13.MƯỜI BA BÀI TOÁN TRÒ HỎI ,KHÁ HAY

Tính thể tích nón.. Hướng dẫn giải : Chỉ cần vẽ một phần quan trọng của hình ,liên quan đến tính toán - Gọi M là trung điểm của AB ,Kẻ OH vuông góc... Lấy vi phân hai vế .Vế trái đạo h

Bài 1 : Cho hàm số y =

1

2





x

x

có đồ thị (C) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A 











3

4

; 3

2

và cắt ( C ) tại hai điểm M,N sao cho A thuộc đoạn MN và AN = 2AM

Lời giải : Tập xác định : R\

- Đường thẳng đi qua điểm A 











3

4

; 3

2

với hệ số góc k , có phương trình y = k(x - + (d)

- Tọa độ giao điểm của (d) và đồ thị (C) là nghiệm hệ phương trình :

- Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và đồ thị (C)

- Ta có (*) x – 2 = k(x – 1)(x - ) + (x – 1) 3kx2 + (1 – 5k)x + (2 +2k) = 0 (*)

Gọi N(x1,y1) , M(x2 ,y2) trong đó x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*)

(Chỉ cần quan tâm tới hoành độ các giao điểm)

phân biệt thỏa mãn : (Bài toán quen thuộc rồi)

Bài 2 : giải phương trình: 6 2

9

3

2 





x

x

Lời giải : Điều kiện: x2

- 9 > 0 Mặt khác VP = 6 > 0 nên VT > 0 suy ra x > 0 Vậy đk : x > 3

- Ta có : x + 6 x (1 + ) = 6

- Hai vế phương trình (1) không âm khi x > 3 , bình phương hai vế được phương trình tương đương : x2

(1 + + ) = 72

- Đặt = t , thì t 0 ; x2 = t 2 + 9 phương trình trở thành : (t 2 + 9)(1 + + ) = 72

- Nhân hai vế với t2 được : (t 2 + 9)( + 6t + 9) = 72t2 t4 + 6t 3 – 54 t2 + 54t + 81 = 0

(t – 3) 2( t2 + 12t + 9) = 0 t = 3 thỏa mãn t > 0

(t2 + 12t + 9 = 0 không có nghiệm t > 0 )

- Vậy = 3 (Quá đơn giản rồi phải không ? Chú ý điều kiện x > 3 )

x2 – 9 = 9 x2 = 18 x = 3 Đây là nghiệm của phương trình

M B

A O

S

Bài 3 : giải phương trình: 1 + sin sinx – cos sin 2x = 2 cos2( - )

Lời giải :

1 + sin sinx – cos sin2x = 2 cos2( - ) sin sinx – cos sin2x = 2cos2( - ) -1 sin sinx – cos sin2x = cos( - x ) (Góc phụ nhau : cos( - x ) = sinx)

sin sinx – cos sin2x = sinx (Chuyển vế đặt sinx làm nhân tử chung )

sinx(sin – cos sinx – 1) = 0 (Góc nhân đôi : sinx = 2sin cos )

sinx(sin – 2cos2 sin – 1) = 0 (Thay cos2 = 1 – sin2x )

sinx(2sin3 – sin – 1) = 0 (Nhẩm nghiệm phương trình bậc ba ,phân tích thành nhân tử ) sinx(sin - 1)(2sin2 + 2sin + 1) = 0 (Chú ý : 2sin2 + 2sin + 1 = 0 vô nghiệm )

(Quá đơn giản rồi chứ ?)

Bài 4 : cho 2 hàm số: g(x) = 3 –x ; f(x) = (x – 1)2 Tính tích phân       



3

2

, min f x g x dx

Hướng dẫn giải :

+ Xét hiệu f(x) – g(x) (x -1)2 – (3 – x) = x 2 – x - 2 < 0 khi và chỉ khi -1 < x < 2

+ Do đó , Trên đoạn ta có :

- Với x thì g(x) < f(x) tức là x , Min = g(x)

- Với x thì f(x) < g(x) tức là x , Min = f(x)

- Với x thì g(x) < f(x) tức là x , Min = g(x)

+ Theo yêu cầu của đề ra : ta phải tính tích phân

   





3

2

,

min f x g x dx

+ Ta có :

(Bạn giải tiếp được rồi)

Bài 5 : Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm

O SA, SB là 2 đường sinh, biết SO = 3, khoảng cách

từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng 1, diện tích tam giác

SAB bằng 18 Tính thể tích nón

Hướng dẫn giải :

(Chỉ cần vẽ một phần quan trọng của hình ,liên quan

đến tính toán )

- Gọi M là trung điểm của AB ,Kẻ OH vuông góc

với SM ,chứng minh OH vuông góc với mp(SAB) , OH = 1

- SOM vuông tại O ,đường cao OH = 1, cạnh SO = 3

Có : = + nên tính được OM = .Áp dụng Pitago suy ra SM =

- Theo giả thiết diện tích tam giác SAB bằng 18 : = AB.SM = .AB = 18

Do đó AB = 8 AM = 4

- OMA vuông tại M , Có OM = , AM = 4 nên OA2 = OM 2 + AM2 = + 32 =

- Vậy thể tích khối chóp là : V = h = = 3 =

Bài 6 : chứng minh rằng với mọi số thục không âm x, y, z, ta luôn có:

(2x + y + z)(x + 2y + z)(x + y + 2z)  8(x + y)(y + z)(z + x)

Hướng dẫn giải : Áp dụng BĐT CôSy cho hai số không âm

2x + y + z = (x + y) + (x + z) 2 (1)

x + 2y + z = (x + y) + (y + z) 2 (2)

x + y + 2z = (x + z) + (y + z) 2 (3)

Nhân ba BĐT cùng chiều có các vế đều dương (1) , (2) , (3) ở trên ta được điều phải chứng minh (2x + y + z)(x + 2y + z)(x + y + 2z) 8 (x + y)(y + z)(z + x)

Bài 7 : Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1;3) nằm ngoài (C): x2 + y2 – 6x + 2y +6 = 0 Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt ( C ) tại hai điểm B và C sao cho AB = BC

Lời giải :

- Để viết phương

trình đường thẳng d qua A cắt ( C ) tại

hai điểm B và C sao cho AB = BC , ta

phải xác định tọa độ một điểm nữa

thuộc đường thẳng (d) –Vì đã có điểm

A thuộc (d) Ta xác định điểm B

- Đường tròn (C) có phương trình :

x2 + y2 – 6x + 2y +6 = 0

viết thành : (x – 3)2 + (y+1)2 = 4

Có tâm I(3 ; -1) và bán kính R =2

Kẻ tiếp tuyến AT của đường tròn

-Ta có : AB.AC =AT2 Vì AB = BC

nên AC = 2AB.Do đó :

AB.AC =AT2 2AB2 = AT2

Suy ra : AB = (*)

-Ta có ITA vuông tại T ,tính

được

AI = , IT = R = 2 AT = = 4 thay vào (*) được AB = 2

- Như vậy suy ra : Điểm B là giao điểm của đường tròn (C) với đường tròn (C’) tâm A , bán kính R’ = AB = 2

- Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình :

Sau khi tìm được tọa độ điểm B , viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B

Bài 8 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y – 2)2 = 13 và đường thẳng (d) : x -5y -2 = 0 gọi A, B là giao điểm của ( C ) và (d) Xác dịnh tọa độ điểm

C sao cho tam giác ABC vuông tại B và nội tiếp (C)

Hướng dẫn giải :

- Đường tròn (C) có tâm I(-1 ; 2) Gọi tọa độ đỉnh C(x ; y)

I

T

C B

A

- Vì ABC vuông tại B và nội tiếp đường tròn (C) nên AC là đường kính ,suy ra I(-1 ; 2) là trung điểm của AC

Bài 9:Trong không gian Oxyz, cho A(-1; 3; -2)

và B(-3; 7; -18) và mặt phẳng (P):

2x – y + z + 1 = 0 Tìm tọa độ điểm M  (P)

sao cho MA + MB nhỏ nhất

Hướng dẫn giải :

- Thấy hai điểm A và B nằm cùng phía đối với mp(P)

- Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp(P)

- Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng BA’

Với mp(P)

- Lấy điểm M’ bất kỳ trên mp(P) , chứng minh :

MA + MB < M’A + M’B

Bài 10: Giải hệ phương trình :



























3 1

2 log

3 log

2 2 2

2

8 2

y x y

x

y x y

x

Lời giải :

Điều kiện :

) P

C M

B

H

A' A

Trả lời hpt có một nghiệm

Bài 11 : Cho khai triển

8 log

5

1 log

1 1 3 2 7

1 9

















  



x

Hãy tìm các giá trị của x, biết rằng số hạng thứ 6 trong khai triển là 224

Lời giải :

Đặt : = a ; = b Thì a5 = ; b2 =

Số hạng thứ 6 trong khai triển (a + b)8 là

Theo giả thiết: Số hạng thứ 6 trong khai triển là 224 ta có :

.Đặt t = > 0 hì phương trình trở thành : t2 – 4t + 3 = 0 ,phương trình này có hai nghiệm t1= 1 , t2= 3

-Với t = 1 : = 1 x – 1 = 0 x = 1

-Với t = 3 : = 3 x – 1 = 1 x = 2

Trả lời : Phương trình có hai nghiệm : x = 1 , x = 2

Bài 12: cho biểu thức

n x x





















2 3

3

1

2

4 2

2

Tìm x biết  















240 9

1 log

3 log

5 3

1 3

T T

C

với T 3,T5 là số hạng thứ 3 và thứ 5 trong khai triển nhị thức đã cho

LỜI GIẢI :

- Giải pt (1) : - = 1

n = 6

- Bài toán trở thành : Gọi T3,T5 là số hạng thứ 3 và thứ 5 trong khai triển nhị thức :

6 Tìm x biết rằng các số hạng thứ 3 , thứ 5 là T 3, T 5 thỏa mãn phương trình (2) : 9T3 – T5 = 240 9 a2b4 - a5 b = 240

(Vì trong khai triển (a + b)6

thì số hạng thứ ba,thứ năm là :T3= a2b4 ,T5 = a5b)

- Do đó :

- Đặt : = a , = b thì:

Bài 13:

2 tan x

1

2

t

dt dx



 Làm sao biến đổi được như vậy thầy?

Giải thích : Khi đổi biến số , đặt t = g(x) Lấy vi phân hai vế Vế trái đạo hàm theo biến số t , nhân với dt Vế phải thì đạo hàm theo biến số x , nhân với dx

- Trường hợp cụ thể : Đặt t = tan thì : dt = ( tan )’dx dt = (1 + tan2 )dx

Do đó dx = Chú ý: (tanu)’ = u’(1 + tan2

u)