PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp Để giải 1 PTLG, nói chung ta tiến hành

Trang 1

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com

Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản

và một số phương trình lượng giác thường gặp

Để giải 1 PTLG, nói chung ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để căn có nghĩa, phân

số có nghĩa, biểu thức logatit có nghĩa Ngoài ra trong các PTLG có chứa các biểu thức chứa tan x va cot x thì cần điều kiện để tan x và cot x có nghĩa

Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các phương trình cơ bản

Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra Những nghiệm nào không thoả mãn điều kiện

ấy thì bị loại

1.1 Phương trình lượng giác cơ bản

1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác

1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản

a Giải và biện luận phương trình sin x  m (1)

Do sinx   1;1 nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau

Bước 1: Nếu m 1 phương trình vô nghiệm

Bước 2: Nếu m 1 ta xét 2 khả năng

Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt, giả sử  khi đó phương trình sẽ có dạng đặc biệt

Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm

Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như ; ; ; ; ; 2

Trang 2

Ta nhận thấy 1

4 không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt

1sin

Vậy phương trình có 2 họ ngiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình sin 3 3

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

b Giải và biện luận phương trình lượng giác cosxm ( )b

Ta cũng đi biện luận (b) theo m

Bước 1: Nếu m 1phương trình vô nghiệm

Bước 2: Nếu m 1 ta xét 2 khả năng:

Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử góc Khi đó phương trình có dạng

Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cos của góc đặc biệt khi đó

đặt mcos Ta có: cos cos 2 ,

Trang 3



Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình 3cos 2 1

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

c Giải và biện luận phương trình lượng giác tanxm ( )c

Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện cos 0 ,

Trang 4

Ví dụ 2: Giải phương trình tan 2

Vậy phương trình có một họ nghiệm

d Giải và biện luận phương trình lượng giác cotxm ( )d

Ta cũng đi biện luận theo m

Bước 1: Đặt điều kiện sinx0x k  k 

Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*)

Ví dụ 2: Giải phương trình cot(4x 35 )o   1

Trang 5

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com Giải:

Ta nhận thấy cot( 45 ) o   nên ta có cot(41 x35 )o   1 cot(4x35 )o cot( 45 ) o

4x35o  45o k180o 4x 80o k180o x 20o k45o (k)

Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị (radian hoặc độ r) trong cùng một công thức

1.2 Một số phương trình lượng giác thường gặp

1.2.1 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng 1:asin2 xbsinxc0 (a0; , ,a b c) (1)

Cách giải:

Đặt t sinx, điều kiện t 1

Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo t, giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm x

Đặt t tanx t   ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo t, chú ý khi tìm được nghiệm x cần

thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không

Dạng 4:acot2 xbcotxc0 (a0; , ,a b c) (4)

Cách giải:

Điều kiện sinx0 xk ,k 

Đặt t cotx t(   Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t )

Trang 6

,1

2cos

32

x k x

Ví dụ 2: Giải phương trình cot tan 4sin 2 2

sin2)1cos2(cos1

x

Giải:

Điều kiện: cosx1x m2

Phương trình12cos2 xcosx 2sinx1cosx2(1sin2x) 2sinx0

Trang 7

2

2sin

Bài 1: Giải phương trình: 5sin2 x4sinx  1 0

Bài 2 Giải phương trình: cos 2x3cosx40

Bài 3: Giải phương trình: 3 tan 2 3 tan 5 0

2

x x 

Bài 4: Giải phương trình: cos(4x2)3sin(2x1) 2

Bài 5: Giải phương trình: tan 34 x3 tan 3x  1 0

Bài 6: Giải phương trình: 4 2 25

1.2.2 Phương trình bậc nhất đối với sin , cosx x

a Định nghĩa: Phương trình asinxbcosxc (1) trong đó a, b, c  và 2 2

0

a b  được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin , cosx x

b Cách giải

Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Kiểm tra

- Nếu 2 2 2

a b c phương trình vô nghiệm

- Nếu a2 b2 c2 khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2

Trang 8

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho a2 b2 , ta được

Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải

Cách 2: Thực hiện theo các bước

2

x

x  k  k

      thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không?

Trang 9

Ví Dụ 1: Giải phương trình: sin 2x3cos 2x3 (1)

Hay tanx3tan  xk ,k 

Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng

2

sin 2 3(1 cos 2 ) 2sin cos 6 cos

(sin 3cos ) cos 0

Trang 10

Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 2: Giải phương trình 2 2(sinxcos ) cosx x 3 cos 2x  2

Giải:

Ta biến đổi phương trình (2)

Ta có:  2 sin 2x 2(1 cos 2 ) x  3 cos 2x

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các

Trang 11

k k

Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn

Bài trên cũng có thể sử dụng cách đặt tan

ta có (*)sinP x( )sinQ x( ) hoặc

(*)cosP x( )cosQ x( )t rong đó   là các góc phụ thích hợp Ta xét ví dụ sau: ,

Ví Dụ 4: Giải phương trình: cos 7xsin 5x 3(cos 5xsin 7 )x (4)

Trang 12

Bài tập: Giải các phương trình sau:

1 3 sinxcosx 3

2 10 cosx24sin 2x13

sin x 6 cosx3cos x 2 sinx

4 4 cos3 x 3 sin 3x 1 3cosx

sin xcos x 1 2 2 sin cosx x

6 2( 3 sinxcos )x  7 sin 2x3(cos4 xsin4 x)

8 2 2(sinxcos ) cosx x 3 cos 2x

9 cosx2 cos 2x2 2cos 3x

1.2.3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x

a Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x, cos x là phương trình

asin2 xbsin cosx xccos2 xd (1) trong đó a, b, c, d  

      xem nó có phải là nghiệm của phương trình (1) hay không?

Bước 2: Với cosx 0 chia cả hai vế cho cos x lúc đó phương trình (1) trở thành 2

atan2 xbtanxcd(1 tan 2x)(ad) tan2xbtanx c d 0

Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc sin2 1 cos 2 ; cos2 1 cos 2 ; sin cos sin 2

Trang 13

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải

Chú ý:

Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n3) với dạng tổng quát

(sinn , cosn ,sink cosh ) 0

A x x x x  trong đó khn; k h n, ,  

Khi đó ta cũng làm theo 2 bước:

Bước 1: Kiểm tra xem cosx 0 có phải là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Nếu cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình trên cho cosn

x ta sẽ được phương trình bậc n theo

tan Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phương trình: 2 3 cos2 x6 sin cosx x 3 3 (1)

Giải:

Cách 1:

Phương trình (1) 3(1 cos 2 ) x 3sin 2x 3 3cos 2x 3 sin 2x 3

1cos 2 3sin 2 3 cos 2 3

    không là nghiệm của phươngtrình

Với cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta được 2

2 36 tanx(3 3)(1 tan x)(3 3) tan x6 tanx 3 30

tan 1

,4

Trang 14

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com Chú ý:

Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện một số phép biến đổi thích hợp

Ví Dụ 2: Giải phương trình: sin3 2 sin

  có thể biểu diễn được quasinxcosx Luỹ thừa bậc ba biểu thức sinxcosx

ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải t

Phương trình (2)

3 3

cos x ta được:

(tanx1)3 4(1 tan 2 x) tanx3 tan3 x3 tan2 xtanx 1 0

Đặt t tanx phương trình có được đưa về dạng:

Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình

Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm



 

Giải:

Trang 15

1 tan 1 tan tan 1 tan

tan tan 2 tan 0 tan tan 2 tan 0 (*)

Giải các phương trình sau:

1 3sinx4 sin cosx xcos2 x 0

Trang 16

4 sin 3x2sin3x

5 sin3 x5sin2 xcosx7 sin cosx 2 x2 cos3x 0

6 sin 2 sinx xsin 3x6 cos3x

8 (sin2 x4 cos )(sinx 2 x2 sin cos )x x 2 cos4 x

9 cos3xsin3 xsinxcosx

1.2.4 Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x

a Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x là phương trình dạng

a(sinxcos )x bsin cosx x c 0 trong đó , ,a b c   (1)

b Cách giải:

Cách 1:

Do a(sinxcosx)2  1 sin cosx x nên ta đặt

    Điều kiện | |t  2Suy ra

2

1sin cos

2

t

x x  và phương trình (1) được viết lại: bt2 2at(b2 )c 0

Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải

Trang 17

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com Giải:

Cách 1:

Đặt sinxcosxt điều kiện | |t  2 Lúc đó

2

1sin cos

2

t

x x Khi đó phương trình (1) sẽ có dạng

t t

cos

32

24

3

22

Trang 18

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com Chú ý:

Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên

Bài toán 1: Giải phương trình a2tanxb2cotxc a( sinxbcos ) (1)x a b0

Khi có nhiều dấu    trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng dưới

Ví Dụ 2: Giải phương trình tanx3cotx4(sinx 3 cos ) (2)x

(sinx 3 cos )(sinx x 3 cos )x 4(sinx 3 cos ) sin cosx x x

(sinx 3 cos ) (sinx  x 3 cos )sin 2x x0

Trang 19

Các giá trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình

Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm

Bài toán 2: Giải phương trình:

Đến đây chúng ta đã biết cách giải

Tương tự cho phương trình a(tanx  sin )x b(cotx  cos )x ab0

Ví Dụ 3: Giải phương trình tanx 3 cotxsinx 3 cosx 1 30 (3)

(3)tanxsinx 3(cotxcos ) 1x   3 0

1 (sin sin cos cos ) 3 (sin sin cos cos ) 0

Trang 20

Suy ra

2

1sin cos

Kết hợp với điều kiện (*) thì t  1 2 bị loại

Với t  1 2 ta có 2 cos 1 2 cos 1 2 cos

Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình

Vậy phương trình có ba họ nghiệm

Chú ý:

Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với sin x và

cos x với bậc lớn hơn 2

Ví dụ 4: Giải phương trình: cos4 sin4 sin 2 (1)

Trang 21

Điều kiện: sin 2x 0

8 6 sin 2 4 sin 2 (8 6 sin 2 ) sin 2 4 2sin 2

Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện sin 2x 0

1 cos xsin xsin 2x

4 sinxcosx( 3 1) cos 2 x

6 sin3xcos3xsin 2xsinxcosx

7 4(sin4 xcos4 x) 3 sin 4x2

sin cos

32

x x

Trang 22

9 sin3 cos 1cos 24 sin cos3 1sin 24 2

10 sin3 xcos3x2(sin5 xcos5 x)

11 sin8 cos8 (sin10 cos10 ) 5cos 2

đưa phương trình đã cho về dạng đại số F t  ( ) 0

Bước 2: Giải phương trình F t  loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán ( ) 0

Bước 3: Với nghiệm t tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm x

Trang 23

Ví Dụ 2: Giải phương trình tan3 xtan2 xtanxcot3xcot2 xcotx6 (2)

  là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài tập: Giải các phương trình sau:

2(tanxcot )x tan xcot x

2.tan3 xtan2 xcot2 xcot3 x4 0

3.5(tanxcot )x 3(tan2xcot2 x) 8 0

4 tan2 2(tan cot ) 11 12

6 sinxcosxtanxcotx

7 8(tan4 xcot4 x)9(tanxcot )x 2 10

1.3 Vấn đề loại nghiệm không thích hợp của PTLG

Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta có thể loại những nghiệm không thích hợp

Chúng ta có thể xét ba phương pháp sau:

Trang 24

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com 1.3.1 Phương pháp loại nghiệm trực tiếp

Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*)nào đó Trước hết ta giải phương trình n (1) sau đó thay nghiệm của phương trình (1) tìm được vào (*)để loại nghiệm không thích hợp ®

Ví Dụ: Giải phương trình 1 sin 0

sin 4

x x



 (1)

Giải:

Điều kiện:sin 4x 0 (*)

   vào (*)xem có thoả mãn hay không x?

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

1.3.2 Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác)

Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*)nào đó.Gọi L là tập các cung không thoả mãn các điều kiện n (*), N là tập nghiệm của phg trình N (1) Ta biểu diễn điểm cuối của các cung thuộc hai tập

L và N lên trên cùng một đường tròn lượng giác Chẳng hạn điểm cuối của các cung thuộc L ta đánh dấu (x),

điểm cuối của các cung thuộc N ta đánh dấu (.) Khi đó những cung có điểm cuối được đánh dấu (.)mà không bị

đánh dấu m (x) là nghiệm của phương trình

Ví Dụ: Giải phương trình: cos cot 2x xsinx (1)

Trang 25

cosxcos 2xsinx sin 2xcosxcos 2x sinx sin 2x 0

Biểu diễn các họ nghiệm (*) và (** ) lên trên cùng một đường tròn lượng giác

Từ đó ta có nghiệm của phương trình (1) là 6 ,

Phương pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển về phương trình (thường là phương trình nghiệm

nguyên) hoặc bất phương trình đại số

Ví Dụ: Giải phương trình: cos 8 0 (1)

Trang 26

Vậy nghiệm của phương trình là ,

x



6 Giải phương trình: sin 3xcos cos 2 (tanx x 2 xtan 2 )x

Chương II: Hệ thống một số phương pháp giải phương trình lượng giác

Đứng trước một PTLG lạ, điều mà làm ta băn khoăn là làm thế nào để giải nó, vấn đề nảy sinh trong mỗi chúng ta là phải đưa phương trình về phương trình mà ta đã biết cách giải Và để giải mỗi phương trình ta phải thực hiện các phép biến đổi theo hướng

- Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa một hàm

- Nếu phương trình chứa hàm lượnggiác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa một cung

Dưới đây là một số phương pháp biến đổi tuỳ thuộc vào từng bài toán khác nhau mà ta lựa chọn phương pháp cho phù hợp

2.1 Phương pháp biến đổi tương đương

Phương pháp:

Sử dụng công thức lượng giác đã học thực hiện các phép biến đổi đại số và lượng giác đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải

Chú ý:

Trang 27

Ta phải chú ý đến mối liên hệ giữa các cung của các hàm lượng giác Vì mối liên hệ này sẽ chỉ đường cho cách biến đổi phương trình

Ví dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: Giải phương trình 3sin 3x 3 cos 9( x) 1 4 sin 33 x (1)

Giải:

Nhận xét:

Ta nhận thấy trong bài toán có 2 số hạng 3

3sin 3 , 4 sin 3x x ta có thể sử dụng được công thức góc nhân ba

Ta có (1)3sin 3x4sin 33 x 3 cos 9x1

Vậy phươngtrình có 2 họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình sin3 x.cos 3xsin 3 cosx 3 xsin 43 x

Trang 28

Ví dụ 3: Giải phương trình 2 cosx sinx 1 (1)

23

Trang 29

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất

(1) Đặt ẩn phụ, đưa phương trình đã cho về phương trình mới dễ giải hơn

(2) Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về hệ phương trình đại số

Phụ thuộc vào mỗi phương trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ một cách khéo léo để có được một phương trình mới đơn giản hơn dễ giải hơn

Thông thường trong phương pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta thường gặp 2 loại đặt ẩn phụ sau:

+) Đổi biến dưới hàm lượng giác

+) Đặt cả biểu thức lượng giác làm ẩn phụ

2.1.1- Đổi biến dưới hàm lượng giác

Ví dụ 1: Giải phương trình cos4 cos2

2 cos 2 1 4 cos 3cos 2(2 cos 1) 1 4 cos 3cos

4 cos 2 4 cos 3cos 1 0

Trang 30

Thế trở lại ẩn x ta có

(*)

2

32

Ví dụ 2: Giải phương trình sin 3 1sin 3

5 14

2 5

2.1.2 Đặt một biểu thức lượng giác làm ẩn phụ

Chú ý một số phương pháp đặt ẩn phụ của phương pháp đại số sau đây

+ Phương trình trùng phương ax4 bx2c0 (a0)

Đặt t x t2,  0

Trang 31

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com + Phương trình bậc bốn (xa)4 (xb)4  c

x x

k x

Trang 32

Một số phương trình có cách đặt ẩn phụ không toàn phần, nghĩa là sau khi đặt ẩn phụ cả ẩn cũ và ẩn mới cung tồn tại trong phương trình Bộ phận cũ còn lại ấy được xem là tham số của phương trình

Ví dụ 2: Giải phương trình (sin 3) sin4 (sin 3) sin2 1 0

Do sinx 30 nên phương trình (*)là phương trình bậc hai đối với l t

 (sinx3)2 4(sinx3)(sinx1)(sinx3)

t a

Ví dụ 3: Giải phương trình cosx 2cosx 2 (1)

Trang 33

Ví dụ 4: Giải phương trình sin2 cos2

2 2

sin 2

Trang 34

Khi đó: sin2 cos2 sin2 cos2

2 sin

cos

2 cos

2

1sin

1cos

Để phá dấu giá trị tuyệt đối ta cũng có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 5: Giải phương trình 2 sin cos sin cos 6

sin 2 2 sin cos





         

Với t 1 ta có: sin cosx x2 sinxcosx 1

sinxcosx  1 sin cosx x ( )a

Do 1 sin cos x x0nên (a) (sinxcos )x 2 (1 sin cos ) x x 2

2

1 2 sin cos 1 2 sin cos (sin cos ) sin cos (sin cos 4) 0

Trang 35

 sinxcosx   3 sin cosx x ( )b

Ta nhận thấy 3 sin cosx x  2 0 sinxcosx , suy ra phương trình (b) vô nghiệm

Đặt 2 2 1 2 sin2 cos 2 2 1 2 sin2 cos 2 cos 2 2 2

Với t  5 2 cos 2x ta có 3cos 2x  5 2 cos 2x3cos 2x 2 cos 2x (*) 5

2.3 Giải phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc

Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa

Bước 2: Thực hiện việc hạ bậc của phương trình bằng các công thức

Hạ bậc đơn:

Trang 36

1 cos sin cos 3 1 sin sin 3 cos

sin cos 3 sin 3 cos (cos cos 3 sin sin 3 ) sin cos

Trang 37

+ Với các nhân tử bậc cao hơn 3 ta phải hạ bậc dần dần.V

2 cos 3 2 cos 3 cos 0 (cos 3 os 5 ) cos 3 0

2 cos 2 cos cos 3 0

Ví dụ 2: Giải phương trình sin4 sin4 sin4 9

2

Ví dụ 3: Giải phương trình: sin3xcos3xsin3 x.cotxcos3 x tanx 2sin 2x (2)

Giải

Ta có: (2)  sin3 xcos3 xsin2 x.cosxcos2 x.sinx 2 sin 2x

Trang 38

sin (sin cos ) s (cos n ) 2 sin 2

(sin s )(sin cos ) 2sin 2 sin cos 2 sin 2 (3)

Điều kiện sin cos 0 sin cos 0 sin 0 (*)

Bình phương hai vế của phương trình (3) ta có: (sinxcos )x 2 2sin 2x

1 2 sin cos sin 2 2sin 2 sin 2 1

  thỏa mãn điều kiện (*)khi và chỉ khi k 2m

Vậy phương trình đã cho có 1 họ nghiệm duy nhất

(sin sin cos ) (cos sin cos ) sin cos

sin (sin cos ) cos (sin cos ) sin cos

Trang 39

Điều kiện: cosx 0

1 cos (1 sin )(1 2 tan ) 1 cos (1 sin )(1 sin )(1 2 tan )

1 cos (1 sin )(1 sin )(1 2 tan ) 1 cos (1 sin )(1 2 tan )

1 cos cos (1 2 tan ) 1 cos cos 2 sin )

Ví Dụ 6: Giải phương trình:tan 23 cot 23 6 83

Việc sử dụng công thức hạ bậc tỏ ra rất hữu hiệu đối với có chứa các hạng tử bậc cao, khó giải Vì vậy để có thể

sử dụng tốt phương pháp này đòi hỏi học sinh cần nắm vững các công thức hạ bậc đã nêu ở trên, đồng thời phải

sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt

2.4 Biến đổi phương trình lượng giác thành phương trình tích

Trang 40

Có rất nhiều cách đưa phương trình lượng giác về phương trình tích ta có thể sử dụng các phép biến đổi các dạng như sau:

Dạng 1: Biến đổi tổng hiệu thành tích

( ) 0( ) ( ) 0

Sau đây ta xét từng dạng

Phương pháp biến đổi tổng, hiệu thành tích:

Ví Dụ 1: Giải phương trình:1 cos xcos 2xcos 3x0 (1)

23

k x

x k

Cách 2: Biến đổi phương trình chứa một hàm lượng giác

(1) 1 cosx2 cos2 x 1 4 cos3x3cosx 0

Định dạng
Số trang	84
Dung lượng	877,48 KB