Bài toán góc

Từ một điểm O dựng a’ cùng phương với a, b’ cùng phương với b.. 2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.. b Khi a và mpP không vuông góc thì góc a, P là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó tr

Bài toán góc.

1) Góc giữa hai đường thẳng:

a) Khi a, b đồng phẳng:

-Nếu a và b cùng phương thì góc (a, b) = 00

-Nếu a, b cắt nhau khi đó chúng tạo ra 4 góc, góc có số đo bé nhất là góc giữa hai đường thẳng

b) Khi a, b chéo nhau Từ một điểm O dựng a’ cùng phương với a, b’ cùng phương với b Góc (a, b) là góc (a’, b’)

c) Nếu u uur uur1, 2 là vectơ chỉ phương của a, b, thì

1 2

1 2

u u

a b u u

u u

ur uur

ur uur

ur uur

2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

a) Khi a và mp(P) vuông góc thì góc (a, P) = 900

b) Khi a và mp(P) không vuông góc thì góc (a, P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P)

c) Nếu uuura là vectơ chỉ phương của a, nuurP là vectơ pháp tuyến của (P), thì

a P

u n

u n

uur uur uur uur

uur uur

3) Góc giữa hai mặt phẳng.

a) Góc giữa hai mp(P), (Q) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mp này

b) Lấy O thuộc giao tuyến m giữa hai mp, trong mp(P), dưng đường thẳng

a qua O và vuông góc m, trong (Q) dựng b qua O và vuông góc m, khi

đó góc giữa hai mp cũng bằng góc (a, b)

c) Cũng có thể làm như sau

Lấy A thuộc mp(P), chiếu A xuống (Q) thành H, chiếu H lên giao tuyến

m của hai mp là O Góc giữa hai mp là góc ·AOH

d) Nếu n nur uur1, 2 là vectơ pháp tuyến của (P), (Q) thì

1 2

1 2

n n

n n

ur uur

ur uur

ur uur

4) Công thức hình chiếu

j = góc(P, Q) thì S A’B’C’ = S ABC cosj .

5) Bài tập

Bài 1 Tính góc giữa đường thẳng : 3 1 2

d + = − = −

và mỗi trục toạ độ Bài 2 Cho 1

1

2

z t

= +



 = +



 =



1

3 2

x at

= − +



 = −



 = +



và ϕ =( ,d d1 2)

a) Tính a, biết cos 4

9

ϕ = b) Tìm gía trị nhỏ nhất của ϕ.

Bài 3 Lập phương trình đường thẳng d qua O và tạo với trục hoành trục tung các góc đều bằng 600

d − = + = − d − = + = −

−

a) Tính góc giữa d1 và d2

b) Lập phương tình đường thẳng d3 qua O cắt và tạo với d1 một góc ϕ với

34 7 cos

147

ϕ = Bài 5 Cho hai mặt phẳng (P): x + y + z – 6 = 0, (Q): mx – 2y + z + m – 1 = 0 a) Tính góc giữa hai mặt phẳng khi m = 1

b) Xác đinh m để cosin góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) bằng 1

3 3 c) Tìm m để góc giữa (P) và (Q) bé nhất (Bất đẳng thức Bunhiacopski, hay còn gọi Cauchy-Schwarz: ax by+ ≤ a2+b2 x2+y2 , đẳng thức xảy ra khi x y

a = b ).

Bài 6 Lập phương trình mp(P):

a) Chứa Oz và tạo với mp(Q) : 2x y+ − 5z=0 một góc 600

b) Đi qua hai điểm A(3; 0; 0), C(0; 0; 1) và tạo với mp(Oxy) một góc 600 Bài 5 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi C1 là trung điểm CC’

a) Tính góc giữa C1B và A’B’ và góc giữa hai mp(C1AB) và (ABC) b) Một mp(P) chứa AB và tạo với đáy một góc j Tính diện tich thiết

diện theo a và j

Bài 2 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a, đường cao

SO = 2a Gọi M là điểm thuộc đường cao AA’ của tam giác ABC Xét mp(P)

đi qua M và vuông góc AA’ Đặt AM = x

a) Xác định thiết diện giữa (P) và hinh chóp

b) Xác đinh vị trí M để thiết diện có diện tích lớn nhất

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = b và

SA vuông góc với mp đáy

a) Tính góc giữa SB và đáy

b) Tính góc giữa SC và (SAB)

c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC)

d) Tính góc giữa (SBC) và (SDC)

Bài 4 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, AD = b, AA’ = c

a) Gọi a b g, , là góc giữa AC’ với AB, AD, AA’ chứng minh

2 2 2

b) Gọi x, y, z là góc giữa AC’ và mp(ABCD), mp(ABB’A’), mp(ADD’A’) Chứng minh