Thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng của phương trình drygas trong không gian tựa chuẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NCKH CỦA SINH VIÊN NĂM 2018-2019 THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH DRYGAS TRONG K

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NCKH CỦA SINH VIÊN NĂM 2018-2019

THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH DRYGAS TRONG KHÔNG GIAN TỰA CHUẨN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH SIÊU

ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH DRYGAS TRONG KHÔNG GIAN

TỰA CHUẨN

Mã số: SPD2018.02.54

Giảng viên hướng dẫn Chủ nhiệm đề tài

TS Nguyễn Văn Dũng Phạm Thị Mai Thắm

Xác nhận của Chủ tịch hội đồng

TS Lê Hoàng Mai

Đồng Tháp, 6/2019

MỤC LỤC

Thông tin kết quả nghiên cứu iii

Summary v

Mở đầu 1 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài ở trong và ngoài nước

2 Tính cấp thiết của đề tài

3 Mục tiêu nghiên cứu

4 Cách tiếp cận

5 Phương pháp nghiên cứu

6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

7 Nội dung nghiên cứu

1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tựa chuẩn

1.2 Định lí điểm bất động trong không gian tựa Banach

2 Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong không gian tựa chuẩn 2.1 Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong không gian tựa chuẩn

2.2 Áp dụng của tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong không gian tựa chuẩn

Kết luận

Phụ lục

ii

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

CỦA SINH VIÊN

1. Thông tin chung:

- Tên đề tài: Thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng của phương trình Drygas trong không gian tựa chuẩn.

- Mã số: SPD2018.02.54

- Chủ nhiệm đề tài: Phạm Thị Mai Thắm

- Thời gian thực hiện: 6/2018 đến 5/2019

4 Kết quả nghiên cứu

- Hệ thống hóa một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian tựachuẩn; thiết lập và chứng minh một số kết quả về tính siêu ổn định suyrộng cho phương trình Drygas trong không gian tựa chuẩn; những kết quảnày là mở rộng những kết quả đã có trong tài liệu tham khảo chính

- Kết quả chính của đề tài đã gửi tham dự Hội nghị sinh viên nghiên cứukhoa học năm 2018 - 2019 của Trường Đại học Đồng Tháp và đã được báocáo trong sinh hoạt chuyên môn của Bộ môn Giải tích - Toán ứng dụng

1 General information

Project Title: Establishing conditions for the generalized hyperstability of Drygas functional equations in quasi-normed spaces Code number: SPD2018.02.54

Coordinator: Pham Thi Mai Tham

Duration: from July, 2018 to June, 2019

2 Objectives:

- To establish and prove some results on the hyperstability of theDrygas func-tion equation in quasi-normed spaces

- To construct some illustrated examples for the obtained results

3 Creativeness and innovativeness:

international articles so the novelty in science is not high.

4 Research results:

- Some notions and basic properties of space on quasi-nomred spaceswere pre-sented; Certain conditions for the generalized hyperstability ofDrygas functional equations in quasi-normed spaces were stated andproved; Certain particular cases for the generalized hyperstability of Drygasfunctional equations in quasi-normed spaces were deduced

- The main result of the project was submitted to 2018 - 2019 Student’s

tific Research Conference of Dong Thap University It was also presented in the Seminar of Division of Mathematical Analysis and Applied Mathematics

5 Products:

- Summary report on establishing conditions for the generalized

hyperstability of Drygas functional equations in quasi-normed spaces

- The article was submitted to 2018 - 2019 Student’s Scientific

Research Con-ference of Dong Thap University

6. Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results:

The report of the project is a reference for lecturers and students in Mathemat-ics Teacher Education of Dong Thap University in general, and for the readers who are interested the generalized hyperstability of Drygas functional equations in quasi- normed spaces in particular Then the report partially improves the math-ematical competence, the quality of learning and researching activities of the stu-dents and lecturers of Mathematics Teacher Education at Dong Thap University.

Năm 1987, Drygas [5] đã nghiên cứu phương trình và đưa ra một đặctrưng từ không gian tựa tích trong Sau đó, lời giải tổng quát của lớphàm Drygas được đưa ra bởi Ebanks và những cộng sự [7].

Tính ổn định của phương trình hàm Drygas đã được nghiên cứu bởinhiều tác giả theo những điều kiện khác nhau Năm 2013, kết quả về tínhsiêu ổn định của phương trình hàm Drygas đã đạt được bởi Piszcek andSzczawinska [12] Cụ thể, một kết quả về tính siêu ổn định đã xuất hiện lầnđầu tiên trong [3], nhưng thuật ngữ “siêu ổn định” được sử dụng lần đầutrong [9] Trong thời gian gần đây, trong bài báo [1] các tác giả đã sử dụngđịnh lí điểm bất động của Brzdek để chứng minh một số kết quả tổng quát

về tính siêu ổn định của hàm Drygas trong không gian định chuẩn

Bên cạnh đó, không gian định chuẩn cũng đã được mở rộng thành không gian tựa chuẩn với nhiều tính chất giải tích khác biệt Hơn nữa nhiều mô hình về không gian tựa chuẩn đóng vai trò quan trọng trong Toán học, Vật lí lí thuyết và được sự quan tâm của nhiều tác giả trong thời gian gần đây Trong bài báo [6], Dung

và Hang đã thiết lập một định lí điểm bất động trong không gian tựachuẩn và áp dụng vào nghiên cứu tính siêu ổn định của phương trìnhhàm trong không gian tựa Banach

Vấn đề được đặt ra là những kết quả về tính siêu ổn định trong bàibáo [1] có thể được thiết lập, chứng minh trong không gian tựa chuẩn vàđược áp dụng cho những không gian không chuẩn hóa được

2 Tính cấp thiết của đề tài

Những nhận định trong phần tổng quan, đặc biệt là những kĩ thuật đượctrình bày trong bài báo [6], dẫn đến khả năng những kết quả về tính siêu

ổn định trong bài báo [1] có thể được thiết lập và chứng minh trong cáckhông gian tựa chuẩn Từ đó, tính siêu ổn định của phương trình Drygas

có thể được áp dụng cho những không gian không chuẩn hóa được

Việc nghiên cứu đề tài tính siêu ổn định suy rộng của phương trình Drygas sẽ góp phần chi tiết hóa và làm phong phú thêm một số kết quả về tính siêu ổn định suy rộng của phương trình Drygas trong không gian tựa chuẩn Đề tài là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên và giảng viên ngành Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp nói chung và những ai quan tâm đến phương trình Drygas trong không gian tựa chuẩn nói riêng Qua đó, đề tài góp phần nâng cao năng lực tư duy, chất lượng học tập và nghiên cứu của sinh viên và giảng viên ngành Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp.

- Thiết lập và chứng minh một số kết quả về tính siêu ổn định của

phương trình Drygas trong không gian tựa chuẩn

- Xây dựng ví dụ minh họa cho tính siêu ổn định của phương trình

Drygas trong không gian tựa chuẩn

4 Cách tiếp cận

Nghiên cứu các tài liệu tham khảo về tính siêu ổn định suy rộng trong và ngoài nước liên đến đề tài, bằng cách tương tự hóa những kết quả đã có, đề xuất kết quả mới.

Đọc hiểu các tài liệu tham khảo, trao đổi thông tin với các thành viên trong nhóm nghiên cứu và những người cùng lĩnh vực

Đối tượng nghiên cứu là tính siêu ổn định suy rộng của phương trình hàm Drygas Phạm vi nghiên cứu là không gian tựa chuẩn

Nội dung nghiên cứu của đề tài bao gồm:

- Một số khái niệm và tính chất cơ bản của tính siêu ổn định suy rộng của phương trình Drygas

- Một số kết quả về tính siêu ổn định của phương trình Drygas trong không gian tựa chuẩn và một số ví dụ minh họa cho kết quả đạt được

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian tựa chuẩn

Định nghĩa 1.1.1 ([8]) Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K,

k 1 và k:k : X X ! R+ là một hàm số sao cho với mọi x;y 2 X và mọi a 2 K,

3 Dãy fxngn được gọi là hội tụ đến x nếu lim kxn xk = 0, kí hiệu lim xn = x

4 Dãy f

x

!

5. Không gian tựa chuẩn (X;k:k;k) được gọi là tựa Banach nếu mỗi dãy

Caychy là một dãy hội tụ

6. Không gian tựa chuẩn (X;k:k;k) được gọi là p-Banach nếu nó là một

không gian p-chuẩn và không gian tựa Banach

Ví dụ sau minh họa cho khái niệm không gian tựa chuẩn

Ví dụ 1.1.2 ([10], Ví dụ 2) Với 0 < p 1, ta có không gian Lebesgue Lp là không gian tựa chuẩn với tựa chuẩn xác định bởi công thức sau

k f kp =

với mọi f 2 Lp

Định nghĩa 1.1.3 ([4]) Giả sử X là một tập không rỗng, k 1 và d : X X !

R+ là một hàm số sao cho với mọi x;y;z 2 X,

1. d(x;y) = 0 khi và chỉ khi x = y

2 Không gian b-metric là không gian metric khi k =1.

Ví dụ sau minh họa cho khái niệm không gian b-metric

Ví dụ 1.1.6 ([2], Ví dụ 1.1) Tập hợp ‘p(R), 0 < p < 1 với

‘p(R) := fxng R : å jxnjp < ¥ n=1

Rcùng với hàm số d : ‘p( )

1

x = fxng; y = fyng 2 ‘p(R) là không gian b-metric với hệ số k = 2 p

Chứng minh Giả sử x = fxng;y = fyng;z = fzng 2 ‘p(R) Khi đó

Do jxi yijp 0, với mọi i = 1;2;::: nên đẳng thức (1.1) xảy ra khi và chỉ

khi xi yi = 0 với mọi i = 1;2;:::

Ta cũng có

= 2Vậy (‘p(R);d;k) là không gian b-metric với k = 2 p

1.2 Định lí điểm bất động trong không gian tựa Banach

Định lí sau chứng tỏ với mỗi không gian b-metric cho trước luôn tồn tại metric tương đương với b-metric đã cho

Định lí 1.2.1 ([11], Mệnh đề trang 4308) Giả sử (Y;d;k) là một không

gian b-metric, q = log2k 2 và

n

Dd(x;y) = inffådq (xi;xi+1) : x = x1;x2;:::;xn;xn+1 = y 2 X;n 1g (1.2)

i=1

với mọi x;y 2 Y Khi đó Dd là một metric trên Y thỏa mãn

1d

q

(x;y) Dd(x;y) d4

với mọi x;y 2 Y Đặc biệt, nếu d là một metric khi đó q = 1 và Dd = d.

Bằng cách áp dụng Định lí 1.2.1, các tác giả của [6] đã chứng minhđược kết quả sau, là kĩ thuật cơ bản trong [6], dùng để nghiên cứu tínhsiêu ổn định trong không gian tựa Banach

Hệ quả 1.2.2 ([6], Hệ quả 2.2) Cho U là một tập không rỗng, (Y;k:kk) là một

không gian tựa Banach và f1;:::; fk: U ! U và L1;:::Lk: U ! R+ là các ánh xạ, trong đó k là một số nguyên dương Giả sử rằng T : YU ! YU là một toán

tử thỏa mãn bất đẳng thức

k

kT x (x) T m(x)k åLi(x)kx ( fi(x)) m( fi(x))k

i=1

với mọi x , m 2 YU và x 2 U, ở đây YU là họ các ánh xạ từ U vào Y

Tồn tại hàm số e : U ! R+ và j : U ! Y thỏa mãn các điều kiện sao đây với mỗi x 2 U,

CHƯƠNG 2

TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CHO PHƯƠNG TRÌNH HÀM DRYGAS TRONG KHÔNG GIAN TỰA CHUẨN

Trong chương này, chúng tôi xét hàm số f : R ! R được gọi là thỏa

mãn phương trình hàm Drygas khi và chỉ khi

f (x + y) + f (x y) = 2 f (x) + f (y) + f ( y)với mọi x;y 2 R Lưu ý rằng nếu các hàm số f ;g : R ! R thỏa mãn phươngtrình hàm Drygas thì f g cũng thỏa mãn phương trình hàm Drygas

Chúng tôi trình bày một số quy ước Nn0 , BA lần lượt biểu diễn tập các

số nguyên lớn hơn hoặc bằng n0, tập hợp của tất cả các hàm từ tập hợp

A 6= 0 đến tập hợp B 6= 0 và F, K là hai trường của số phức thực

trong không gian tựa chuẩn

Trong mục này chúng tôi thiết lập và chứng minh các kết quả về tính siêu

ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong không gian tựa chuẩn

Định lí 2.1.1 Giả sử rằng

1 X là một tập con không rỗng của không gian tựa chuẩn (Z;k:k;kZ) trên

s(n) := infft 2 R+ : h(nx) th(x) với mỗi x 2 Xg

và s(n) thỏa mãn các điều kiện sau đây với n 2 N

với mọi x;y 2 X.

h((m + 1)x) + h(mx)

k f ((m + 1)x + mx) + f ((m + 1)x f (mx) f ( mx)k

= k2 f ((m + 1)x) + f (mx) + f ( mx)

(2.4)mx) 2 f ((m + 1)x)

f ((2m + 1)x) f (x)k:

= åLi(x)k(x m)( fi(x))k:

i=1

Bất đẳng thức này đúng do (2.5) Vậy (2.6) đúng với n = 0 Giả sử rằng

(2.6) đúng cho n = l, trong đó l 2 N Với n = l + 1, ta có

Điều này chỉ ra rằng (2.6) đúng với n = l + 1 Do đó (2.6) đúng với tất cả n 2 N

Theo định nghĩa M0 và tổng của chuỗi cấp số nhân, với x 2 X và m 2 M0 thì

Từ (2.7) ta suy ra (1.6) đúng với

e (x) =

Do đó, theo Hệ quả 1.2.2, với mỗi m 2 M0 tồn tại điểm bất động Fm của

Tm, nói cách khác Fm thỏa mãn T Fm = Fm hay Fm : X ! Y thỏa mãn

TmTmr f ( y)k

= k2Tmr f ((m + 1)(x + y)) + Tmr f (m(x + y)) + Tmr f ( m(x + y))

m+T r f ( m(x y)) T r f ((2m + 1)(x y))

m2(2T r f ((m + 1)x) + T r f (mx) + T r f ( mx) T r f ((2m + 1)x))

m2T r f ((m + 1)y) T r f (my) T r f ( my) + T r f ((2m + 1)y)

m2T r f ((m + 1)( y)) T r f (m( y)) T r f ( m( y))

kY2kY2r[2s(m + 1) + s(m) + s( m) + s(2m + 1)]r[2h((m + 1)x)

+2h((m + 1)y) + h(mx) + h(my) + h( mx) + h( my)+h((2m + 1)x) + h((2m + 1)y)]

kY2(r+1)[2s(m + 1) + s(m) + s( m) + s(2m + 1)]r+1(h(x) + h(y)):

Suy ra (2.11) đúng với n = r + 1 Điều này suy ra rằng (2.11) đúng với mọi n 2 N.

Đặt d(x;y) = kx yk với mọi x;y 2 Y Theo Định lí 1.2.1 khi đó (Y;d;kY )

là một không gian b-metric Từ (2.11) và (1.3) trong Định lí 1.2.1, ta có

(2.5)

Dd(Tmn f (x + y) + Tmn f (x y);2Tmn f (x) + Tmn f (y) + Tmn f ( y))

dq (Tmn f (x + y) + Tmn f (x y);2Tmn f (x) + Tmn f (y) + Tmn f ( y)) =

kTmn f (x + y) + Tmn f (x y) 2Tmn f (x) Tmn f (y) Tmn f ( y)kq

kYq 2n[2s(m + 1) + s(m) + s( m) + s(2m + 1)]qn(h(x) + h(y))q : (2.12)

Vì Dd liên tục, cho n ! ¥ trong (2.12), sử dụng (2.9), (2.10) và định nghĩa

của M0 với mọi x;y 2 X, ta suy ra

Dd(Fm(x + y) + Fm(x y);2Fm(x) + Fm(y) + Fm( y))

= lim Dd(Tmn f (x + y) + Tmn f (xy);2Tmn f (x) + Tmn f (y) + Tmn f (

n!¥

= 0:

Theo (2.1), lấy giới hạn hai vế của (2.8) khi m ! ¥, ta được

y))(2.13)

Cho m ! ¥ trong (2.13), sử dụng (2.14), (2.15) và tính liên tục của Dd, ta có

Dd( f (x + y) + f (x y);2 f (x) + f (y) + f ( y))

Định lí 2.1.2 Giả sử rằng

1. X là một tập con không rỗng của không gian tựa chuẩn (Z;k:k;kZ) trên

trường F sao cho x 2 X thì x 2 X và (Y;k:k;kY ) là một không gian tựa Banach trên trường K.

2. Tồn tại n0 2 N sao cho nx 2 X với mọi x 2 X, n n0 và hàm số u, v : X

! R+ thỏa mãn

M0 := fn 2 N, n n 0 : k Y2[2s 12 (n + 1) + s 12 (n) + s 12 ( n)

+s12(2n + 1)] < 1g

là một tập vô hạn, trong đó s1(n)s2(n) := s12(n),

s1(n) := infft 2 R+ : u(nx) tu(x) với mỗi x 2 Xg:

s2(n) := infft 2 R+ : v(nx) tv(x) với mỗi x 2 Xg:

và s1(n), s2(n) thỏa mãn các điều kiện sau đây với n 2 N

(W ) lim s ( n)s ((W ) lim s

3 Hàm f : X ! Y thỏa mãn bất đẳng thức

k f (x + y) + f (x

với mọi x, y 2 X.

Chứng minh Với x 2 X, m 2 M0 thay x bởi (m + 1)x và y bởi mx vào (2.17) ta có

u((m + 1)x)v(mx)

k f ((m + 1)x + mx) + f ((m + 1)x f (mx) f ( mx)k

= k2 f ((m + 1)x) + f (mx) + f ( mx)

(2.19)mx) 2 f ((m + 1)x)

kY2l+2[s1(m + 1)s2(m)][2s12(m + 1) + s12(m) + s12( m) +s12(2m + 1)]l[2u((m + 1)x)v((m + 1)x) + u(mx)v(mx) +u( mx)v( mx) + u((2m + 1)x)v((2m + 1)x)]

20

+s12(2m + 1)]l[2s12(m + 1)u(x)v(x) + s12(m)u(x)v(x)+s12( m)u(x)v(x) + s12(2m + 1)u(x)v(x)]

kY2(l+1)[s1(m + 1)s2(m)][2s12(m + 1) + s12(m) + s12(

+s12(2m + 1)]l+1u(x)v(x):

Điều này chỉ ra rằng (2.21) đúng với n = l + 1 Do đó (2.21) đúng với mọi n 2

N Theo Định nghĩa M0 và tổng của chuỗi cấp số nhân, với x 2 X và m 2 M0 thì

Do đó, theo Hệ quả 1.2.2, với mỗi m 2 M0 tồn tại điểm bất động Fm của Tm,

nói cách khác Fm thỏa mãn T Fm = Fm hay Fm : X ! Y thỏa mãn

Fm(x) = 2Fm((m + 1)x) + Fm(mx) + Fm( mx) Fm((2m + 1)x):

Hơn nữa, theo Hệ quả 1.2.2, ta cũng có

Theo (1.8), ta cũng có

2T r f ((m + 1)( y)) T r f (m( y)) T r f ( m( y))

+Tmr f ((2m + 1)( y))k

Y h

k2

2(2Tm f ((m + 1)x)) 2Tm f ((m + 1)y) 2Tm f ((m + 1)( y))k+kTmr f (m(x + y)) + Tmr f (m(x y)) 2Tmr f (mx) Tmr f (my)

Tmr f (m(