thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng của phương trình drygas trong không gian tựa chuẩn

BÁO CÁO TỔNG KẾTĐỀ TÀI NCKH CỦA SINH VIÊN NĂM 2018-2019 THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH DRYGAS TRONG KHÔNG GIAN TỰA CHUẨN Mã số: SPD2018.02.54 Chủ nhi

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NCKH CỦA SINH VIÊN NĂM 2018-2019

THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN

CHO TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH DRYGAS TRONG KHÔNG GIAN TỰA CHUẨN

Mã số: SPD2018.02.54

Chủ nhiệm đề tài: Phạm Thị Mai Thắm

Lớp: ĐHSTOAN15B Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Văn Dũng

Đồng Tháp, 6/2019

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH DRYGAS

TRONG KHÔNG GIAN TỰA CHUẨN

Mã số: SPD2018.02.54

Giảng viên hướng dẫn Chủ nhiệm đề tài

TS Nguyễn Văn Dũng Phạm Thị Mai Thắm

Xác nhận của Chủ tịch hội đồng

TS Lê Hoàng Mai

Đồng Tháp, 6/2019

Thông tin kết quả nghiên cứu iii

Summary v

Mở đầu 1 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài ở trong và ngoài nước 1

2 Tính cấp thiết của đề tài 2

3 Mục tiêu nghiên cứu 2

4 Cách tiếp cận 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

7 Nội dung nghiên cứu 3

1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Không gian tựa chuẩn 4

1.2 Định lí điểm bất động trong không gian tựa Banach 7

2 Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong không gian tựa chuẩn 10 2.1 Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong không gian tựa chuẩn 10

2.2 Áp dụng của tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong không gian tựa chuẩn 23

ii

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

CỦA SINH VIÊN

1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: Thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng của phương

trình Drygas trong không gian tựa chuẩn

- Mã số: SPD2018.02.54

- Chủ nhiệm đề tài: Phạm Thị Mai Thắm

- Thời gian thực hiện: 6/2018 đến 5/2019

4 Kết quả nghiên cứu

- Hệ thống hóa một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian tựa chuẩn;thiết lập và chứng minh một số kết quả về tính siêu ổn định suy rộng cho phươngtrình Drygas trong không gian tựa chuẩn; những kết quả này là mở rộng nhữngkết quả đã có trong tài liệu tham khảo chính

- Kết quả chính của đề tài đã gửi tham dự Hội nghị sinh viên nghiên cứu khoahọc năm 2018 - 2019 của Trường Đại học Đồng Tháp và đã được báo cáo trongsinh hoạt chuyên môn của Bộ môn Giải tích - Toán ứng dụng

6 Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại của kết quả nghiên cứu

Báo cáo tổng kết của đề tài là một tài liệu tham khảo cho sinh viên và giảngviên ngành Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp nói chung và những

ai quan tâm đến tính siêu ổn định suy rộng của phương trình hàm Drygas trongkhông gian tựa chuẩn nói riêng Qua đó, đề tài góp phần nâng cao năng lực tư duyToán học, chất lượng học tập và nghiên cứu của sinh viên và giảng viên ngành Sưphạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp

MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINING SOCIALIST REPUBLIC OF VIET NAM

DONG THAP UNIVERSITY Independence - Freedom - Happiness

SUMMARY

1 General information

Project Title: Establishing conditions for the generalized hyperstability of

Drygas functional equations in quasi-normed spaces

Code number: SPD2018.02.54

Coordinator: Pham Thi Mai Tham

Duration: from July, 2018 to June, 2019

2 Objectives:

- To establish and prove some results on the hyperstability of the Drygas tion equation in quasi-normed spaces

func To construct some illustrated examples for the obtained results

3 Creativeness and innovativeness:

The topic of systematizing and detailing results from a number of internationalarticles so the novelty in science is not high

4 Research results:

- Some notions and basic properties of space on quasi-nomred spaces were sented; Certain conditions for the generalized hyperstability of Drygas functionalequations in quasi-normed spaces were stated and proved; Certain particular casesfor the generalized hyperstability of Drygas functional equations in quasi-normedspaces were deduced

pre The main result of the project was submitted to 2018 pre 2019 Student’s Scienpre

Scien-tific Research Conference of Dong Thap University It was also presented in theSeminar of Division of Mathematical Analysis and Applied Mathematics.

5 Products:

- Summary report on establishing conditions for the generalized hyperstability

of Drygas functional equations in quasi-normed spaces

- The article was submitted to 2018 - 2019 Student’s Scientific Research ference of Dong Thap University

Con-6 Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results:

The report of the project is a reference for lecturers and students in ics Teacher Education of Dong Thap University in general, and for the readerswho are interested the generalized hyperstability of Drygas functional equations

Mathemat-in quasi-normed spaces Mathemat-in particular Then the report partially improves the ematical competence, the quality of learning and researching activities of the stu-dents and lecturers of Mathematics Teacher Education at Dong Thap University

Bên cạnh đó, không gian định chuẩn cũng đã được mở rộng thành không giantựa chuẩn với nhiều tính chất giải tích khác biệt Hơn nữa nhiều mô hình về khônggian tựa chuẩn đóng vai trò quan trọng trong Toán học, Vật lí lí thuyết và được

sự quan tâm của nhiều tác giả trong thời gian gần đây Trong bài báo [6], Dung

và Hang đã thiết lập một định lí điểm bất động trong không gian tựa chuẩn và ápdụng vào nghiên cứu tính siêu ổn định của phương trình hàm trong không giantựa Banach.

Vấn đề được đặt ra là những kết quả về tính siêu ổn định trong bài báo [1] cóthể được thiết lập, chứng minh trong không gian tựa chuẩn và được áp dụng chonhững không gian không chuẩn hóa được

2 Tính cấp thiết của đề tài

Những nhận định trong phần tổng quan, đặc biệt là những kĩ thuật được trìnhbày trong bài báo [6], dẫn đến khả năng những kết quả về tính siêu ổn định trongbài báo [1] có thể được thiết lập và chứng minh trong các không gian tựa chuẩn

Từ đó, tính siêu ổn định của phương trình Drygas có thể được áp dụng cho nhữngkhông gian không chuẩn hóa được

Việc nghiên cứu đề tài tính siêu ổn định suy rộng của phương trình Drygas sẽgóp phần chi tiết hóa và làm phong phú thêm một số kết quả về tính siêu ổn địnhsuy rộng của phương trình Drygas trong không gian tựa chuẩn Đề tài là tài liệutham khảo hữu ích cho sinh viên và giảng viên ngành Sư phạm Toán học, TrườngĐại học Đồng Tháp nói chung và những ai quan tâm đến phương trình Drygastrong không gian tựa chuẩn nói riêng Qua đó, đề tài góp phần nâng cao năng lực

tư duy, chất lượng học tập và nghiên cứu của sinh viên và giảng viên ngành Sưphạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp

3 Mục tiêu nghiên cứu

- Thiết lập và chứng minh một số kết quả về tính siêu ổn định của phương trìnhDrygas trong không gian tựa chuẩn

- Xây dựng ví dụ minh họa cho tính siêu ổn định của phương trình Drygas trongkhông gian tựa chuẩn.

4 Cách tiếp cận

Nghiên cứu các tài liệu tham khảo về tính siêu ổn định suy rộng trong và ngoàinước liên đến đề tài, bằng cách tương tự hóa những kết quả đã có, đề xuất kết quả mới

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc hiểu các tài liệu tham khảo, trao đổi thông tin với các thành viên trongnhóm nghiên cứu và những người cùng lĩnh vực

6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là tính siêu ổn định suy rộng của phương trình hàmDrygas Phạm vi nghiên cứu là không gian tựa chuẩn

7 Nội dung nghiên cứu

Nội dung nghiên cứu của đề tài bao gồm:

- Một số khái niệm và tính chất cơ bản của tính siêu ổn định suy rộng củaphương trình Drygas

- Một số kết quả về tính siêu ổn định của phương trình Drygas trong khônggian tựa chuẩn và một số ví dụ minh họa cho kết quả đạt được

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian tựa chuẩn

Định nghĩa 1.1.1 ([8]) Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K, κ ≥ 1

và k.k : X × X → R+ là một hàm số sao cho với mọi x, y ∈ X và mọi a ∈ K,

2 k.k được gọi là p-chuẩn trên X và không gian tựa chuẩn (X , k.k, κ) được gọi

là không gian p-chuẩn nếu tồn tại 0 < p ≤ 1 sao cho

kx + ykp ≤ kxkp+ kykpvới mọi x, y ∈ X

3 Dãy {xn}n được gọi là hội tụ đến x nếu lim

n→∞kxn− xk = 0, kí hiệu lim

n→∞xn= x

4 Dãy {xn}n được gọi là dãy Cauchy nếu lim

n,m→∞kxn− xmk = 0

5 Không gian tựa chuẩn (X , k.k, κ) được gọi là tựa Banach nếu mỗi dãy Caychy

là một dãy hội tụ

6 Không gian tựa chuẩn (X , k.k, κ) được gọi là p-Banach nếu nó là một không

gian p-chuẩn và không gian tựa Banach

Ví dụ sau minh họa cho khái niệm không gian tựa chuẩn

Ví dụ 1.1.2 ([10], Ví dụ 2) Với 0 < p ≤ 1, ta có không gian Lebesgue Lplà khônggian tựa chuẩn với tựa chuẩn xác định bởi công thức sau

với mọi f ∈ Lp

Định nghĩa 1.1.3 ([4]) Giả sử X là một tập không rỗng, κ ≥ 1 và d : X × X → R+

là một hàm số sao cho với mọi x, y, z ∈ X ,

n→∞xn= x

3 Dãy {xn}n được gọi là dãy Cauchy nếu lim

n,m→∞d(xn, xm) = 0

4 Không gian (X , d, κ) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy là một dãy

hội tụ

Nhận xét 1.1.4 Lưu ý rằng, nếu (X , k.k, κ) là không gian tựa chuẩn thì hàm số

d(x, y) = kx − yk với mọi x, y ∈ X là một b-metric trên X có cùng hệ số κ Khi đóvới mỗi không gian tựa chuẩn (X , k.k, κ) thì hoàn toàn được hiểu là không gianb-metric (X , d, κ)

Nhận xét 1.1.5. 1 Lớp các không gian b-metric tổng quát hơn lớp các khônggian metric

2 Không gian b-metric là không gian metric khi κ =1

Ví dụ sau minh họa cho khái niệm không gian b-metric

Do |xi− yi|p≥ 0, với mọi i = 1, 2, nên đẳng thức (1.1) xảy ra khi và chỉ khi

1.2 Định lí điểm bất động trong không gian tựa Banach

Định lí sau chứng tỏ với mỗi không gian b-metric cho trước luôn tồn tại metrictương đương với b-metric đã cho

Định lí 1.2.1 ([11], Mệnh đề trang 4308) Giả sử (Y, d, κ) là một không gian

với mọi x, y ∈ Y Khi đó Dd là một metric trên Y thỏa mãn

1

4d

θ(x, y) ≤ Dd(x, y) ≤ dθ(x, y) (1.3)

với mọi x, y ∈ Y Đặc biệt, nếu d là một metric khi đó θ = 1 và Dd = d.

Bằng cách áp dụng Định lí 1.2.1, các tác giả của [6] đã chứng minh được kếtquả sau, là kĩ thuật cơ bản trong [6], dùng để nghiên cứu tính siêu ổn định trongkhông gian tựa Banach

Hệ quả 1.2.2 ([6], Hệ quả 2.2) Cho U là một tập không rỗng, (Y, k.k κ) là một

không gian tựa Banach và f1, , fk: U → U và L1, Lk: U → R + là các ánh xạ, trong đó k là một số nguyên dương Giả sử rằngT : YU → YU là một toán tử thỏa mãn bất đẳng thức

kT ξ(x) − T µ(x)k ≤ ∑k

i=1

Li(x)kξ ( fi(x)) − µ( fi(x))k (1.4)

với mọi ξ , µ ∈ YU và x ∈ U , ở đây YU là họ các ánh xạ từ U vào Y

Tồn tại hàm số ε : U → R+ và ϕ : U → Y thỏa mãn các điều kiện sao đây với mỗi x ∈ U ,

tồn tại và hàm số ψ : U → Y được xác định là một điểm của T thỏa mãn

CHƯƠNG 2

TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CHO PHƯƠNG TRÌNH HÀM DRYGAS TRONG KHÔNG GIAN TỰA CHUẨN

Trong chương này, chúng tôi xét hàm số f : R → R được gọi là thỏa mãn phương

trình hàm Drygas khi và chỉ khi

B6= 0 và F, K là hai trường của số phức thực

2.1 Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas

trong không gian tựa chuẩn

Trong mục này chúng tôi thiết lập và chứng minh các kết quả về tính siêu ổnđịnh suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong không gian tựa chuẩn

Định lí 2.1.1 Giả sử rằng

1 X là một tập con không rỗng của không gian tựa chuẩn (Z, k.k, κZ ) trên

trường F sao cho x ∈ X thì −x ∈ X và (Y, k.k, κY ) là một không gian tựa

Banach trên trường K.

2 Tồn tại n0 ∈ N sao cho nx ∈ X với mọi x ∈ X, n ≥ n0 và hàm số h: X → R+

thỏa mãn

M0:= {n ∈ N, n ≥ n0: κY2(2s(n + 1) + s(n) + s(−n) + s(2n + 1)) < 1}

là một tập vô hạn, trong đó

s(n) := inf{t ∈ R+ : h(nx) ≤ th(x) với mỗi x ∈ X }

và s(n) thỏa mãn các điều kiện sau đây với n ∈ N

Xác định ánh xạ Tm: YX → YX xác định bởi

(Tmξ )(x) := 2ξ ((m + 1)x) + ξ (mx) + ξ (−mx) − ξ ((2m + 1)x), x ∈ X , ξ ∈ YX.Theo định nghĩa của s(n) ta có với mọi x ∈ X ,

εm(x) := h((m + 1)x) + h(mx) ≤ [s(m + 1) + s(m)]h(x) (2.5)Khi đó bất đẳng thức (2.4) có dạng kTmf(x) − f (x)k ≤ εm(x) Điều này chứng

tỏ (1.5) được thỏa mãn với ϕ = f , ε = εm

Bằng phép quy nạp toán học, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng với mọi x ∈ X , n ≥ n0,

m∈ M0,

Λnmεm(x) ≤ κY2n[s(m + 1) + s(m)][2s(m + 1) + s(m) + s(−m)

+s(2m + 1)]nh(x) (2.6)Thật vậy, với n = 0 ta có (2.6) tương đương với

= [s(m + 1) + s(m)]θhθ(x)

1 − κY2θ[2s(m + 1) + s(m) + s(−m) + s(2m + 1)]θ < ∞ (2.7)

1 − κY2θ[2s(m + 1) − s(m) − s(−m) − s(2m + 1)]θ (2.8)Theo (1.8), ta cũng có

Vì Dd liên tục, cho n → ∞ trong (2.12), sử dụng (2.9), (2.10) và định nghĩa của

M0 với mọi x, y ∈ X , ta suy ra

Dd(Fm(x + y) + Fm(x − y), 2Fm(x) + Fm(y) + Fm(−y))

Định lí 2.1.2 Giả sử rằng

1 X là một tập con không rỗng của không gian tựa chuẩn (Z, k.k, κZ ) trên

trường F sao cho x ∈ X thì −x ∈ X và (Y, k.k, κY ) là một không gian tựa

Banach trên trường K.

2 Tồn tại n0∈ N sao cho nx ∈ X với mọi x ∈ X, n ≥ n0 và hàm số u, v: X → R+

thỏa mãn

M0:= {n ∈ N, n ≥ n0 : κY2[2s12(n + 1) + s12(n) + s12(−n)

+s12(2n + 1)] < 1}

là một tập vô hạn, trong đó s1(n)s2(n) := s12(n),

s1(n) := inf{t ∈ R+ : u(nx) ≤ tu(x) với mỗi x ∈ X }.

s2(n) := inf{t ∈ R+ : v(nx) ≤ tv(x) với mỗi x ∈ X }.

và s1(n), s2(n) thỏa mãn các điều kiện sau đây với n ∈ N

Chứng minh. Với x ∈ X , m ∈ M0 thay x bởi (m + 1)x và y bởi mx vào (2.17) ta có

εm(x) := u((m + 1)x)v(mx) ≤ [s1(m + 1)s2(m)]u(x)v(x) (2.20)

Khi đó bất đẳng thức (2.19) có dạng kTmf(x) − f (x)k ≤ εm(x) Điều này chứng

tỏ (1.5) được thỏa mãn với ϕ = f , ε = εm

Λl+1m εm(x) = Λm(Λlmεm(x))

= 2κY2Λlmεm((m + 1)x) + κY2Λlmεm(mx) + κY2Λlmεm(−mx)+κY2Λlmεm((2m + 1)x)

≤ κY2l+2[s1(m + 1)s2(m)][2s12(m + 1) + s12(m) + s12(−m)+s12(2m + 1)]l[2u((m + 1)x)v((m + 1)x) + u(mx)v(mx)+u(−mx)v(−mx) + u((2m + 1)x)v((2m + 1)x)]

≤ κY2l+2[s1(m + 1)s2(m)][2s12(m + 1) + s12(m) + s12(−m)

+s12(2m + 1)]l[2s12(m + 1)u(x)v(x) + s12(m)u(x)v(x)+s12(−m)u(x)v(x) + s12(2m + 1)u(x)v(x)]

≤ κY2(l+1)[s1(m + 1)s2(m)][2s12(m + 1) + s12(m) + s12(−m)

+s12(2m + 1)]l+1u(x)v(x)

Điều này chỉ ra rằng (2.21) đúng với n = l + 1 Do đó (2.21) đúng với mọi

n∈ N Theo Định nghĩa M0và tổng của chuỗi cấp số nhân, với x ∈ X và m ∈ M0thì

lim

n→∞T n

Vì Dd liên tục, cho n → ∞ trong (2.27), sử dụng (2.24), (2.25) và định nghĩa của

M0 với mọi x, y ∈ X , ta suy ra

Dd(Fm(x + y) + Fm(x − y), 2Fm(x) + Fm(y) + Fm(−y)

Theo (2.16), lấy giới hạn hai vế của (2.23) khi m → ∞, ta được

Vậy f là nghiệm của phương trình (2.18)

2.2 Áp dụng của tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình

hàm Drygas trong không gian tựa chuẩn

Trong mục này, chúng tôi áp dụng tính siêu ổn định suy rộng cho phương trìnhhàm Drygas trong không gian tựa chuẩn để suy ra một số kết quả đã có trongkhông gian định chuẩn và một số trường hợp đặc biệt Trước hết, là những kết quả

đã có trong tài liệu tham khảo [1] Những kết quả này có được bằng cách thay

κZ = κY = 1 trong Định lí 2.1.1 và Định lí 2.1.2

Hệ quả 2.2.1 ([1], Định lí 2.1) Giả sử rằng

1 X là một tập con không rỗng của không gian định chuẩn (Z, k.k, κZ ) trên

trường F sao cho x ∈ X thì −x ∈ X và (Y, k.k, κY ) là một không gian Banach

s(n) := inf{t ∈ R+ : h(nx) ≤ th(x) với mỗi x ∈ X }

và s(n) thỏa mãn các điều kiện sau đây với n ∈ N

1 X là một tập con không rỗng của không gian định chuẩn (Z, k.k, κZ ) trên

trường F sao cho x ∈ X thì −x ∈ X và (Y, k.k, κY ) là một không gian Banach

trên trường K.

2 Tồn tại n0 ∈ N sao cho nx ∈ X với mọi x ∈ X, n ≥ n0 và hàm số u, v: X → R+

thỏa mãn

M0 := {n ∈ N, n ≥ n0: 2s12(n + 1) + s12(n) + s12(−n) +s12(2n + 1) < 1}

là một tập vô hạn, trong đó s1(n)s2(n) := s12(n),

s1(n) := inf{t ∈ R+ : u(nx) ≤ tu(x) với mỗi x ∈ X }.

s2(n) := inf{t ∈ R+ : v(nx) ≤ tv(x) với mỗi x ∈ X }.

và s1(n), s2(n) thỏa mãn các điều kiện sau đây với n ∈ N

1 X là một tập con không rỗng của không gian tựa chuẩn (Z, k.k, κZ ) trên

trường F sao cho x ∈ X thì −x ∈ X và (Y, k.k, κY ) là một không gian tựa

Banach trên trường K, c ≥ 0 và p < 0.