz địa phương tại x thì f x∂

là đóng *-yếu, nhưng ∂f x( ) có thể bằng ∅ và có thể không compact *-yếu

Định nghĩa 2.1 Dưới đạo hàm trên của hàm f tại x theo phương v được