kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPTMôn thi Toán bảng A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Trang 1kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Môn thi Toán bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
-Bài 1 (4 điểm)
1 Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ đến đồ thị hàm số
1
2
−
=
x
x
y hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 450
2 Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình giới hạn bởi: y= log2x; x + y = 3; y = 0
Bài 2 (4 điểm)
1 Tìm m để hệ ( )
<
+ + +
<
+ +
−
0 7 7
0 2 2 2
2
m x m x
m x m x
có nghiệm
2 Giải phơng trình x2 −2x−3= x+3
Bài 3 (4 điểm)
1 Giải phơng trình cos6x – cos4x + 4cos3x + 4 = 0
2 Trong tam giác ABC, chứng minh rằng:
6
13 cos
cos cos
1 cos
cos
+ +
+ +
+
C B
A C
B
Bài 4 (4 điểm)
1 Giải phơng trình (x− 3) [log3(x− 5)+ log5(x− 3) ]=x+ 2
2 Tính
x
x x
x
1 3 1 2 1
0
− + +
Bài 5 (4 điểm)
1 Lập phơng trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết rằng qua đờng thẳng
=
−
−
−
=
−
−
+
0 1 2
2
0 3 2
2
z
y
x
z
y
x
có hai mặt phẳng vuông góc với nhau tiếp xúc với mặt cầu
2 Với a, b, c dơng và 1 ≤ α∈ R, chứng minh rằng:
1 1
1 1
1
1 1
1
1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+ +
+ +
≥ +
+ +
+
α α
α
α α
α
α α
α
α α
α
α α
α
α
b a
c a
c
b c
b
a b
a
c a
c
b c
b
a
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh số báo danh
Trang 2Hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Môn: toán - bảng A
(đáp án này có 3 trang)
Bà
I
1
• TXĐ D = R\{1}
M ∈ Ox ⇒ M(x0; 0), đờng thẳng qua M với hệ số góc k có phơng
trình: y = k(x – x0) (∆)
(∆) là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ:
=
−
−
−
=
−
k x
x x
x x k x x
2 2
0 2
1 2
1
có nghiệm
2 2
1
2
x x x
−
−
=
− ⇔ x[ (x0 + 1)x− 2x0]= 0 ⇒
−
≠ +
=
=
1 1
2 0
0 0
x
x x x
• Với x0 = 0 ⇒ k = 0,
Với x0 =
1
2 0
0
+
x
x
⇒ k = ( )2
0
0 1
4
+
−
x x
• Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì:
2 1
2 1 0 1
45
k k
k k tg
+
−
= ⇒( )2
0
0 1
4
+
x
x
= ± 1
x0 = 3 ± 2 2
• ⇒ M1(3 + 2 2; 0), M2(3 − 2 2; 0)
0.5đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ
2
Giao điểm của đồ thị hàm số y= log2x , và đờng thẳng x +y = - 3 là
A(2; 1) ⇒ V = π∫ x dx+∫ ( −x) dx
3 2
2 2
1
• V1=π∫2 x dx
1 2 log =π e∫2 x dx
1
2 ln
=πlog2e.(2 ln 2 − 1)
• V2 =π ∫3( −x) dx
2
2
3 = = π31
3
1
+log2e.(2 ln 2 − 1)] (đvtt)
0.5đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ
<
+ + +
<
+ +
−
) 2 ( 0
7 7
) 1 ( 0
2 2 2
2
m x m x
m x m x
• ∆1 = (m – 2)2 ≥ 0 và ∆2 = (m – 7)2 ≥ 0 ⇒ m = 2 hoặc m = 7 thì
hệ phơng trình vô nghiệm
• Với
≠
≠
7
2
m
m
và m≥ 0thì tập nghiệm của (1) là D1 ⊂ R+ và tập nghiệm của (2) là D2 ⊂ R- nên hệ phơng trình vô nghiệm
• Với m < 0 tập nghiệm D1= (m; 2) và tập nghiệm D2= (-7; -m)
⇒ hệ phơng trình luôn có nghiệm
• Hệ phơng trình luôn có nghiệm với m < 0
0.5đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ
y
O 1 2 3 x
1
Trang 32
• ⇔x2 −(x+ 3)−(x+ x+ 3)= 0 ⇔(x+ x+ 3)(x− x+ 3 − 1)= 0
=
−
−
≤
⇔
−
=
x x
x x x
=
−
−
≥
⇔
−
=
x x
x x
x
Kết luận:
2
13
1 −
=
2
17
3 +
=
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
III
1
⇔2 cos 2 3x+ 4 cos 3x+ 3 − coss4x= 0
⇔2(cos 3x+ 1)+ 2 sin 2 2x= 0
⇔
=
−
=
0 2 sin
1 3 cos
x x
⇔
=
+
=
2
3
2 3
π
π π
l x
k x
KL: Nghiệm x = π + 2kπ
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
2
• đặt cosA+ cosB+ cosC= 1+
2
sin 2
sin 2 sin
4 A B C = t ⇒ 1< t ≤ 23
• Xét f(t) =
t
t+1 trên (1;
2
3
], có f’(t) = 2
1 1
t
− > 0 ⇒ hàm số đồng biến trên (1;
2
3]
• ∀t ∈ (1;
2
3
] thì f(1) < f(t) ≤ f(
2
3
) =
6 13
+ +
+ +
+
C B
A C
B A
Dấu bằng xảy ra khi: cosA+ cosB+ cosC=
2
3 hay tam giác đều
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
IV
1
• Pt ⇔ log3(x− 5)+ log5(x− 3)=
3
2
−
+
x
x
với x > 5
• Hàm số y = log3(x− 5)+ log5(x− 3) đồng biến trên (5; + ∞)
• Hàm số y =
3
2
−
+
x
x
có y’= ( 3)2
5
−
−
x < 0 nghịch biến trên (5; + ∞)
• ⇒ phơng trình có nghiệm duy nhất x = 8
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
2
• L =
x
x x
x x
x
1 3 1 3 1 3 1 2 1
0
− + + +
− + +
→
=
x
x x
x
1 2 1 3 1 lim 3
0
− + +
x
x
x
1 3 1 lim3 0
− +
→ = L1 + L2
• L1 =
x
x x
x
1 2 1 3 1 lim 3 0
− + +
2 3
1 lim 3
x x
• L2 =
x
x
x
1 3 1 lim3 0
− +
+ + + +
3 lim
3 2 3
0
x x
x
x
• Vậy L = 2
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
Trang 4V
1
•
=
−
−
−
=
−
− +
) ( 0 1 2 2
) ( 0 3 2
2
Q z
y x
P z
y x
ta nhận thấy
∈
∉
) (
) (
Q I
P I
và (P) ⊥ (Q)
• ⇒ hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nhận (Q) làm mặt phẳng
phân giác ⇒ 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu cũng là
hai mặt phẳng phân giác của góc sinh bởi (P) và (Q) Nên phơng trình
2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là:
|2x + 4y – z -3| = |x – 2y -2z -1| ⇔
=
= + +
0 4
- 3z
-x 3
0 2 -z 4y
x
• Bán kính mặt cầu cần lập: R = d(I/α) =
3
2 1 4
1 − + −
=
3 4
• Phơng trình mặt cầu cần lập là: ( ) ( ) ( )
9
16 1 1
1 2 + + 2 + − 2 =
x
0.5đ
0 5đ 0.5đ 0.5đ
2
Giả sử a ≥ b ≥ c > 0
0 1 1
1 1
1
1 1
1
1
≥
+
− +
+
+
− +
+
+
− +
⇔ α α α α− α− α− α α α α− α− α− α α α α− α− α−
b a
c b
a
c a
c
b a
c
b c
b
a c
b a
0 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1
1 1
≥
+
− + +
+
+
− + +
+
− +
⇔
−
−
−
−
−
−
−
−
−
α α α α α
α α α α
α α
α α α α
b a b a
c c
a c a c
b b
c b c b
a a
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1
≥ +
+
− +
− +
+ +
+
− +
− +
+ +
− +
−
⇔
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
α α α α
α α
α
α α α α
α α
α α
α α α
α α
α
b c a c
a c b a c a c
a c a c
a b a c b c b c
b c b
c a c b a b a
1 1
1 1
1 1 1
1 1
1
1 1 1
1 1
1
1 1 1
1 1
1
≥
+ +
− + +
− +
+
+ +
− +
+
− +
+
+ +
− + +
−
⇔
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
α α α α α
α α α α
α
α α α α α
α α α α
α
α α α α α
α α α α
α
a b c b b
a b a a c a c
b a b a a
c a c c b c b
a c a c c
b c b b a b a
Điều này luôn đúng với mọi a ≥ b ≥ c > 0 và α > 1, α∈ R
dấu bằng xảy ra khi a = b = c > 0
0.5đ 0.5đ
0.5đ
0.5đ