Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh
*****************************
“ứng dụng của một bài tập ở trong sách giáo khoa”
*************************************************
Hà tĩnh, ngày 20 tháng 03 năm 2008
Trang 2Bài toán gốc:
Chứng minh rằng: n3 - n 6 với mọi n∈ Z
Chứng minh: Ta có: n3 - n = (n - 1)n(n + 1)
Xét n = 3k khi đó n3 - n = (n - 1)n(n + 1) 3 (k ∈Z)
Xét n = 3k + 1 khi đó n -13 ⇒ n3 - n = (n - 1)n(n + 1) 3 (k ∈Z)
Xét n = 3k + 2 khi đó n + 13 ⇒ n3 - n = (n - 1)n(n + 1) 3 (k ∈Z)
Vậy n3 - n 6 với mọi n∈ Z
ứng dụng:
Bài 1:
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau:
x3+ y3+ z3= x + y + z + 2008 (1)
Bài giải:
Ta có: (1) ⇔ (x3+ y3+ z3) - (x + y + z) = 2008
⇔( x3- x) + ( y3- y)+ (z3- z) = 2008 (2)
Dể thấy vế trái của (2) chia hết cho 6 còn vế phải của (2) chia cho 6 có số d là 4.Do đó phơng trình (1) không có nghiệm nguyên (đpcm)
Bài 2:
Chứng tỏ rằng hệ phơng trình sau không có nghiệm nguyên:
=
−
=
−
=
−
) 3 ( 669
) 2 ( 669
)1 ( 669
3 3 3
x z
z y
y x
Bài giải:
Ta có: Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta có:
( x3- x) + ( y3- y)+ (z3- z) = 2007 (*)
Phơng trình (*) có vế trái chia hết cho 6 còn vế phải chia cho 6 d 3 do đó vô nghiệm.Vậy hệ phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên (đpcm)
Bài 3:
Cho x1 + x2 + + x n 6 (với x1, x2 ,…, xn ∈ Z)
Chứng minh rằng: x1 3 + x2 3 + + x n 3 6
Bài giải :
Xét hiệu ( x1 3 + x2 3 + + x n 3) - (x1 + x2 + + x n )
= (x1 3- x1) + (x2 3 - x2 ) +…+ ( x n 3- x n ) 6
Mà x1 + x2 + + x n 6 do đó : x1 3 + x2 3 + + x n 3 6 (đpcm)
Bài 4:
Cho N = 20092010
N viết đợc dới dạng tổng của n số tự nhiên n1 , n2 , , nn
Tìm số d của tổng: S = n1 3 + n2 3 + + nn 3 khi chia cho 6
Bài giải :
Trang 3Ta có N = n1 + n2 + … + nn
Do S - N = (n1 3 + n2 3 + + nn 3) - (n1 + n2 + … + nn ) 6
Nên S và N phải có cùng số d khi chia cho 6
Mặt khác 2009 chia cho 6 có số d là 5 do đó 20092chia cho 6 có số d là 1 Vì vậy N = 20092010= (20092)1005chia cho 6 có số d là 1
Kết quả : S = n1 3 + n2 3 + + nn 3 chia cho 6 có số d là 1
Bài 5:
Chứng tỏ rằng phơng trình sau không có nghiệm nguyên:
2
2
2
) 1 (
x x+
= x2 + x + 1004 (5)
Bài giải:
Bây giờ ta sẻ sử dụng kết quả sau:
x3 = 2
2
) 1 (
2
) 1 (
x x−
áp dụng ta có : 13 + 23 + … + (x - 1) 3+x3 =
2
2
) 1 (
x x+
Khi đó ta có:
(5) ⇔ 2
2
) 1 (
x x+ =
2
) 1 (x+
x
+ 502 ⇔ 13 + 23 + … + (x - 1) 3+x3 = 1 + 2 + … + x + 502
⇔ (13- 1) + (23- 2) + … + (x - 1) 3 - (x - 1) + (x3- x) = 502 (6)
Dể thấy vế trái của (6) chia hết cho 6 còn vế phải chia cho 6 có số d là 4
Do đó phơng trình (6) không có nghiệm nguyên,tức là phơng trình (5) không
có nghiệm nguyên
+Tất nhiên phơng trình (5) sẻ còn có cách giải khác
Chẳng hạn:
Đặt t = x2+ x (t∈Z)
Khi đó (5) ⇔t2 - 2t - 2008 = 0 (7)
Do phơng trình (7) không có nghiệm nguyên nên phơng trình (6) không có nghiệm nguyên