pp dồn biến giải bdt

Mặc dù vậy, cho dù ít xuất hiện nhưng các bài toán bất đẳng thức trong các kì thi đại học cũng không nằm ngoài các bất đẳng thức đối xứng, hoán vị … Do đó nếu vận dụng linh hoạt phương p

PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN

(Mixing variable) TRONG CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Kể từ năm học 2001-2002, kỳ thi đại học được tổ chức “3 chung”, vì vậy

các bài toán bất đẳng thức ít xuất hiện và nếu có thì độ hóc búa cũng giảm đi Mặc dù vậy, cho dù ít xuất hiện nhưng các bài toán bất đẳng thức trong các kì thi đại học cũng không nằm ngoài các bất đẳng thức đối xứng, hoán vị …

Do đó nếu vận dụng linh hoạt phương pháp dồn biến các bài toán bất đẳng thức trở nên dễ dàng hơn

Trong nghiên cứu của tôi, không thể nói là cách sử dụng phương pháp dồn biến sẽ ngắn gọn hơn hay là dễ hiểu hơn Song mục đích của tôi là sử dụng một phương pháp chung, phương pháp dồn biến cho tất cả các bài toán bất đẳng thức trong các kì thi đại học mà chúng tôi đề cập đến

Đề tài nghiên cứu sẽ giúp giáo viên và học sinh có một tài liệu tiếp cận với phương pháp dồn biến, một phương pháp mới để giải tốt các bài toán bất đẳng thức Do thời gian và khả năng có hạn nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong có những ý kiến đóng góp quý báu của các đồng nghiệp và các bạn Xin chân thành cảm ơn!

B NỘI DUNG

1 BẤT ĐẲNG THỨC – PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN

a Bất đẳng thức cơ bản

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI

Trong toàn bộ nghiên cứu, chúng tôi mong muốn đưa bài toán nhiều biến về nhiều nhất là hai biến, do đó chúng tôi chỉ phát biểu bất đẳng thức Cô-si chỉ ở dạng cơ bản nhất

Giả sử , x y là 2 số thực không âm Khi đó

2

xy

+

³

Đẳng thức xảy ra khi x=y

Và sau đây là các định lý cơ bản nhất trong sách giáo khoa giải tích 12, đó

là công cụ bổ trợ thiết thực cho giải toán bất đẳng thức

b Các định lý cần thiết

ĐỊNH LÝ 1

Cho hàm số y = f x( ) liên tục trên đoạn [a;b] Khi đó tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đó.

ĐỊNH LÝ 2

Cho hàm số y = f x( ) liên tục trên đoạn [a;b] và đạo hàm f x'( ) ³ 0,"x Î ê úé ùë û a b;

Khi đó f a( ) £ f x( ) £ f b( )

ĐỊNH LÝ 3

Cho hàm số y = f x( ) liên tục trên đoạn [a;b] và đạo hàm f x'( ) £ 0,"x Î ê úé ùë û a b;

Khi đó f b( ) £ f x( ) £ f a( )

c PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN

Trong các kỳ thi đại học, nếu có bài toán bất đẳng thức thì cũng không nằm ngoài các bất đẳng thức đối xứng hay hoán vị Mà nếu thế thì sử dụng phương pháp dồn biến sau đây sẽ cực kỳ hiệu quả

Phương pháp dồn biến (mixing variable) được khái quát theo 2 bước chính

Giả sử ta cần chứng minh f x y z( , , ) ³ 0(nếu không thì ngược lại), với x, y, z là 3

biến số thực thỏa mãn các tính chất nào đấy

Bước 1(Kỹ thuật dồn về 2 biến bằng nhau)

Đánh giá f x y z( , , ) ³ f x t t( , , ) với t là một biến mới sao cho bộ số (x,t,t) thỏa

mãn tính chất của bộ số (x,y,z).

Thông thường ta hay đặt t là các đại lượng trung bình để không làm mất đi các

tính chất cho trước, chẳng hạn , , 2 2,

Bước 2 Đánh giá f x t t( , , ) ³ 0.

Phương pháp chúng tôi đề cập đến chỉ ngắn ngọn như thế, việc khó nhất của chúng ta là đánh giá f x y z( , , ) ³ f x t t( , , ) Điều đó sử dụng nhiều kỹ thuật, chứ ở bước thứ 2 hầu hết là đơn giản vì chúng ta đã hạn chế còn lại chỉ 2 biến số

Thí dụ ( Bất đẳng thức Côsi cho 3 số)

Giả sử x y z, , là 3 số thực không âm Khi đó x + y + z ³ 33 xyz

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z

Chứng minh

Bước 1

Đặt f x y z( , , ) =x + y + z - 33xyz

Đặt

2

x y

t = + , ta có t2 ³ xy suy ra

f x y z - f t t z = t z - xyz ³

Bước 2 là chứng minh

3 2

Việc này thật đơn giản vì

2t + z - 3 t z ³Û0 2t + z - 27t z ³Û0 t - z 8t + z ³ 0

Vậy f x y z( , , ) ³ f t t z( , , ) ³ 0

Đẳng thức xảy ra khi 2

t z

t xy

ìï =

íï = ïïî

Bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương vừa được chứng minh, chúng tôi sẽ sử dụng

nó như là một bổ đề cho các chứng minh tiếp theo

2 CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁCH GIẢI CHUNG

Phần này chúng tôi chỉ sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số, sử dụng tính đơn điệu của hàm số, và các biến đổi thông thường để chứng minh các bất đẳng thức Nghĩa là chúng tôi muốn chỉ cần các kiến thức trong sách giáo khoa kèm theo phương pháp dồn biến là có thể chứng minh được các bất đẳng thức trong các kỳ thi tuyển sinh đại học hoặc các kỳ thi học sinh giỏi các cấp

Phương pháp dồn biến chúng tôi chia làm hai mảng thường gặp là các bất đẳng thức đại số và các bất đẳng thức lượng giác

a Các bất đẳng thức đại số

1 [KHỐI A- 2011]

Cho x, y, z là 3 số thực thuộc é ùê ú1;4 và x ³ y x; ³ z Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

P

Giải:

Ta có

P

æ + ö÷ æ+ ö÷ æ+ ö÷

Đặt a y ,b z ,c x

= = = , bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của

P

+ + + với điều kiện abc =1

f a b c

Đặt t = bc , theo giả thiết 1 , , 4 1 1 1 1, , 1

4

x y z

x y z

Kết hợp với điều kiện x ³ y x; ³ z ta có 1£ bc £ 4 Þ 1£ £t 2

f a t t

( , , ) , ,

f a b c f a t t

Ta có

( )

2

f a b c f a t t

Ta có (1) luôn đúng vì t ³ 1 và b+ c- 2 bc ³ 0 Dấu bằng sảy ra khi bc =1

hoặc b =ctức là x 1

y = hoặc

z = y (2)

Do đó f a b c( , , )- f a t t( , , ) ³ 0 hay f a b c( , , )³ f a t t( , , )

Bước còn lại của phương pháp dồn biến đánh giá f a t t( , , ) .

Theo giả thiết a bc 1 a 12

t

2

( , , ) , ,

1

t

t

= ççç ÷÷= +

+ +

Đặt

3 2

2

1

t

t

+

Suy ra ( ) ( )2 34

33

f t ³ f = Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi t = hay 2

bc

y

Do đó 34

33

P ³ Từ ( 2 ) và ( 3 ) suy ra dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 34

33 khi x = 4,y =1,z = 2

• Nhận xét: Ở đây ta đã sử dụng phương pháp dồn biến với kỹ thuật chuẩn

hóa Mục đích là để việc giải bài toán trở nên đơn giản hơn

2 [KHỐI A- 2009]

Chứng minh rằng (x + z)3 + (x + y)3 + 3(x + y x) ( + z y) ( + z) £ 5(y + z)3

Chứng minh:

Đây là một đề toán rất gần đây, không ít người cho rằng đây là bài toán dễ, nó được đông đảo người mê toán bất đẳng thức sôi nổi đưa ra các đáp án khác nhau

và có nhiều lời giải hay

Sau đây là đáp án được đưa ra của bộ giáo dục – đào tạo và các đáp án được đưa

ra các bạn có thể tìm được trên mạng, cuối là đáp án của chúng tôi

 Đáp án của bộ GD-ĐT

Đặt a=x+y, b=x+z, c=y+z , điều kiện của bài toán trở thành c 2 =a 2 +b 2 -ab.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a3 + b3 + 3abc £ 5c3

Thỏa mãn điều kiện:

3

2

+

2

Từ (1) ta có (a + b c) £ 2c2 và 3( )2 2

4

Từ đó suy ra đpcm, dấu bằng xảy ra khi a = =b c hay x =y =z

Còn sau đây là phương pháp của chúng tôi

 Phương pháp dồn biến

Đặt f x y z( , , ) =V T - V P

Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy rằng có hai biến có vai trò như

nhau là y và z, và thấy được dấu bằng xảy ra khi x=y=z nên đặt

2

Khi đó theo giả thiết ( ) 3( )2 2

4

Vì vậy x2 + 2tx + t2 £ 4t2hay(x + t)2 £ ( )2t 2

Suy ra x £ t ( )1

Ta có

( , , ) 2( )3 6 ( )2 5( )3

( , , ) ( , , ) ( )3 ( )3 2( )3 6 ( )2

Xét hàm số

( ) ( )3 ( )3 2( )3 6 ( )2, 0;

g x = x + z + x + y - x + t - t y - z x Î ê úé ùë ût

Ta có

( ) ( )2 ( )2 ( )2

Vậy '( ) '(0) 3( )2 0

2

Do đó theo định lý 2 ta có

( ) ( ) ( )3 ( )3 2 2( )3 6 ( )2

-Nên

Do đó

( , , ) ( , , ) 0 ( , , ) ( , , )

Phương pháp dồn biến chỉ còn lại việc đánh giá biểu thức hai biến số

( , , ) 2( )3 6 ( )2 40 3 0

Việc này thật đơn giản vì f x t t( , , ) £ 2(t + t)3 + 6t t( + t)2 - 40t3 = 0

Vậy kết luận cuối cùng f x y z( , , ) £ f x t t( , , ) £ 0

Hay (x + z)3 + (x + y)3 + 3(x + y x) ( + z y) ( + z) £ 5(y + z)3

Đẳng thức xảy ra khi x=t và 3 3( )2

4

yz = y + z Þ x =y =z(đpcm) Trên đây chúng tôi vừa đưa ra một bất đẳng thức khó mà theo chúng tôi nó rất đặc trưng cho phương pháp chúng tôi đề cập đến:

• Nhận xét: Việc khó nhất của chúng ta là đánh giá f x y z( , , ) £ f x t t( , , ) .

3 [Đề dự bị khối A-2005[2]]

Cho x, y, z là 3 số thực thỏa mãn x+y+z=0 Chứng minh rằng

Chứng minh:

Đặt a =4 ,x b= 4 ,y c =4z, bài toán trở thành chứng minh rằng

3+ a + 3+ b+ 3+ c ³ 6 với điều kiện abc =1

Ký hiệu ( , , )f a b c = 3+ a + 3+ b + 3+ c

Đặt t = bc , với điều kiện abc =1Þ at2 =1

Ta có ( , , )f a t t = 3+ a + 2 3+ t

( )

Ta có

( )

Theo bất đẳng thức Côsi thì b c+ ³ 2 bc =2 2t ( ) Mặt khác:

( )

2

+

Từ (2) và (3) suy ra f a b c( , , )- f a t t( , , ) ³ 0 hay f a b c( , , )³ f a t t( , , )

Bước còn lại của phương pháp dồn biến là chứng minh f a t t( , , ) ³ 6.

Thật không khó vì giả thiết 2

2

1 1

t

Theo bất đẳng thức Côsi thì

4

t

Suy ra

4 8

t

ü ïï ï

+

ý ïï

Tới đây, chúng ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN của

( , , )

f a t t , hoặc có thể sử dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số 8 8

4

2 , 2 , 2t t t

Và kết luận f a t t( , , ) ³ 6Þ f a b c( , , ) ³ 6Þ đpcm Dấu bằng xảy ra khi

a = =b c

4 [Khối A-2003]

2 2 2

82

Chứng minh:

Ta nhận thấy rằng các biến x, y, z độc lập nên phương pháp dồn biến là cực kỳ hiệu quả

Ký hiệu ( , , ) x2 12 y2 12 z2 12

Vì vai trò của x, y, z là như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

x £ y £ z

Đặt t = yz , vì theo bất đẳng thức Côsi 2 yz £ y + z với giả thiết suy ra

x + t £ x + y + z £

Suy ra

( )

y

+ - ççç + ÷÷ + - ççç + ÷÷

-=

+

Vì hàm số ( ) 2

2

1

u

= + giảm khi 0< u < 1 nên 2 2

Suy ra

( )

2

( , , ) , ,

0

-÷

Bước còn lại của phương pháp dồn biến là chứng minh f x t t( , , ) ³ 82

Theo điều giả sử x £ nên t 2

2

1 ( , , ) 3

t

+

³ Bằng cách khảo sát hàm số ta có f x t t( , , ) ³ 82

Dấu bằng xảy ra khi 1

3

Và kết luận f x t t( , , ) ³ 82 Þ f x y z( , , ) ³ 82 Þ đpcm Dấu bằng xảy ra khi

1 3

5 [Khối B -2007]

Cho x, y, z là 3 số thực dương thay đổi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Giải: Đây là bài toán chưa chuẩn hóa ( bất đẳng thức không điều kiện) thì chúng

ta sẽ có nhiều cách để dồn biến hơn Khi đó ta sẽ chọn cách dồn biến sao cho bảo toàn được “ nhiều “ biểu thức nhất trong bất đẳng thức

2

Vì vai trò của x, y, z như nhau nên ta có thể giả sử x £ y £ z

Và ký hiệu 2 2

2

t = + , khi đó t £ z

2

2 , ,

2

Suy ra

1

z

+

Vậy f x y z( , , ) ³ f t t z( , , )

Vấn đề còn lại của chúng ta là tìm giá trị nhỏ nhất củaf t t z( , , )

Vì t £ nên xét hàm số z ( ) 2 2

2

2 2

= + + + trên khoảng0< t £ z

Ta có

( )

( )

( )

( )

4

4

4

2 9

2

2

9

3

z z z z z

=

³

÷

Vậy ( , , ) 9

2

f t t z ³

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi x =y =z =1

b Các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác

Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác cũng là bất đẳng thức ba biến Trong các

đề thi đại học rất ít ra nhưng ở đây chúng tôi cũng đưa ra một bài để minh họa cho sức mạnh của phương pháp dồn biến trong dạng bất đẳng thức này:

Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của :

(1+ cos2A) (1+ cos2B) (1+ c Cos2 )

Giải:

Kí hiệu: f A B C( , , ) =(1+ cos2A) (1+ cos2B) (1+ c Cos2 )

Vì vai trò của A, B, C như nhau nên ta có thể giả sử C = min{A B C, , }

Và ký hiệu

2

t = + , khi đó 0 ( )*

3

Ta có f t t C( , , ) =(1+ cos2t) (2 1+ c Cos2 )

Suy ra

( , , ) ( , , ) (1 os2 ) (1 os2 ) (1 os2 ) (1 os2 )2

Ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2

2

2

2

÷

Từ ( * ) ta có 6 cosC - cos(A- B) - 1³ 3 1 1- - > 0 suy ra (1) đúng Vậy

( , , ) ( , , )

f A B C ³ f t t C

Vấn đề còn lại của chúng ta là tìm giá trị nhỏ nhất củaf t t C( , , )

2 2

1 os2

2

1

4

p

ç

Dễ thấy ( , , ) 125

64

64

khi tam giác ABC là tam giác đều

Vậy giá trị nhỏ nhất của f A B C( , , ) là 125

64 khi tam giác ABC là tam giác đều

c Các bài tập đề nghị

1 [Khối A -2007]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( ) ( ) ( )

P

2 [Khối D -2005]

Chứng minh rằng:

3 3

C KẾT LUẬN

Qua nghiên cứu trên tôi thấy phương pháp dồn biến là phương pháp mạnh và hiệu quả cho việc chứng minh bất đẳng thức Phương pháp này là phương pháp hiện đại, mặc dù có vẻ hơi xa lạ cho các em học sinh, xong giáo viên chỉ cần dạy cho các em nắm được ý tưởng của phương pháp này là khi giải các bài toán bất đẳng thức nếu ta đưa được về trường hợp có hai biến bằng nhau hoặc là một biến có giá trị tại biên, thì số biến sẽ giảm đi Do đó bất dẳng thức mới đơn giản hơn bất đẳng thức ban đầu, đặc biệt nếu bất đẳng thức mới chỉ còn một biến thì bằng cách khảo sát hàm số một biến số ta sẽ chứng minh bất đẳng thức khá đơn giản Chính

vì tư tưởng là giảm dần số biến nên phương pháp này được gọi là phương pháp dồn biến Nếu các em học sinh nắm được bản chất của phương pháp và vận dụng kiến thức đã học trong chương trình phổ thông thì các em sẽ làm tốt các bài toán bất đẳng thức trong các kì thi đại học

Bài toán mở: Trong đề tài này tôi chỉ làm việc treeb đối tượng là bất đẳng thức với ba biến số, qua đó tôi nhận thấy rằng chúng ta có thể mở rộng cho bài toán bất đẳng thức với bốn biến số và một cách tự nhiên thì ta cũng sẽ tổng quát cho n biến số Hy vọng rằng sẽ trao đổi nhiều thêm về vấn đề này với các đồng nghiệp và các bạn

Một lần nữa xin chân thành cảm ơn

D TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Giải tích

12-2 Trần Phương-Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học-NXB TRI THỨC

3 Toán ĐH-CĐ 1992-2010-diendanbaclieu.net