12-SÁU BÀI TẬP TRÒ HỎI ,KHÁ HAY

Giải hpt trên , tìm được x1 ; x2 tức là tìm được tọa độ của B ; C .Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm B , C đó chính là đường thẳng... Xét các tam giác có 3 đỉnh của tam giác

TRÒ HỎI (HOÀNG _ LÂM ĐỒNG – ĐT 01638670720 - Email : linhhonbanggia_90@yahoo.com )

Lời giải và HD giải

Bài 1 : cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6

Chứng minh rằng: (11 + a2

)(11 + b2)(11 + c2) + 120abc  4320

Đề bài phải chữa như sau mới đúng (Như vậy là đề ra sai)

Bài 1 : cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6

Chứng minh rằng: (11 + a2

)(11 + b2)(11 + c2) + 120abc 4320

HD GIẢI :

VT = (11 + a2)(11 + b2)(11 + c2) + 120abc

= (7+ 4 + a2) (7+ 4 + b2) (7+ 4 + c2) + 120abc (Áp dụng BĐT Côsy 4 + a2

2a , …) (7 + 2a) (7 + 2b) (7 + 2c) + 120abc (Nhân đa thức và làm gọn)

= 98(a + b + c) + 28(ab + bc + ca) + 128 abc

98.3 + 28.3 + 128 abc = 294 + 84 + 128 abc

- a chứng minh : 294 + 84 + 128 abc 4320 (Chia hai vế cho 2)

147 + 42 + 64.abc 2160 (*)

- = t thì 0 < t 2 , dấu bằng xẩy ra khi a = b = c = 2

(Vì a , b , c dương,thỏa mãn a + b + c = 6 nên theo Côsy: 6 = a + b + c 3 ; 0 < 2)

Và = t2 , abc = t 3 Bất đẳng thức (*) trở thành : 64t3 + 42.t 2 + 147.t – 2160 0

- Xét hàm số : f(t) = 64t3 + 42.t 2 + 147.t – 2160 Với 0 < t 2

Có f ’(t) = 192t2

+ 84.t + 147 > 0 với t (0 ; 2] Do đó hàm số f(t) = 64t 3 + 42.t 2 + 147.t – 2160 đồng biến trên nửa đoạn (0 ; 2] Trên (0 ; 2],giá trị lớn nhất của hàm số là f(2) = - 1077 < 0 Như vậy , với t (0 ; 2] thì f(t) < 0 Vậy: Các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6 thì (11 + a2)(11 + b2)(11 + c2) + 120abc 4320

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(1;-1) và hai đường thẳng :

(d1) x – y -1 = 0, (d2): 2x + y – 5 = 0 Gọi A là giao điểm của d1 và d2 Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt d1 và d2 lần lượt tại B và C sao cho 3 điểm A, B, C tạo thành tam giác có

BC = 3AB

HD GIẢI :

- Giải hpt : pt (d1) và pt (d2) được tọa độ điểm A( 2 ; 1)

- Gọi B(x1 ; x1 - 1) (d1) và C(x2 ; - 2x2 + 5) (d2) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì : B , M , C là

ba điểm thẳng hàng và BC = 3AB

Do đó ta có : Đây thực chất là hệ ba phương trình ba ẩn : x1 ; x2 ; k

Giải hpt trên , tìm được x1 ; x2 tức là tìm được tọa độ của B ; C Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm B , C đó chính là đường thẳng ( )

Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng: (d1)















 4

2

z

t y

t x

và (d2)

















 0

3 '

'

z

t y

t x

Viết phương trình

mặt phẳng cách đều (d1),(d2)

HD GIẢI :

- Đường thẳng (d1) :















 4

2

z

t y

t x

đi qua điểm M1(0 ; 0 ; 4) , có vtcp (2 ; 1 ;0)

- Đường thẳng (d2) :

















 0

3 '

'

z

t y

t x

đi qua điểm M2(0 ; 3 ; 0) , có vtcp (1 ; -1 ;0)

- Ta có (0 ; 3 ; -4) ; = (0 ; 0 ; -3) Do đó = 0 + 0 + 12 0

Suy ra (d1) và (d2) là hai đường thẳng chéo nhau

- Ta có trung điểm của đoạn thẳng M1M2 là M0(0 ; ; 2) Mặt phẳng (P) cần lập phương trình là mặt phẳng đi qua điểm M0(0 ; ; 2) song song với (d1) và (d2) ,tức là mp(P) có vtpt = = (0 ; 0 ; -3) Phương trình mp(P) : 0(x – 0) + 0(y - ) – 3(z – 2) = 0 Hay là : z – 2 = 0 (P) Trả lời :Mặt phẳng (P) cách đều (d1),(d2) có phương trình : z – 2 = 0

Bài 5: Tìm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 4y – 5 = 0, (Q): 3x – y + z – 2 = 0 những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (s): 2x – 2y – z + 7 = 0 một khoảng bằng 2

HD GIẢI :

- Mặt phẳng (P) : x + 4y – 5 = 0 có vtpt (1 ; 4 ; 0)

- Mặt phẳng (Q) : 3x – y + z – 2 = 0 có vtpt (3 ; -1 ; 1)

- Ta thấy điểm M0(1 ; 1 ; 0) thỏa mãn phương trình của cả hai mặt phẳng (P) , (Q) , nghĩa là M0

nằm trên giao tuyến (d) của hai mặt phẳng (P) , (Q)

- Vtcp của đường thẳng (d) ,giao tuyến của (P) và (Q) là = = (4 ; -1 ; -13)

Như vậy giao tuyến (d) của (P) và (Q) đi qua điểm M0(1 ; 1 ; 0) và có Vtcp = (4 ; -1 ; -13)

Do đó giao tuyến (d) của (P) và (Q) có phương trình tham số :

- Điểm M(1+ 4t ; 1 – t ; - 13t) (d) mà khoảng cách từ điểm M đến mp(S) : 2x – 2y – z + 7 = 0 bằng 2 Ta tìm t

Ta có khoảng cách từ M đến mp(S) là : = 2 = 2

= 6 Tương ứng t1 ; t2 ta có điểm M1 ; M2

trên giao tuyên (d) của hai mặt phẳng (P) , (Q) có hai điểm M mà khoảng cách từ M đến mp(S) bằng 2 là : M1( ; ; ) ; M2( ; ; )

Chú ý : Kiểm tra lại các kết quả tính toán Vì tính nhẩm có thể thiếu sự chính xác

Bài 6: tìm các giá trị x trong khai triển nhị thức Newton: lg10 3  5  2lg 3 6

2









Biết rằng số hạng thứ 6 của khai triển bằng 21 và Cn1  Cn3  2 Cn2

Đề sửa lại như sau mới hợp lý:

Bài 6: tìm các giá trị x trong khai triển nhị thức Newton: n

Biết rằng số hạng thứ 6 của khai triển bằng 21 và Cn1  Cn3  2 Cn2

HD GIẢI : Điều kiện > 0 0 < < 10

- Đặt = a = b (Đặt cho gọn)

- Giải phương trình ẩn n N* : + = 2 được n = 7 (Loại n = 2)

- Số hạng thứ (k+1) trong khai triển (a+b)n là Tk = akbn-k

- Ta có : số hạng thứ 6 trong khai triển (a + b)7 là T5 = a5b2 ; = 21 Và

- Do đó,theo giả thiết số hạng thứ 6 của khai triển bằng 21 trở thành :

a5b2 = 21 21 = 21 = 1 = 0

= 1 -10 + 1 = 0

vậy = 5 - và = 5 + (Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện đã nêu)

- Với = 5 - ta có x = và với = 5 + ta có x =

Trả lời : Có hai giả trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán :

Bài 4: Trên mặt phẳng cho đa giác lồi 10 cạnh T =

A1A2…A10 Xét các tam giác có 3 đỉnh của tam

giác T Hỏi trong số các tam giác có bao nhiêi tam

giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là 3 cạnh

của tam giác T?

Sửa lại và thêm một số từ trong đề mới hợp lý:

Bài 4: Trên mặt phẳng cho đa giác lồi 10 cạnh

T = A1A2…A10 Xét các tam giác có 3 đỉnh của

tam giác là các đỉnh của đa giác T Hỏi trong số

các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh

của nó đều không phải là 3 cạnh của đa giác T?

HD GIẢI :

- Mỗi bộ 3 điểm trong 10 điểm A1 ,A2, … ,A10

thuộc T tạo nên một tam giác.Tổng số các tam giác

tạo thành là : = 120

- Tại mỗi đỉnh , có một tam giác nhận hai cạnh của

đa giác T làm cạnh Chẳng hạn tại đỉnh A1 thì có

A1A2A10 nhận hai cạnh A1A2 và A1A10 của đa giác T làm cạnh Có 10 đỉnh nên ta có 10 tam giác loại này (nhận hai cạnh của đa giác T làm cạnh)

- Mỗi cạnh của đa giác T tạo được 6 tam giác mà mỗi tam giác nhận một cạnh của đa giác T làm cạnh (Chẳng hạn : cạnh A1A2 làm cạnh đáy của 6 tam giác có đỉnh tương ứng là A4 ,A5 ; A6 ,A7 ;

A8 ,A9 ).Đa giác T có 10 cạnh nên ta có tất cả 60 tam giác loại này (nhận một cạnh của đa giác T làm cạnh)

- Không có tam giác nào nhận ba cạnh của đa giác T làm cạnh

Theo lập luận và tính toán ở trên ta suy ra : Số tam giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là 3 cạnh đa giác T là : 120 – (10 + 60) = 50

Trả lời : 50 tam giác

A10 A9

A8

A7

A6

A5

A4

A3 A2

A1