Câu 1 : cho hàm số y = -x3 – 3x2 + 4 (1)
Với giá trị nào của m thì đường thẳng nối 2 cực trị đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường tròn (C): (x – m)2 + (y – m -1)2 =5
Lời Giải :
- Viết biểu thức hàm số dưới dạng y = f(x) = f ’(x).q(x) + r(x) Thì y = r(x) là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cự trị của hàm số (Chia f(x) cho f ’(x) được thương là q(x) , dư là nhị thức bậc nhất r(x) )
- Với hàm số y = f(x) -x3 – 3x2 + 4 (1) Ta có: f ’(x) = -3 - 6x
-Viết y = f(x) -x3 – 3x2 + 4 dưới dạng: y = (-3x2 – 6x )( + ) + 2x + 4 Theo lập luận trên, ta có : Đường thẳng đi qua hai điểm đại, cực tiểu của hàm số có phương trình là :
y = 2x + 4 2x – y + 4 = 0 (d)
- Đường tròn (C): (x – m)2 + (y – m -1)2 =5 Có Tâm I(m ; m+ 1) và bán kính R =
- Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (C) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I(m ; m + 1) đến đường thẳng (d) bằng bán kính đường tròn R =
Tức là: = = 5 m1 = 2 và m2 = - 8
Trả lời : Có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán : m1 = 2 và m2 = - 8
Câu 2 : x2 2 (x 1 ) 3x 1 = 2 2x2 5x 2 8x 5
Lời Giải : Điều kiện :
- Viết phương trình thành dạng :
( - 5) + 4(x + 1) – 2(x + 1) = 2 – 6
(Nhân lượng liên hiệp)
Câu 3 :
(2cos2x + cosx – 2) + sinx(3 - 2cosx) = 0 (cos2x + cosx – 1)+ 3sinx – sin2x = 0
cos2x - sin2x = - ( sinx + cosx ) + (Chia hai vế cho 2)
- cos2x + sin2x = ( sinx + cosx ) - sin(2x - ) = sin(x + ) -
Trang 2sin(2x - ) + = sin(2x - ) + sin =
2sinx cos( – x) - = 0 2sinx - = 0 ( Vì : cos( – x) = ,Hai góc phụ nhau )
Câu 4 : Tính giới hạn :
Lời giải : Áp dụng tính chất của hàm số liên tục : = ln
- Đặt : x - = t , x = t + .Khi thì , cos2x = cos2(t + ) = cos(2t + ) = - sin2t
Và cos6x = cos3.2x = 4cos32x – 3cos2x = -4sin32t + 3sin2t
(Công thức góc nhân ba : cos3a = 4cos3a – 3cosa)
( Đặt : - sin2t = u Khi thì )
Câu 6: cho x, y R và x, y > 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P =
1 1
2 2 3 3
y x
y x y x
Lời giải :
- Đặt: x – 1 = a ; y -1 = b thì x = a + 1 và y = b +1
Do đó:
+ 8 (Theo Côsy) dấu bằng xẩy ra –Tức là P đạt gtnn, khi và chỉ khi a = b = 1
x = y = 2 thì P đạt gtnn , MinP = 8
Trang 3Câu 7: trong mặt phẳng với hệ tọa dộ Oxy, cho hình thang cân ABCD có diện tích là
2
15
có đáy lớn AB gấp 2 lần đáy nhỏ CD Biết rằng điểm A(2;0), B(0;4) và điểm C có tọa độ dương.Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh CD
Lời giải :
- Ta có A(2;0), B(0;4) nên AB = = 2 , AB dài gấp đôi CD nên CD =
- Gọi độ dài đường cao hình thang là h Diện tích của hình thang S = = (AB + CD)h
15 = 3 h Vậy HK = h = (khoảng cách giữa hai đường thẳng AB ,CD bằng )
- Đường thẳng AB có phương trình theo các đoạn chắn là : + = 1 2x + y – 4 = 0 (AB)
- Gọi khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng AB là
OH = a Thì a là đường cao (Thuộc cạnh huyền) của tam
giác vuông AOB Có OA = 2 , OB = 4 là hai cạnh góc
vuông nên :
= + Tức là = + =
vậy OH = a =
Do đó suy ra khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng
CD là OK = OH + HK = + = (1)
- Đường thẳng CD song song với đường thẳng AB nên
CD có phương trình :2x + y + m = 0 (CD) ta tìm m
Phương trình của đường thẳng CD viết dạng: theo các
đoạn chắn :
+ = 1.Theo giả thiết đỉnh C có tọa độ dương nên suy ra –m > 0 tức là m < 0 Đường thẳng CD cắt trục Ox tại điểm M ( ; 0) và cắt trục Oy tại điểm N(0 ; -m) vuông tai ,có OM = , ON = -m ,đường cao (Thuộc cạnh huyền) là OK do đó : = +
Tức là :
= + = vậy OK = (Chú ý: m <0 đã nói trên) (2)
- Từ (1) và (2) ta có m = - 9 Thay vào phương trình đường thẳng CD được: 2x + y - 9 = 0 Trả lời : Phương trình của đường thẳng CD : 2x + y - 9 = 0
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình:
y
x
K H
N
M
B
A O
Trang 4d: x y z
1
2
và d’:
1
5 3
2
2
y x
Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và tạo với d’ một góc 300
Lời giải :
-Viết phương trình của đường thẳng (d) dưới dạng tổng quát :
- Mặt phẳng chứa đường thẳng (d) ,có phương trình x + y – 2 + hay là :
(1 + )x + y – z – 2 = 0 ( ).Vtpt của mp( ) là (1 + ) ; 1 ; - ) Vtcp của (d’) là (1 ; -1 ; 1)
- Đường thẳng (d’) và mp( ) tạo với nhau một góc 300 nên góc giữa vtcp của (d’) và vtpt của
mp( ) là 600 hoặc 1200 Suy ra = = Đây là phương trình ẩn .Giải phương trình , tìm được thay vào phương trình của mp( ) ở trên
Câu 10 : Trong mặt phẳng với hệ tọa đô Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
biết trực tâm H(1;0),chân đường cao hạ từ đỉnh B là K(0;2), trung điểm cạnh AB là M(3;1)
Lời giải :
- Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua K(0 ;2) và vuông góc với HK ,tức là có vtpt (1; -2) Do
đó có phương trình : 1(x – 0) – 2(y-2) = 0 Hay là : x – 2y + 4 = 0 (AC)
- Ta có K(0 ;2) , M(3 ; 1) Gọi K’ là điểm đối xứng với K qua điểm M thì K’(6 ; 0) Đường thẳng (d) đi qua điểm K’ và song song với đường thẳng AC chính là hình đối xứng tâm của đường thẳng
AC qua tâm M Đường thẳng (d) có phương trình : 1(x – 6) – 2(y – 0) = 0 Hay là x- 2y – 6 = 0 (d)
- Giao điểm của (d) va đường thẳng HK chính là đỉnh B Đường thẳng HK đi qua điểm H(1 ; 0) có vtcp (1; -2) nên có phương trình dạng tham số :
- Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ phương trình :
Vậy tọa độ đỉnh B(2 ; -2)
- Đỉnh A(x ; y) đối xứng với đỉnh B(2 ; -2) qua điểm M(3 ; 1) nên A(4 ; 4) Đường thẳng chứa cạnh AB đi qua A(4 ; 4) có vtcp là (-2 ; -6) có vtpt (6 ; - 2) do đó có phương trình là : 6(x – 4) -2(y – 4) = 0 Hay là : 3x -y – 8 = 0 (AB)
- Đường thẳng chứa cạnh BC : đi qua điểm B(2 ; -2) và vuông góc với AH ,tức là có vtpt là
(3 ; 4) (Vì H là trực tâm ABC) Do đó có phương trình : 3(x -2) + 4(y +2) = 0 Hay là :
Trang 53x +4y + 2 = 0 (BC)
Trả lời :Phương trình các cạnh :3x -y – 8 = 0 (AB) ; x – 2y + 4 = 0 (AC) ; 3x +4y + 2 = 0 (BC)
Câu 11:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):
2 2
2 1
z y
x
và mặt phẳng (P): x – y + z – 5 = 0 Viết phương trình tham số đường thẳng (): đi qua A(3;-1;1) nằm trong (P) và hợp với (d) một góc bằng 450
Lời giải :
- Theo giả thiết A(3 ; -1 ; 1) (P) Gọi B(1 ; y0 ; 4 + y0) là điểm thuộc mp(P) : x – y + z – 5 = 0
mà đường thẳng AB tạo với đường thẳng (d) một góc 450
Ta tìm tọa độ điểm B ,tức là tìm y0
- Hai đường thẳng : (d) và AB tạo với nhau một góc 450 thì các vtcp của chúng tạo với nhau một góc 450 hoặc 1350 Nghĩa là : = trong đó : (1 ; 2 ; 2) là vtcp của đường thẳng (d) và (-2 ; y0+1 ; y0+3) là vtcp của đường thẳng AB
- Ta có :
7 +12 27 = 0 có hai nghiệm : = -3 và = tương ứng ta có hai điểm B1(1 ; - 3 ; 1) và B2(1 ; ; )
- Như vậy : Trong mặt phẳng (P) có hai đường thẳng AB1 và AB2 thỏa mãn :đi qua điểm
A(3 ; -1 ; 1) và tạo với đường thẳng (d) : = = một góc 450 :
- Với A(3 ; -1 ; 1) , B1(1 ; - 3 ; 1) thì (-2 ; -2 ; 0) Là vtcp của đường thẳng AB1 Đường thẳng AB1 đi qua điểm A(3 ; -1 ; 1) , có vtcp (-2 ; -2 ; 0) nên có phương trình tham số là:
- Với A(3 ; -1 ; 1) , B2(1 ; ; ) thì (-2 ; ; ) Là vtcp của đường thẳng AB2 Đường thẳng AB2 đi qua điểm A(3 ; -1 ; 1) , có vtcp (-2 ; ; ) nên có phương trình tham số là:
Trang 6
Câu 12 :tìm số nguyên dương n thỏa mãn:
1
121 1
2
3
2 2
0
n
C n C
C
n n
n n
Lời giải :
-Ta có : (x + 1)n = + x + x2 +…+ xk + … + xn-1 + xn (*)
- Lấy tích phân hai vế của (*):
- Lại có :
- Từ (1) và (2) suy ra :
Chia hai vế cho 2 được :
= (3) giả thiết :
= (4)
và (4) ta có : = = 243 = 81 vậy n = 4