1/Phương trình lượng giác cơ bản.. 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.. Bài tập :Giải các phương trình sau: 1.. Bài tập: Giải các phương trình sau: a... cosx –sinx – 2sin2x
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
A:LÍ THUYẾT
1/Phương trình lượng giác cơ bản
Sin u = sin v ⇔
+
−
=
+
=
π π
π
2
2 k v u
k v u
( k ∈ Z ) Cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π ( k ∈ Z ) tgu = tgv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) 2/ Phương trình đặc biệt :
sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x =
2
π + k2π ,sinx = -1 ⇔ x = -
2
π + k2π
cosx = 0 ⇔ x =
2
π + k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1)hay asinx + bcosx = c (2)
trong đó a2 + b2 ≠ 0
Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔ a2 +b2.cos(x−ϕ) = c với
2 2
cos
b a
a +
= ϕ
asinx +bcosx = c ⇔ a2+ b2 sin( x + ϕ ) = c với
2 2
cos
b a
a +
=
Cách 2 :
Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z
Với x ≠ π + kπ đặt t = tg
2
x ta được phương trình bậc hai theo t : (c + b)t2 – 2at + c – a = 0 hay (c + b )t2 – 2at + c – b = 0
Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a2 + b2 - c2 ≥ 0
Bài tập :Giải các phương trình sau:
1 3cosx−sinx = 2 , 2 cos x − 3 sin x = − 1
3 3sin3x− 3cos9x=1+4sin33x, 4
4
1 ) 4 ( cos sin4 + 4 + π =
x x
5 cos 7 x − sin 5 x = 3 (cos 5 x − sin 7 x ), 6.tgx − 3 cot gx = 4 (sin x + 3 cos x ) 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :
Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0
với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tgx hay u(x) = cotgx
Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0
Bài tập: Giải các phương trình sau:
a 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , b 2cos2x – 8cosx +5 = 0
c 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x d 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1
e.sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x f x cos2 x
3 4
Trang 25/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0
Cách 1 :
• Xét phương trình khi x =
2
π
+ kπ
• Với x ≠
2
π
+ kπ chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t = tgx
Cách 2: Thay sin2x =
2
1 (1 – cos 2x ), cos2x =
2
1 (1+ cos 2x) , sinxcosx =
2
1 sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao :
Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tgx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp x =
2
π
+ kπ ,k∈Z
Bài tập :
1 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2
2 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos2x = 0
3 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4
4 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx
6/ Phương trình đối xứng dạng : a( cosx + sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Đặt t = cosx + sinx , điều kiện − 2 ≤ t ≤ 2 khi đó sinxcosx =
2
1
2 − t
Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t
Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Đặt t = cosx - sinx , điều kiện − 2 ≤ t ≤ 2 khi đó sinxcosx =
2
1 − t2
Bài tập : giải các phương trình sau :
1 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
2 sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
4 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
5 cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7/ Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường dùng :
Các bước giải một phương trình lượng giác:
B1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của phương trình có nghĩa
B2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa phương trình đã cho về phương trình đã
biết cách giải
B3: Giải phương trình và chọn phù hợp
B4: kết luận
a/ Phương pháp1: Biến đổi pt về phương trình đã biết cách giải
b/ Phương pháp 2: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tich1 số
c / Phương pháp3: Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn phụ
Trang 3B BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI:
I PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0,
4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 =
x cos
3
, 6/ 4sin4 +12cos2x = 7 Bài 2 : giải các phương trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) HD : đặt t =sinx
2/ x cos2 x
3
4
cos = ĐS : x = k3π , x= ±
4
π
+k3π , x = ±
4 5π +k3π
3/ 1+ sin
2
x
sinx - cos
2
x
sin2x = 2cos2 ( −
4
π
2
x
) ĐS: sinx =1 v sin
2
x = 1 4/ 1+ 3tgx = 2sin 2x HD : đặt t = tgx , ĐS : x = -
4
π + k π
5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 =
x cos
1 ĐS : x = k2π , x = ±
3
π +k2π 6/ sin2x(cotgx +tgx ) = 4cos2x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =
2
1 7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x
8/ cos 3x – cos 2x = 2
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tgx HD :đặt t = tg
2x 10/ sin2x+ 2tgx = 3
11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :đặt t =cos 2x
12/ tg3( x -
4
π
) = tgx - 1 ĐS : x = kπ v x =
4
π + kπ 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về phương trình bậc hai theo sinx 14/ sin2x + cos 2x + tgx = 2 ĐS : x =
4
π
+ kπ 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
II PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX
Giải các phương trình sau :
1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0
2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ĐS : x=
4
π + 2
π
k
5/ sin3(x -
4
π
) = 2 sinx ĐS : x =
4
π
+kπ
6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ĐS :x = ±
3
π + kπ v x=
4
π + 2
π
k 7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0
Trang 48/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx
III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG
Giải các phương trình sau :
1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0
3/ 1 + sin3x + cos3x =
2
3sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/
3
10 cos sin sin
1 cos
1 + + x + x =
x
7/ tgx + tg2x + tg3x + cotgx+cotg2x +cotg3x = 6 8/
x
2
sin
2 + 2tg2x + 5tgx + 5cotgx + 4 = 0 9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1
11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx )
IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Giải các phương trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2
3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x +
4
1
5/ sin4
2
x
+ cos4
2
x
= 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x
9/ 3sin3x - 3 cos 9x = 1 + 4sin3x 10/ x
x
x x
sin cos
1
sin cos
=
−
+
11/ sin2
) 4 2
−
x tg2x – cos2
2
x = 0 12/ cotgx – tgx + 4sinx =
x sin
1
13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tg2x + tg2x )
2 sin 2 1
3 sin 3 cos (sin
+
+
x
x x
x 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 18/
x
x x
x
2 4
cos
3 sin ) 2 sin 2 (
= +
19/ tgx +cosx – cos2x = sinx (1+tgx.tg
2
x ) 20/ cotgx – 1 = x x
tgx
x
2 sin 2
1 sin 1
2
+ 21/ 3 –tgx(tgx + 2sinx)+ 6cosx = 0 22/ cos2x + cosx(2tg2x – 1) = 2
23/ cotgx – tgx +4sin2x =
x 2 sin
2 24/ 2 ( 1 sin )
cos sin
) 1 (cos cos2
x x
x
x x
+
= +
−
25/ cotgx = tgx +
x
x 2 sin
4 cos 2
26/ x
x
x x
cos 3
1 sin
2
2
cos 2
sin3 3
= +
−
27/ tg2x – tgx =
3
1 cosx.sin3x 28/ (sinx + cosx)3 - 2(sin2x +1) +sinx +cosx – 2 = 0
cos
2 cos 3 9 sin 6 2
sin
4 2 + 2 − − =
x
x x
x
30/ sin2x + sin22x + sin23x = 2
Trang 531/ 1 + sinx +cosx +sin2x +cos2x = 0 32/ tg x
x x
x x
2 8
13 sin
cos
cos sin
2 2
6 6
=
−
+
33/ tg2x + cotgx = 8cos2x 34/ sinx+sin2x+sin3x - 3( cosx +cos2x+cos3x )
=0
35/ sin4x + cos4x – cos2x +
4
1 sin22x = 0 36/ 4cosx – 2cos2x – cos4x = 1 37/ 2cosx.cos2x.cos3x + 5 = 7cos2x 38/ (cos4x – cos2x)2 = 5 + sin3x
39/ sinx.sin2x +sin3x = 6cos3x HD :đặt t = tgx 40/ sin22x – cos28x = sin(10x +
2
17π ) 41/ 2cos3x + cos2x +sinx = 0 42/ cos33x.cos2x – cos2x = 0
43/ 1+ sinx + cosx +sin2x + cos2x = 0 44/ cos4x + sin4x + cos(x
-4
π )sin(3x
-4
π )- 2
3 = 0 45/ 5sinx –2 = 3(1 – sinx ) tg2x 46/ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – cos2x 47/ cotgx – tgx + 4sin2x =
x 2 sin
2 48/ sin2(
4 2
π
−
x )tg2x – cos2
2x 49/ cox + cos2x + cos3x = sinx +sin2x + sin3x 50/ cos3x + sin7x = 2sin2(
4
π + 2
5x ) – 2cos2
2
9x 51/ sin3x +sinxcosx = 1- cos3x 52/ sin3x + cos2x = 2(sin2xcosx – 1)
53/ 4cosx – 2cos2x – cos2x – cos4x = 0 , 54/ 1
2 cos 1
2 sin
= +
+ x
55/ 2(cos4x – sin4x) + cos4x – cos2x = 0, 56/ 2(cos4x + sin4x) = cos( 2x
2 −
π )
57/ 2cosxcos2x = 1+ cos2x +cos3x 58/ 4(cos4x + sin4x) + 3sin4x = 2
59 / sin2x + cos2x = 1 - 3sin2x +2 3cos2x 60/ cos4x + sin4x –cos2x +
4
1 sin22x = 0 , 61/ cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 62/ cos7x +sin8x = cos3x – sin2x ,
63/ sin2x +2 2cosx +2sin(x+
4
sin 2 2
cos sin ) sin (cos
2 6 6
=
−
− +
x
x x x
x
65/ cotgx + sinx(1+tgxtg
1 cos sin 2
1 2 sin sin
2 3 sin
−
= +
+
− +
x x
x x
x
V CÁC BÀI TỐN CĨ CHỨA TAM SỐ
4
1 2 cos cos
sin4 x+ 4x− x+ 2 x+m= Tìm m đđể phương trình cĩ nghiệm
x x
gx tgx
x
cos
1 sin
1 cot
( 2
1 1 cos
∈
2
;
0 π
x
cos
2 ( ) cos cos
4 (
x m x
thuộc )
2
;
0
( π
4/ Tìm tất cả các giá trị của m sao cho ta có: sin6 x+cos6 x+sinx.cosx≥m,∀x∈R
Trang 65/ Cho phương trình : 3 ( cot ) 1 0
sin
2 + tg x+m tgx+ gx − =
trình có nghiệm