tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học môn toán hay

2 Xác định m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.. 2 Tìm m để đồ thị hàm số 1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm có hoành độ dương... 1 Tìm tọa độ cá

SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Định m để hàm số :

1) f(x) =

3

1

x3 - 2

tăng trong từng khoảng xác định của nó

CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU

Bài 1 : Định m để các hàm số sau đây có cực trị :

4/y =

2

1 3

Bài 2: Định m để hàm số đạt cực trị tại điểm x0

x m

x đạt cực đại tại x0 = 2

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

x x

x

10/ y = 4cos2x + 3sin2x + 7

11/ y = 2 sin x + 4 cosx – 3

12/ y =

1coscos

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ NHỮNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN

BÀI 1 : Cho hàm số : y = – x3 + 3x + 1 (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x + m = 0.3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng (d): y = –9x + 1

BÀI 2 : Cho hàm số y = x3 – (m + 2)x + m , m là tham số

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với giá trị m = 1

2) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C)

3) Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = k

4) Tìm m để phương trình : x3 – 3x + 6 – 2–m có 3 nghiệm phân biệt

5) Dựa vào đồ thị (C) tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 1 – cos2xsinx – 2sinx

BÀI 3 : Cho hàm số : y = –x3 + 3x – 2 có đồ thị (C)

1) Khảo sát hàm số

2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x3 – 3x + m + 1 = 0

BÀI 4 : Cho hàm số : y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1 (Cm)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

2) Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định

3) Xác định m sao cho hàm số có một cực đại và một cực tiểu.

BÀI 5 : Cho hàm số y = x3 – 3x 2 + 3mx + 3m + 4, có đồ thị (Cm).

1) Xác định m để hàm số có cực trị

2) Xác định m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

3) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

BÀI 6 : Cho hàm số y = 3x2 – x3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Gọi I là điểm uốn của đồ thị (C) và A là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 3 Viết phươngtrình các tiếp tuyến của (C) tại I và A Tìm tọa độ giao điểm B của hai tiếp tuyến này

BÀI 7 : Cho hàm số : y = x3 – (m + 3)x2 + mx + m + 5 (Cm)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 0

2) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

3) Giá trị nào của m thì trên đồ thị (Cm) có 2 điểm đối xứng với nhau qua O

BÀI 8 : Cho hàm số y = x3 – 3x – 1 (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Dùng đồ thị (C), biện luận theo số m số nghiệm của phương trình : x3 – 3x – 1 – m = 0

BÀI 9 : Cho hàm số : y = x3 + 3x2 – 2

a) Khảo sát hàm số trên, đồ thị gọi là (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua tại điểm có hoành độ x = 2

BÀI 10 : Cho hàm số y = 14 x3 – 3x có đồ thị (C)

1) Khảo sát hàm số

2) Cho điểm M thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 2 3 Viết phương trình tiếp tuyến của(C)

tại M

BÀI 11 : Cho hàm số: y = –x3 + 3mx2 + 3(1 – m2)x + m3 – m2 (1) (m là tham số)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

2) Tìm k để phương trình : -x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = 0 có ba nghiệm phân biệt

3) Viết ph trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

BÀI 12 : Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m (1) (m là tham số)

1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2

BÀI 13 : Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = x 31

2

m x 3



 (m là tham số)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2

2) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng –1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M

song song với đường thẳng 5x – y = 0

BÀI 14 : Cho hàm số y = –x3 + 3x2 – 3 (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng các tiếp tuyến này vuông góc với đt y =

BÀI 15 : Cho hàm số : y = (x – m)(x2 – 2x – m – 1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

2) Tìm tất cả giá trị m sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ điểm cực đại xCĐ,

hoành độ điểm cực tiểu xCT thỏa :  xCĐ xCT = 1

BÀI 18 : Cho hàm số : y = – x3 + 3x + 2 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2) Tìm m để phương trình : x3 – 2x + 2m – 6 = 0 có 3 nghiệm phân biệt

B HÀM TRÙNG PHƯƠNG y = ax 4 + bx 2 + c (a¹ 0)

BÀI 1 : Cho hàm số : y = – x x 49

4



1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

2) Vẽ và viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại tiếp điểm có hoành độ

x = 1

3) Tìm a để Parabol (P) : y = –x2 + a tiếp xúc (C) Viết phương trình các (P) đó và xác định

các tiếp điểm của chúng

BÀI 2 : Cho hàm số y = x mx 23

2



 có đồ thị (C)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3

2) Dựa vào đồ thị (C), hãy tìm k để phương trình k

2

3 x x 2

BÀI 3 : Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1 có đồ thị (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

x4 – 2x2 + 1 –m = 0

3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; 1)

BÀI 4 : Cho hàm số y = (2 – x2)2 có đồ thị (C)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

x4 – 4x2 – 2m + 4 = 0

BÀI 5 : Cho hàm số : y = (m + 1)x4 – 4mx2 + 2, đồ thị là (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2) Định m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

BÀI 6 : Cho hàm số : y = x4 + (m – 1)x2 – 3 (Cm)

1) Khảo sát hàm số khi m = –1, gọi đồ thị là (C)

2) Định m để đường thẳng y = –4 cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt

BÀI 7 : Cho hàm số y = – x4 + 2x2 + 3 có đồ thị (C)

1) Khảo sát hàm số

2) Dựa vào đồ thị (C), hãy xác định các giá trị m để pt x4 – 2x2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt

Câu 8 : Cho hàm số: y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 (m là tham số) (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

2) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị

3 HÀM SỐ HỮU TỈ BẬC 1/1: y ax b ad( bc 0)

1) Khảo sát hàm số

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho khi –2  x  0

BÀI 10 : Cho hàm số :

1 x

1 x y





 , có đồ thị là (C)

1) Khảo sát hàm số

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho khi 0  x  3

4) Tìm các điểm trên (C) của hàm số có tọa độ là những số nguyên

BÀI 10 : Cho hàm số y xx 12







1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng d có phương trình : y = x + m.3) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m.4) Trong trường hợp (C) và d cắt nhau tại hai điểm M, N tìm tập hợp các trung điểm I củađoạn thẳng MN

BÀI 11 : Cho hàm số : y = 24x

1) Khảo sát sự biến và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = k

BÀI 12 : Cho hàm số : y x44



1) Khảo sát hàm số trên (đồ thị là (C) )

2) Viết p trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ là 3

BÀI 13 : Cho hàm số : y = xmx2m1



(Cm)1) Định m để hàm số đồng biến trong từng khoảng xác định của nó

2) Khảo sát hàm số khi m = 1, gọi đồ thị là (C)

BÀI 17 : Cho hàm số : y =

1 x

1 x



(1), có đồ thị (C)

1) Khảo sát hàm số (1)

2) Xác định m để đường thẳng d : y = 2x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho các

tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau

3) Tìm tất cả các điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm

cận của(C) ngắn nhất

BÀI 18 : Cho hàm số y = xx 12



 (1), có đồ thị (C)1) Khảo sát hàm số (1)

2) Chứng minh đường thẳng (d) : 2x + y + m = 0 luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân

biệt thuộc (C) Định m để khoảng cách AB ngắn nhất

4 HÀM SỐ HỮU TỈ BẬC 2/1: y Ax2 Bx C

+ (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đơn điệu trên MXĐ

4.3 Giới hạn và tiệm cận

+  yaxb là tiệm cận xiên

4.4 Bảng biến thiên và đồ thị tương ứng

AD > 0 và hàm số có hai cực trị

AD < 0 và hàm số có hai cực trị

AD > 0 và hàm số không có cực trị

AD < 0 và hàm số không có cực trị

4.5 BÀI TẬP

BÀI 1 : Cho hàm số : y =

2 x

3 x

1) Khảo sát hàm số trên, từ đó suy ra đồ thị hàm số : y = x2 x3x23

2) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C), biết rằng d vuông góc với đường thẳng d’ : 3y – x +

 , có đồ thị là (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2) Tìm trên đồ thị (C) tất cả các điểm mà hoành độ và tung độ của chúng đều là số nguyên

3) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A 

21

; 5 13

4) Tìm tất cả các giá trị của m để tồn tại duy nhất một số thực x  (–3 ; 1) là nghiệm của

phương trình : x2 – (2m + 1)x + 2m + 4 = 0

BÀI 3 : Cho hàm số

2 x

3 x x y 2







1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và 2 trục tọa độ

3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại 2 giao điểm (C) cắt trục hoành

BÀI 4: Cho hàm số y xx2 3x1





1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = –

3x + 3

3) Biện luận theo tham số m số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (D) : y = –2x + m

4) Tìm trên đồ thị (C) các điểm M cách đều 2 trục tọa độ

BÀI 5 :của hàm số

1 x

x



1) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị (C)

2) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi (C), đường tiệm cận xiên của (C) và hai đường

thẳng có phương trình : x = –2, x = –1

3) Tìm k để đường thẳng (d1) : y = kx + 1 cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh phân biệt

4) Tìm k để đường thẳng (d2) : y = kx + 1 cắt (C) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh

BÀI 6 : Cho hàm số y =

1 x

1 m 3 x ) 4 m (

nó

2) Định m để tiệm cận xiên của (Cm) đi qua điểm B(1 ; 2)

3) Khảo sát hàm số khi m = 2 Gọi đồ thị là (C)

4) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiệm cận xiên của (C), trục tung và đường thẳng

2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo tham số k nghiệm của phương trình : x2 + (2k + 3)x –2k = 0

3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A 

1

; 0

BÀI 8 : Cho hàm số :

1 1 x 2

5 x x

5 m 4 m x ) 4 m ( x

các tiệm cận tương ứng của đồ thị hàm số khảo sát trên

BÀI 11 : Cho hàm số: y x2(x x1) 3

1) Khảo sát hàm số (1)

2) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1

BÀI 12: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = mx +

x

1 (m là tham số)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 41

2) Tìm m để h/s có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng

1 m x ) 1 m (

4 x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), đường tiệm cận xiên của (C) và hai đt x = 2, x =

m (m > 2) Tìm m để diện tích này bằng 3

Bài 15: Cho hàm số: y mx2x x1 m







1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = –1

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm có hoành độ dương

Câu I : (2 điểm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( 1 )

2 x

4 x x

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) C, C+ Ỵ ¡ cũng là nguyên hàm của f(x) Do

đó nếu f(x) có một nguyên hàm thì sẽ có vô số nguyên hàm (họ nguyên hàm) khác nhau hằng số C.

Mọi hàm số liên tục trên khoảng (a; b) (hoặc đoạn [a; b]) thì có nguyên hàm trên khoảng

(hoặc đoạn) đó

Định lý 2

Nếu u =u(x) và f(x)dxị =F(x)+C thì f(u)duị =F(u)+C

4 Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng

Cx

Cu

(sin x cosx)

=

+19/ f(x) 5sin x2 23cotg x2

25/ 2

1f(x)

=

cosxf(x)

1xxx)

f(x)dx=F(b)- F(a)=F(x)

ị

(công thức Newton - Leibniz).

+ Hàm số f(x) được gọi là hàm dưới dấu tích phân

+ f(x)dx là vi phân của mọi nguyên hàm của f(x)

+ a là cận dưới và b là cận trên của tích phân (a có thể lớn hơn hay bằng b)

+ x là biến số tích phân

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hàm số x = u(t) thỏa các điều kiện:

1/ x = u(t) có u (t) liên tục trên đoạn / [a b; ]

2/ Hàm số hợp f[u(t)] xác định trên đoạn [a b; ]

3/ u( )a =a, u( )b =b

thì

b

/ a

DẠNG 1 : Tính tích phân bằng định nghĩa

PP : Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng hiếu các hàm số có nguyên hàm

Bài 1 : Tính các tích phân :

x

x x

x x

x x

x

4 3

3

x x

3 1Bài 3 : Tính các tích phân :

1/

2

0

cos3cos



xdx x

3/

2

0

3sincos



xdx x





dx x x



dx x x

x

x

e e

x

cos3(

DẠNG 2 : Phương pháp đổi biến dạng 2

* Aùp dụng cho những tích phân có dạng 

b

a

dx x u x u

f[ ( )] ' ( ) ( trong đó u(x) là hàm số biến x)

*Phương pháp:

+ Đặt t = u(x)  dt = u’(x)dx

+ Đổi cận : Khi x = a t = u(a), khi x = b  t= u(b)

) (

) (

)(

b u

a u

dt t f

*Chú ý : Thường đặt u là căn, mũ, mẫu, mập.

Bài 1 :Tính các tích phân :

1/ 

 8

x

1 0

8

 1

Bài 2 : Tính các tích phân :

e x

x

dx e

e

x x

2

6 3

x

9/ 



2 ln 2 2

3

cossin

sin



dx x x

x x

x

3 3

3

cos sin

cos



2 ln 0

x

x e e dx

DẠNG 3 : Phương pháp tích phân từng phần

* Aùp dụng cho những tích phân có dạng 

b

a

dx x v x

u( ) ' ( ) ( trong đó u(x), v’(x) là những hàm số biến x)

) ( ' ) (

ta có 





 ) ( ) ( '

x v v

dx x u du

Khi đó 

b

a

dx x v x

a

x v x

u( ) ( ) -

b

a

dx x v x

u' ( ) ( )

*Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, …

- Sau khi đặt u, toàn bộ phần còn lại là dv

Bài tập : Tính các tích phân sau :

sin





dx x



0 2 cos

sin

dx x

x x

1

0

2 ) 1 ln( x dx

e

dx x

0

2 )

x x

1

2

)ln1

e

e

dx x

1 ln

) 1 ln( x dx

x x

1

2

DẠNG 3 : Phương pháp đổi biến dạng 1

* Aùp dụng cho những tích phân có chứa các biểu thức a 2 x2 , 2 1 2

0

2 2 2

dx

4/  x  x dx

1 0

 3 0 2 9

BÀI TẬP ÔN TẬP

1)  

1

0

2 2

dxx4

9

1

x 3

dxe

2 0

5

sin)3

e

1

e 1

2)lnxdxx

lnx

8) 

e

e 1

.x



xdx tg

e

xdx x

dx x x



dx x

2 2x 3 dx x

22)  



0

2 sin

2 dx 2 x

1 x



dx x x



s x



35) 

 1 0

3 dx ) 1

3

dxsin

2 0

2 x dx x

sin21



dx x

x

π

0 x.sin2xdx

46) 1 

0

2 1 dx x



s x

3414

2 2

2 sin xdx xsin xdx

1 0

2 27

4 )

1 (

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

BÀI 1 : Tính diện tích hình phẳng:

1) Giới hạn bởi (P): y = x2 và 2 tiếp tuyến phát xuất từ A (0, -2)

2) Giới hạn bởi (C ) : y =

3) Giới hạn bởi : y2 = 4x và đường thẳng 2x – y – 4 = 0

4) Giới hạn bởi : y = x và y = sin2x + x (0  x  )

5) Giới hạn bởi y = x3 – 3x2 + 2x ; y = 0

6) Giới hạn bởi y = x2 – 2x ; y = x + 4

7) Giới hạn bởi : y 2 = 2x và 27 y2 = 8 ( x- 1)3

8) Giới hạn bởi các đường :

y = x +1 ; y = x3 – 3x2 + x + 1

9) Giới hạn bởi y = x2 – 4x + 3 ; y = x – 1 ; x = 0 ; x = 2

10) Giới hạn bởi y2 = x ; y = – x + 2

11)Giới hạn bởi y 2x2 x102x 12







BÀI 2 : Cho Parapol (P) Hai điểm A, B di động trên Parapol sao cho AB = 2

a) Tìm quỹ tích trung điểm I của AB

b) Xác định vị trí của A, B sao cho diện tích của phần mp giới hạn bởi parapol và cát tuyến AB đạt giá trị lớn nhất

BÀI 3: Tính thể tìch các hình tròn xoay do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh

6) Cho hàm số y = f(x) được xác định trên đoạn 0 , 3 với : f(x) = 

, 3

2 1

, 1

1 0

,

x x

x x x

a/ Vẽ đồ thị hàm số y = f (x)

b/ Tính diện tích của hình (H) chắn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox

c/ Tính thể tích khối tròn xoay gây nên bởi hình (H) khi quay quanh Ox

7) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bằng các đường sau đây quay xung

quanh trục Ox : y = x2 – 1 và y = 0

BÀI 4 : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi cácđường : x = –1 ; x = 1 ;y = 0 ; y = x2 – 2x

2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bằng các đường sau đây quay

xung quanh trục Ox : y = x2 – 1 và y = 0

BÀI 6 :

1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x2 + 2x +1 ; y = –

x

2 và x = –

2 12) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi các đường sau đây quay xung quanh trục Ox :

x = 0 ; x =

2

 ; y = 0 ; y = x sin x

HÌNH HỌC PHẲNG A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

VẤN ĐỀ 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

r r

VẤN ĐỀ 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

1 Phương trình đường thẳng

a) Phương trình tổng quát

Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) có dạng Ax + By + C = 0 A( 2 + B 2 > 0)

1) ar = - ( B; A) hoặc ar = (B; A) - là vectơ chỉ phương (VTCP) của (d)

2) nr = (A; B) là vectơ pháp tuyến (VTPT) của (d)

3) (d) đi qua M (x ; y ) 0 0 0 và nr = (A; B) thì (d): pt(d) : A(x - x ) 0 + B(y - y ) 0 = 0

b) Phương trình tham số (ptts)

(d) đi qua M (x ; y ) 0 0 0 và có VTCP ar = (a ; a ) 1 2 thì 0 1

-= , với quy ước x - x 0 = 0.

d) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

e) Phương trình đoạn chắn

Cho (d) đi qua A(a; 0), B(0; b) (a ¹ 0 ¹ b) thì pt(d) : x y 1

a+b =

2 Một số tính chất

Cho hai đường thẳng (d) : Ax + By + C = 0 và (d') : A 'x + B 'y + C ' = 0

a) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

1) (d) cắt (d’) A B 0 AB' A'B

A' B'

Û ¹ Û ¹ Hoặc A 'A ¹ B 'B ( A ' ¹ 0 ¹ B ' )

2) (d) song song (d’) A B 0, B C 0

B' C' A' B'

b) Chùm đường thẳng

Giả sử (d) cắt (d’) tại I, đường thẳng ( ) D đi qua I thì ( ) D thuộc chùm đường thẳng tâm I và

pt( ) : m(Ax D + By + C) + n(A 'x + B 'y + C ') = 0 (m + n > 0)

c) Góc giữa hai đường thẳng

Gọi j , n, n'r ur là góc và VTPT của (d) và (d’), ta có:

n.n' AA ' BB 'cos

3 Một số tính chất khác

Cho hai điểm M (x ; y ), M (x ; y ) 1 1 1 2 2 2 và đường thẳng (d): Ax + By + C = 0, ta có:

1) M 1 hoặc M 2 nằm trên (d)Û (Ax 1 + By 1 + C)(Ax 2 + By 2 + C) = 0.

2) M , M 1 2 nằm khác phía so với (d)Û (Ax 1 + By 1 + C)(Ax 2 + By 2 + C) < 0

3) M , M 1 2 nằm cùng phía so với (d)Û (Ax 1 + By 1 + C)(Ax 2 + By 2 + C) > 0

VẤN ĐỀ 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG

1 Phương trình đường tròn

Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R

a) Phương trình chính tắc (C): (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2

b) Phương trình tổng quát (C): x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0, R = a 2 + b 2 - c

2 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Cho (d): Ax + By + C = 0 và (C) tâm I bán kính R, ta có 3 vị trí tương đối sau đây:

1) (d) tiếp xúc (C) Û d(I; (d)) = R

2) (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt Û d(I; (d)) < R

3) (d) không cắt (C) Û d(I; (d)) > R

3 Vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho (C1) tâm I1 bán kính R1 và (C2) tâm I2 bán kính R2, ta có 5 vị trí tương đối sau đây:

1) (C1) và (C2) ngoài nhau Û I1I2 > R1 + R2

2) (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) Û I1I2 = R1 + R2

3) (C1) cắt (C2) tại hai điểm phân biệt Û R 1 - R 2 < I I 1 2 < R 1 + R 2

4) (C1) tiếp xúc trong với (C2) Û I I 1 2 = R 1 - R 2

5) (C1) và (C2) chứa nhau Û I I 1 2 < R 1 - R 2

4 Phương tích Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 và điểm M0(x0; y0), vẽ cát tuyến

M0AB và tiếp tuyến M0M với (C) ta có phương tích của điểm M0 đối với (C) là:

1) PM / (C) 0 = M A.M B uuuur uuuur 0 0

6 Tiếp tuyến tại điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) thuộc (C)

a) Dạng chính tắc: (x – a)(x 0 – a) + (y – b)(y 0 – b) = R 2

b) Dạng tổng quát: x.x 0 + y.y 0 – a(x + x 0 ) – b(y + y 0 ) + c = 0.

VẤN ĐỀ 4 CÁC ĐƯỜNG CONIC

I ELIP

1 Định nghĩa

Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c và hằng số 2a (a > c > 0).

Tập (E) là một elip nếu M Ỵ (E) Û MF 1 + MF 2 = 2a

1) F1, F2 là 2 tiêu điểm

2) F1F2 = 2c là tiêu cự

3) A1(– a; 0), A2(a; 0), B1(0;–b), B2(0; b) là 4 đỉnh của elip

2 Phương trình chính tắc

Cho elip (E) có hai tiêu điểm F1(–c; 0) và F2(c; 0)

nằm trên trục hoành thì (E) có phương trình chính

Trong đó, b 2 = a 2 – c 2 và a > b > 0.

3 Bán kính qua tiêu điểm

Cho điểm M thuộc 22 22

6 Tiếp tuyến với elip

a) Tiếp tuyến tại điểm M 0 (x 0 ; y 0 )

b) Điều kiện tiếp xúc

Cho đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và elip 22 22

Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c và hằng số 2a (c > a > 0)

Tập (H) là một hyperpol nếu M Ỵ (H) Û MF 1 - MF 2 = 2a

1) F1(– c; 0), F2(c; 0) là 2 tiêu điểm

3 Bán kính qua tiêu điểm

1) M thuộc nhánh phải (xM > 0):

Cho đường thẳng cố định ( D ) và điểm F Ï D ( ) cố định.

Tập (P) là một parapol nếu M Ỵ (P) Û MF = d M, ( D )

1) F(p; 0)

2 là tiêu điểm, ( D ) là đường chuẩn

2) p = d F, ( D )là tham số tiêu

3) O(0; 0) là đỉnh và MF là bán kính qua tiêu điểm của M (M thuộc parapol).

6 Điều kiện tiếp xúc: 2AC = B 2 p.

7 Các dạng parapol khác: y 2 = – 2px, x 2 = 2py, x 2 = – 2py (p > 0).

B BÀI TẬP

BÀI 1 :

1) Cho ABC có M(–1 ; 1) là trung điểm cạnh BC, hai cạnh còn lại có phương trình lần lượt

là (AC) : x + y – 2 = 0, (AB) : 2x + 6y + 3 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của ABC và viết phương trình

cạnh BC

2) Viết phương trình đường tròn (C ) có bán kính R = 2 tiếp xúc với trục hoành và có tâm I

nằm trên đường thẳng (d) : x + y – 3 = 0

BÀI 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình : x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0

1) Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2 ; 4) cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A, B sao cho

M là trung điểm đoạn AB

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến ấy song song với đường thẳng có

phương trình : 2x + 2y – 7 = 0

3) Chứng tỏ đường tròn (C) và đường tròn (C ’) : x2 + y2 – 4x – 6y + 4 = 0 tiếp xúc nhau Viết

phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm

BÀI 3 : Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình : x2 + 4y2 = 4

1) Xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tâm sai của (E)

2) Đường thẳng đi qua một tiêu điểm của (E) và song song với Oy cắt (E) tại 2 điểm M và N

Tính độ dài đoạn thẳng MN

3) Tìm giá trị của k để đường thẳng (D) : y = x + k cắt (E)

4) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) đi qua điểm B(0 ; 2)

BÀI 4 : Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình : 1

4

y 9

x 2 2



1) Xác định tọa độ các tiêu điểm, độ dài các trục của (E)

2) Chứng minh OM2 + MF1.MF2 là một số không đổi với F1, F2 là hai tiêu điểm của (E) và M

 (E)

3) Tìm các điểm M thuộc (E) thỏa MF1 = 2.MF2 với F1, F2 là hai tiêu điểm của (E)

4) Tìm các điểm M  (E) nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông

BÀI 5 : Trong mp Oxy, cho Cho (H) có phương trình : 9x2 – 16y2 = 144

1) Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tính tâm sai của (H)

2) Lập phương trình đường tròn (C) đường kính F1F2 và tìm giao điểm của (C) và (H).

3) Tìm các giá trị của k để đường thẳng y = kx cắt (H)

4) Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H)

BÀI 6 : Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình : 1

4

y 9

x 2 2



1) Xác định tọa độ các tiêu điểm, độ dài các trục của (E)

2) Tìm các điểm M thuộc (E) thỏa MF1 = 2.MF2 với F1, F2 là hai tiêu điểm của (E)

3) Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc (E) ta đều có 2  OM  3

4) Tìm các điểm M thuộc (E) nhìn đoạn F1F2 dưới một góc 60

BÀI 7: Cho Parabol có phương trình (P) : y2 = 8x

1) Tìm tọa độ tiêu điểm của (P) và viết phương trình đường chuẩn của (P)

2) Tìm điểm M trên (P) cách tiêu điểm F một đoạn bằng 10

3) Chọn điểm M tìm được có tung độ dương Tìm điểm A trên (P) sao cho AFM vuông tại F.4) Biện luận theo m số giao điểm của (P) với đường thẳng y = x + m Khi đường thẳng y = x +

m cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N Hãy tìm tập hợp các trung điểm của đoạn MN

BÀI 8 : Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình : 4x2 + 9y2 = 36

1) Xác định tọa độ các tiêu điểm, độ dài các trục của (E)

2) Cho thêm elip (E ’) : y 1

1) Tìm tập hợp các điểm của mặt phẳng không thuộc bất kỳ đường thẳng nào của họ

2) Chứng minh rằng mọi đường thẳng của họ đều tiếp xúc với một đường tròn cố định

BÀI 10 :1)Lập ph trình các cạnh của  ABC, biết đỉnh A(1 ; 3) và hai đường trung tuyến xuất phát

từ B và C có ph.trình là: x– 2y +1= 0 và y –1= 0

2) Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm : A(2 ; 2), B(3 ; 3), C(4 ; 2)

a) Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn xuất phát từ gốc tọa độ

BÀI 11 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y2 = 8x

1) Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của (P)

2) Viết p.trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M thuộc (P) có tung độ bằng 4

3) Giả sử đường thẳng (d) đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x2, x2 Chứng minh:AB = x1 +x2 + 4

BÀI 12 : Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) : 9x2 + 25y2 = 225

1) Viết phương trình chính tắc và xác định các tiêu điểm, tâm sai của (E)

2) Một đường tròn (T) có tâm I(0 ; 1) và đi qua điểm A(4 ; 2) Viết phương trình đường tròn và chứng tỏ (T) đi qua hai tiêu điểm của (E)

3) Gọi A, B là 2 điểm thuộc (E) sao cho OA  OB Chứng minh rằng : 2 OB 2

1 OA

1

 có giá trị không đổi

BÀI 13:

1) Cho ABC có đỉnh A(2 ; –1) và hai đường phân giác trong của góc B, góc C có phương

trình lần lượt là (dB) : x – 2y + 1 = 0 và (dC) : x + y + 3 = 0 Lập phương trình cạnh BC

2) Tìm điểm M  (H) : 5x2 – 4y2 = 20 nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 120

BÀI 14 : Trong mặt phẳng Oxy cho (E) : x2 + 3y2 = 12

1) Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ hai tiêu điểm, tâm sai của (E)

2) Cho đường thẳng (D) : mx – 3y + 9 = 0 Tính m để (D) tiếp xúc với (E)

3) Viết phương trình Parabol có đỉnh trùng với gốc tọa độ và có tiêu điểm trùng với tiêu điểm

bên trái của (E) đã cho

BÀI 15 :

1) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh C(4 ; –1), đường cao và đường

trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình tương ứng là (d1) : 2x – 3y + 12 = 0 và (d2) : 2x + 3y =

0

2) Trong mp Oxy, cho Cho (H) có phương trình : 24x2 – 25y2 = 600 và M là một điểm tùy ý

trên (H)

a) Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tính tâm sai của (H)

b) Tìm tọa độ của điểm thuộc (H) có hoành độ x = 10 và tính khoảng cách từ điểm đó đến 2

tiêu điểm

c) Chứng minh rằng : OM2 – MF1.MF2 là một số không đổi

d) Tìm các giá trị của k để đường thẳng y = kx – 1 có điểm chung với (H)

BÀI 15 :

1) Trong mp Oxy cho đường thẳng d có phương trình : 2x – y + 5 = 0 và điểm I(3 ; 1)

a) Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc với d

b) Tìm tọa độ tiếp điểm của đường tròn đó với d

2) Trong mặt phẳng Oxy cho Hyperbol (H) : 12x2 – 16y2 = 192 và điểmP(2 ; 1) Viết phương

trình đường thẳng đi qua P và cắt (H) tại 2 điểm M, N sao cho P là trung điểm của MN

BÀI 16 : Trong mặt phẳng Oxy cho (E) : 4x2 + y2 = 4

1) Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ hai tiêu điểm, tâm sai của (E)

2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = x + m cắt (E) tại 2 điểm phân biệt M, N khi m

thay đổi Tìm tập hợp các trung điểm của MN

BÀI 17: Trong mặt phẳng Oxy cho Hyperbol (H) : 9x2 – 16y2 = 144

1) Xác định tọa độ các đỉnh, tiêu điểm, tâm sai, phương trình các đường tiệm cận của các (H)

2) Lập phương trình đường tròn (C) đường kính F1F2 và tìm giao điểm của (C) và (H)

3) Tìm giá trị của k để đường thẳng y = kx cắt (H)

BÀI 18 : Trong mp Oxy cho parabol (P) : y2 = 12x

1) Tìm tọa độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn () của (P)

2) Một điểm nằm trên parabol có hoành độ x = 2 Hãy tính khoảng cách từ điểm đó đến tiêu

điểm

3) Qua điểm I(2 ; 0) vẽ 1 đường thẳng thay đổi cắt (P) tại A và B Chứng minh rằng tích số

khoảng cách từ A và B đến trục Ox là một hằng số

BÀI 19 : Trên mặt phẳng Oxy cho elip có phương trình : x2 + 4y2 = 4

1) Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tâm sai của elip

2) Đường thẳng qua một tiêu điểm của elip và song song với trục Oy cắt elip tại hai điểm M

và N Tính độ dài đoạn thẳng MN

3) Tìm giá trị của k để đường thẳng y = x + k cắt elip đã cho

BÀI 20: Trên mặt phẳng Oxy cho elip có phương trình : x2 + 4y2 = 4

1) Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tâm sai của elip

2) Đường thẳng qua một tiêu điểm của elip và song song với trục Oy cắt elip tại hai điểm M và N Tính độ dài đoạn thẳng MN.

3) Tìm giá trị của k để đường thẳng y = x + k cắt elip đã cho

BÀI 21: Trong mp Oxy cho hai điểm A(5 ; 0) và B(4 ; 3 2)

1) Lập phương trình đường tròn nhận AB làm đường kính Tìm tọa độ các giao điểm của đường tròn và trục hoành

2) Lập phương trình chính tắc của đường elip (E) đi qua hai điểm A và B

BÀI 22 : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm F(2 ; 0) và đường thẳng (D) có phương trình : 4x – 3y + 2 =

0

1) Lập phương trình Parabol (P) có tiêu điểm F và có đỉnh là gốc tọa độ

2) Tính khoảng cách từ F đến (D) rồi lập phương trình đường tròn tâm F và tiếp xúc với (D) Tìm tọa độ tiếp điểm

x 2 2





BÀI 24 : (2đ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Hyperbol (H) có phương trình : 4x2 – 9y2 = 36

1) Xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tìm tâm sai, phương trình các đường tiệmcận của (H)

2) Viết phương trình chính tắc của (E) đi qua điểm M 

3 7

và có chung các tiêu điểm với (H) đã cho

BÀI 25 : (1,5đ) Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) : 1

2

y 6

x 2 2



1) Xác định tọa độ các tiêu điểm và độ dài các trục của (E)

2) Điểm M thuộc (E) nhìn hai tiêu điểm của nó dưới một góc vuông Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M

BÀI 26 : (1,5đ) Trong mặt phẳng Oxy cho Hyperbol (H) đi qua điểm M(5;

4

9 ) và nhận điểm F1(5 ; 0)làm tiêu điểm của nó

1) Viết phương trình chính tắc của hyperbol (H)

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng có

phương trình : 5x + 4y – 1 = 0

BÀI 27 : (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho một elip (E) có khoảng cách giữa các

đường chuẩn là 36 và các bán kính qua tiêu điểm M nằm trên elip (E) là 9 và 15

1) Viết phương trình chính tắc của elip (E)

2) Viết phương trình tiếp tuyến của elip (E) tại điểm M

BÀI 28 : (1,5 điểm) Trong mp với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : 1

16

y 25

x 2 2



 có 2 tiêu điểm F1, F2.1) Cho điểm M(3 ; m) thuộc (E), hãy viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M khi m > 0 2) Cho A và B là hai điểm thuộc (E) sao cho AF1 + BF2 = 8

Hãy tính AF2 + BF1

BÀI 29 : (2đ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) :y2 = 8x

1) Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của (P)

2) Viết ph trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M thuộc (P) có tung độ bằng 4

3) Giả sử đường thẳng (d) đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x2, x2 CM : AB = x1 + x2 + 4