Bất đẳng thức trong kỳ thi thử đại học 2012

Bài 37.Cho và Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của : Đề thi thử lân 2 trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn Lời giải Ta có đánh giá sau: Bài 38.Cho ba số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn

Chuyên đề

BẤT ĐẲNG THỨC

HÀNH TRÌNH CỦA MƠ ƯỚC

NGÔ HOÀNG TOÀN LỚP YD-K38

ĐẠI HỌC Y DƯỢC CẦN THƠ

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2  a n

Tuy nhiên,khi giải toán ta hay quan tâm nhiều đến trường hợp n 2và n 3.Mà ta thường được biết đến dưới phát biểu:

1 Cho a b , 0.Khi đó ta có: a b 2 ab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b

Bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng khác tương đương là:

2 2

a b c   abc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Bất đẳng thức này còn có một số ứng dụng khác khá phổ biến như sau:

Với mọi số thực a b c, , ta luôn có:

II Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

Với hai bộ số thực tùy ý a a1, 2, ,a nvà b b1, , ,2 b nta có :

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2

1 2

n n

Phần 2.TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC KÌ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC GIAI ĐOẠN 2007-2012

Bài 1.Cho x y z, , là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn xyz 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x y z y z x z x y P

Bài 2.Cho x y z, , là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Suy ra:Giá trị nhỏ nhất của P là 9

2.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x yz1

Bài 3.Cho ab0.Chứng minh rằng: 2 1 2 1

 

f x

 là hàm nghịch biến trên khoảng 0;

Do f x  nghịch biến trên khoảng 0;.và ab0nên f a  f b .Điều phải chứng minh

Bài 4.Cho x y, là hai số thực thay đổi thỏa mãn 2 2

Bài 5.Cho x y, là các số thực không âm Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của:

f t   t t  t với 2  t 2

Ta có bảng biến thiên từ đó suy ra giá trị lớn nhất của 13

  Suy ra điều phải chứng minh

Bài 8.Cho các số thực thay đổi x y, thỏa mãn xy34xy2.Tìm giá trị nhỏ nhât của biểu

A t  t

Xét hàm số   9 2

2 14

Mà 0ab1,nên f a  f b .Suy ra điều phải chứng minh

Bài 10.Cho các số thực không âm x y, thỏa mãn xy1.Tìm giá trị lớn nhât và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  2  2 

S  x  y y  x  xy

Đề thi đại học khối D-2009

Lời giải

Suy ra f t là hàm đồng biến nên f t  f  0 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2 xảy ra khi a b c ; ;  1; 0; 0 , 0;1; 0 , 0; 0;1    

Bài 13.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Px5y5z5

Đề thi đại học khối B-2012

Phần 3.NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG

THỨC TRONG KÌ THI THỬ 2012

Chương I.CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG

ĐỀ THI THỬ CỦA CÁC TRƯỜNG

Bài 1 Cho các số thực x y z , , 1thỏa mãn xyz 1 Chứng minh rằng:

Vậy thì ta có được điều phải chứng minh

Bài 2.Cho các số thực a b c , , 0,1  Chứng minh rằng:

  

 2

41

Khảo sát hàm số trên ta được f a  f  1 1

Từ đây suy ra M max 1khi abc1

Bài 5.Cho hai số dương x y, thỏa mãn 2 2

12x 5y 5.Chứng minh rằng:

1 72

Đề thi thử trường THPT chuyên LươngVăn Chánh

Lời giải

Ta có:P x z 3y 3 3y 1



     đến đây ta khảo sát là xong

Bài 7.Cho x y, v x yà , 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bất đẳng trên tương đương với : 2 2  2

Hay      

2 2

Từ    1 , 2 suy ra điều phải chứng minh

Bài 10.Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c  1

Bài 12.Cho các số dương a b c m n p, , , , , thỏa mãn am b n c pk

Bài 14.Xét các số thực dương x y, thỏa mãn điều kiện xy1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2 2 4

2 2 4

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

Bài 18 Cho hai số a b, thỏa mãn 0ba4 b Chứng minh rằng :ln 7 ln 2

Suy ra f t  f  1  2 điều phải chứng minh

Bài 19 Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa ab bc ca  3abc Tìm giá trị nhỏ nhất của :

33

Từ đó có điều phải chứng minh.

Bài 23.Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c  3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Đến đây ta khảo sát hàm số tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 24.Cho các số thực dương a b c d, , , sao cho tổng bình phương của chúng bằng 4.Chứng minh rằng: 3 3 3 3

2

a a b

b c c g

a b b P

2 2( )

6

P P

Điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi  ab c 1

Bài 27: cho các số thực dương a b c, , Chứng minh rằng: 3

Chuyển ( ; ; )x y z ( ;1 1 1; )

x y z



Bài toán được viết lại thành:

Với x y z, , 0 àv xyz1.Chứng minh rằng : 2 2 2 1

    hiển nhiên đúng theo AM-GM

BÀI 29.Cho các số thực x y, thỏa mãn 2 2

Bài 30 Cho các số thực không âm a b c, , thỏa mãn a b c  0.Tìm giá trị nhỏ nhất của

P      

Đề thi thử trường THPT Bình Phú- Thái Nguyên

ax b y cz xyz khi đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về dạng:

Cho xyz 1tìm giá trị lớn nhất của :

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:xyz 1 abc1

Bài 35.Chứng minh rằng với mọi số thực dương a b c, , ta có:

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi: a b c 

Bài 36.Cho hai số a b , (0;1)và ab Chứng minh rằng:

Bài 37.Cho và Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của :

Đề thi thử lân 2 trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn

Lời giải

Ta có đánh giá sau:

Bài 38.Cho ba số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của:

Đề thi thử chuyên đại học sư phạm Hà Nội lần 4

Theo điều kiện bài toán thì:

Từ đây ta suy ra giá trị lớn nhất của P

Bài 40.Cho là các số thực không âm thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhât của :

Đề thi thử trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn- Đà Nẵng

Lời giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có :

Do

Bài 41.Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của :

Đề thi thử lần 2 trường chuyên Phan Bội Châu Nghệ An

Lời giải

Sử dụng trực tiếp AM-GM ta được:

Bài 42.Chứng minh rằng với các số thực dương thỏa mãn ,ta có :

Đề thi thử trườngTHPT Đông Hưng Hà

Lời giải

Sử dụng AM-GM ta được:

Từ giả thiết ta có : từ đó suy ra điều phải chứng minh

2 os98

2 os9

Bài 45.Cho Chứng minh rằng

Đề thi thử THPT Chuyên Hưng Yên

Bài 48.Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Đề thi trường THPT Ngô Gia Tự -Vĩnh Phúc

Theo AM-GM ta có :

Đặt ta khảo sát hàm số

Bài 49 Cho là các số thực Chứng minh rằng:

Đề thi thử THPT Mai Thúc Loan-Hà Tỉnh



Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài 50.Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Đề thi thử Trường THPT chuyên Nguyễn Tất Thành- Yên Bái

Lời giải

Từ giả thiết ta có :

Đặt ta có :

Khảo sát hàm với ta được

Bài 51.Cho là ba số thực dương thỏa mãn và Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Đề thi thử lần 1 trường THPT Đa Phúc

Sử dụng Cauchy-Schwarz ta được:

Bài 52.Cho các số thực Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Đề thi thử lần 2 chuyên đại học Vinh

Bài 53.Cho ba số thực thỏa và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Đề thi thử trường THPT Chuyên Lí Tự Trọng Cần Thơ

Lời giải Đặt

Vậy khi

Bài 55.Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Đề thi thử lần 2 Trường THPT chuyên HùngVương-Việt Trì-Phú Thọ

Lời giải

Vì nên

Sử dụng Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có:

Suy ra giá trị nhỏ nhất của S là 3

Bài 56.Cho và Tìm giá trị lớn nhất của:

Sử dụng AM-GM ta có:

Do đó :

Vậy

Bài 57 Cho là các số thực thỏa

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Đề thi thử đại học trường THPT Thuận Thành 3

3 xyyzxz3 (xyz)

Bài 59.Cho Chứng minh rằng :

Đề thi thử trường THPT Lương Văn Chánh –Phú Yên lần 2

Mà

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 60.Cho các số thực thỏa mãn Chứng minh rằng:

Đề thi thử trường THPT Tây Thụy Anh –Thái Bình

Lời giải

Từ giả thiết ta có :

Từ đó

Vậy

Bài 61.Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Đề thi thử trường THPT Đông Thụy Anh –Thái Bình

Ta có đánh giá sau:

Suy ra:

Theo đánh giá trên ta được:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Bài 62.Cho các số thực không có hai số nào đồng thời bằng 0.Chứng minh rằng:

Đề thi thử trường THPT Nguyễn Đức Mậu-Nghệ An

Ta xét trường hợp khi cả ba số đều dương thì ta có:

Điều phải chứng minh

Bài 64 Cho các số thực dương thỏa Tìm giá trị lớn nhất của:

Đề thi thử trường THPT Chuyên Lam Sơn -Thanh Hóa

x y y z z x

Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau:

Bài 66.Cho là các số thực dương thỏa mãn : Chứng minh rằng:

Thpt Trần Hưng Đạo –Hưng Yên

Lời giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với :

Ta có:

2 3 2

03

.Từ đó dễ dàng suy ra điều phải chứng minh

Bài 67.Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Đề thi thử đại học lần 2-THPT Tỉnh Gia 1-Thanh Hóa

Lời giải

Từ giả thiết ta suy ra:

Ta có:

Tương tự cho các biểu thức còn lại rồi cộng lại thì ta có:

Đẳng thưc xảy ra khi:

Bài 68.Cho hai số thực dương Chứng minh rằng:

THPT Ngô Gia Tự,Vĩnh Phúc

Lời giải

Bình phương hai vế ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:

Mà

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh

Bài 69 Cho là ba số thực dương.Chứng minh rằng:

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh

Đẳng thức không xảy ra được nên

Bài 70.Cho các số thực dương thỏa mãn:

Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của khi

Bài 71.Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Đề thi thử THPT Lê Quí Đôn –Bình Định

Lời giải:

Sử dụng kết quả quen thuộc sau :

Suy ra:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Bài 72.Cho các số thực thỏa mãn Chứng minh rằng:

Đề thi thử THPT Công Nghiệp Hòa Bình

Theo AM-GM thì : hay Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài 73.Cho Chứng minh rằng:

Đề thi thử THPT Lê Văn Thịnh

Lời giải

Đặt rồi bình phương hai vế ,ta có bất đẳng thức tương đương với:

sử dụng bất đẳng thức xếp lại cho hai dãy số:

Ta khảo sát hàm số sau: tìm được giá trị nhỏ nhất của P

Bài 75.Cho là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của :

Đề thi thử lần 2 Quốc học Huế

164

Bài 77.Cho các số thực thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đề thi thử lần 4 THPT Nguyễn Huệ

Đề thi thử chuyên Thái Bình lần 5

Xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có :

Bài 81.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : trên đoạn

Đề thi thử lần 2 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn- Bình Định

Bài 82:Cho Chứng minh rằng:

Đề thi thử THPT Lê Doãn Nhã-Nghệ An-lần1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

Bài 83.Cho các số thực không âm khác nhau từng đôi một thỏa mãn

Giả sử Từ đó ta có :

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

Đúng theo AM-GM.Suy ra điều phải chứng minh

Bài 84.Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Đề thi thử đại học sư phạm Hà Nội lần 7

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Bài 85.Cho là ba số lớn hơn Chứng minh rằng:

Đề thi thử đại học khoa học tự nhiên Hà Nội lần 3

Đề thi thử đại học sư phạm Hà Nội lần 2

Ta có: ,nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

12

22

2 2

2 2

2 2

3 3 3

x zx z z yz y y xy x z y x

;

3111

;

311

1

3 3 3

3 3

3

zx x

z yz z

y xy y

.333322

2

3 3 3

zx yz xy z

y

.11

13

33

x zx z z yz y y xy x zx yz xy

b a b

yz y yz y

xy x xy zx yz xy

P

Mặt khác, áp dụng BĐT với ta có

Do đó Dấu đẳng thức xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9, đạt được khi

Bài 88.Cho là các sô thức dương thỏa mãn Chứng minh rằng với mọi Ta luôn có:

Đề thi thử đại học trường THPT Thuận Thành số 2-lần 2

Lời giải

Chứng minh như sau

Bằng biến đổi đơn giản ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng

với mọi và Thật vậy:

Với

.123.4

9.3.16)222

(

9.3

16

)()()(

3

16)(

16)

(

16)

(

16

12

141

2

141

2

1

4

44

42

22

2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

2

2 2 2 2 2 2

x z z y y x x

z z y y

x

x z zx z

y yz y

x xy

x z z y y x zx yz xy

,411

b a b

a   a,b0

9



.1

Với

Bổ đề được chứng minh

Áp dụng bổ đề trên và ta có điều phải chứng minh

Bài 89.Cho là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Suy ra điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi

Bài 91.Cho các số thực và Chứng minh rằng:

Đề thi thử trường THPT Huỳnh Thúc Kháng

Lời giải

Bài 92.Cho và là các số tự nhiên lớn hơn 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của

Đề thi thử trường THPT Nguyễn Quang Diêu Lần 3

Bài 93.Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng:

Đề thi thử THPT Vĩnh Bảo –Hải Phòng

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức lại suy ra điều phải chứng minh

Bài 94.Cho là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đề thi thử THPT Đào Duy Từ -Thanh Hóa

Kết hợp với điều kiện suy ra

Ta có:

Khảo sát trên ta thu được khi

Bài 95.Cho là các số thực dương thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Đề thi thử trường THPT Trung Giã lần 2

Lời giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,ta có:

Từ đó suy ra

Tiếp đến ta chứng minh hai bất đẳng thức sau đây:

dễ thấy bất đẳng thức thứ nhất đúng.Ta chứng minh bất đẳng thức thứ hai

Hay là

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

Vì thế mà

Từ đó ta có đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Bài 96.Cho các số thực Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Đề thi thử THPT Trung Giã

Lời giải

Tương tự như vậy ta có:

Vậy khi và chỉ khi

Bài 97.Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Đề thi thử THPT Đoàn Thượng

Tương tự, cộng lại ta được

Điều phải chứng minh

Bài 98 Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2( ) 161

x y Bài 99 Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn: 2 2 2

3

x y z  x 2 + y 2 + z 2  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1

Bài 100 Cho a b c d, , , là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện:

P

O I

J

1

Vì IJ 5 2 RR'7,nên nếu gọi M, P, N, Q lần lượt là các giao điểm của d với hai đường

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Axyz

Đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa

Lời gải

Đặt xa, y 1 bvà z2cthì ta có:

2 2

1

11

Bài 103.Cho các số thực a b c d, , , thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2

5

a b c d 

Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của A 5 a 2b 5 c 2d  5ac bd

Đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa lần 2

Ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2 5

2

Bài 104.Cho a b c, , là các số thực tùy ý lớn hơn 1.Chứng minh rằng:

log (a bc) log ( b ca) log ( c ab)4(logab clogbc alogca b)

Đề thi thử Chuyên Quốc Học Huế

Lời giải

Ta có với x y , 0thì:1 1 4

x y  xy

Trở lại bài toán ta có : log ( ) log ( ) log (a bc  b ca  c ab)

(loga b logc b) (logc a logb a) (loga c logb c)

Xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại

Bài 105.Cho x y z ,  ,  0và xy z xyz Chứng minh rằng:

Vì f t là hàm nghịch biến trên [27;]ta được VT 0.Đẳng thức xảy ra khi

Bài 109 Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn abcd 1 Chứng minh rằng:

12(a b 1) c d 2(b c 1)da2(cd1) a b2(d a 1) b c 

Đề thi thử THPT Đoàn Thượng

Chương 2.CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG

CÁC ĐỀ THI THỬ CỦA CÁC DIỄN ĐÀN

Bài 110.Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn 8 8 8

4 4 4

8 8 8

33

Bài 111.Cho a b c, , là các số thực đôi một khác nhau.Chứng minh rằng:

Đề thi thử diễn đàn boxmath.vn lần 2

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 112.Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn 2 2 2

26

a b c  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :T abc 32b 45c

Đề thi thử diễn đàn boxmath.vn lần 3

Đẳng thức xảy ra và chỉ khi :x yz1hay a1,b3,c4

Bài 113.Cho a b c , , 0; 2và abc 3.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy giá trị lớn nhât của P là 2067 khi a1;b2;c0.

Bài 114.Với mọi số thực ,x ythỏa mãn điều kiện  2 2

7

'

t t P

Bài 116.Cho a b , 1là các số thực dương thay đổi thỏa mãn 1 1 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 133

26 ,dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3

2 2

2

2 2

2

02

suy ra: 2

2

1

P z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pxy z 9xyz

Đề thi thử diễn đàn boxmath.vn lần 11

t

f t   t với t 3