Tổng hợp các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp và đại học môn toán có phân loại đối tượng học sinh

Tổng hợp các chuyên đề ôn thi TN và đại học môn toán có phân loại đối tượng học sinh Tổng hợp các chuyên đề ôn thi TN và đại học môn toán có phân loại đối tượng học sinh Tổng hợp các chuyên đề ôn thi TN và đại học môn toán có phân loại đối tượng học sinh Tổng hợp các chuyên đề ôn thi TN và đại học môn toán có phân loại đối tượng học sinh Tổng hợp các chuyên đề ôn thi TN và đại học môn toán có phân loại đối tượng học sinh Tổng hợp các chuyên đề ôn thi TN và đại học môn toán có phân loại đối tượng học sinh

    

III Một số phương pháp chứng minh BĐT

1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi và một số sai lầm trong

giải toán: Tìm Max, Min của một biểu thức.

Phương pháp Tìm Max, Min của một biểu thức.

 Sơ đồ Tìm Max của S Chứng minh S  M trong đó M là hằng số và chỉ rađược S = M là tồn tại giá trị các biến trong S Kết luận M là Max của S

 Sơ đồ tìm Min của S : Chứng minh S  m trong đó m là hằng số và chỉ rađược S = m là tồn tại giá trị các biến trong S Kết luận m là Min của S

Bài toán xuất phát : Cho a, b > 0 Ta luôn có a b a b

xảy ra khi a = b

Nh ận xét: Từ bài toán này ta có thể thay đổi mở rộng miền xác định để có một

số bài toán sau:

Ví dụ 1 Cho a 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a 1

a

 

Bình lu ận và lời giải

1 6 1 6 6

1 7 1 7 7

1 8 1 8 8

1 9 1 9 9

1 10 1 10 10

1 11 1 11 11

1 12 1 12 12

1 45 1 45 45

17 4

Do bất đẳng thức Côsi xảy ra dấu bằng tại điều kiện các tham số tham gia phải bằng

nhau, nên tại “ Điểm rơi: a = 4 ” ta không thể sử dụng bất đẳng thức Côsi trực tiếp cho

cho tại điểm a = 4 thì a 1

α  a Tức là ta có sơ đồ điểm rơi sau đây:

10

1 9

1 8

1 7

1 6

1 5

1 4

1 3

1 2 2

10

2 9

2 8

2 7

2 6

2 5

2 4

2 3

2 2

1 64 4

2 49 7

1

3 6 3

2

2 5 5

1 16 2

2 9

Nguyên nhân sai l ầm: Dù đã chọn điểm rơi đúng, đáp số đúng nhưng cách giải trên

mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số với a  3 thì 2 2 2

= 9 27a  27.3 là sai

trái với giả thiết

Phân tích và tìm lời giải dự đoán giá trị Min của S bằng bảng dưới đây:



a = 2

64 12 32 2 8

1 a b





2 Tìm tòi lời giải qua đó tìm cách giải tổng quát cho bài toán tương tự:

Bài toán cơ bản : Cho A 1 3 5 . 2n 1





chúng ta hãy bắt đầu từ cách giải câu a

2 3

3 4 0

4 5

5 6 0

6 7

2n 1 2n 0

Trở lại cách giải 2 câu hỏi đặt ra là: Làm sao ta tìm ra được BĐT (*) Rõ ràng ta nhận

thấy điều cần chứng minh là A 1

Nhân các vế trên ta được A 1 3 5 . 2n 1 1. 4. 7 3n 2 1

do đó (*) đúng Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh

Ví dụ 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn a + b + c = 2.

Chứng minh bất đẳng thức 2 2 2

a  b   c 2abc  2 (3)

1 x y z 2xy 2yz 2xz 2xyz 2

(x y z 2xy 2yz 2xz) 2xyz 1

(x y z) 2xyz 1 1 2xyz 1 2xyz 0

          (hiển nhiê n đúng )

Do đú BĐT đó cho được chứng minh

trong khoảng [0; 1] thoả món a + b+ c = 2 thỡ 2 2 2

a  b   c 2abc  2 lời giải tương tự

Vớ dụ 4 Cho cỏc số a, b, c thoả món điều kiện: a2 4; b2 5; c2 6

Điều này mõu thuẫn với đẳng thức (*) từ đú ta cú điều cần chứng minh

Vớ dụ 5: Cho x, y, z là cỏc số thực khỏc 1 thỏa món xyz = 1 Chứng minh rằng:

Nhận xét: Rõ ràng đây là BĐT đẳng thức tương đối khó, nhờ phép đổi biến trên

mà bài toán giải được chứng minh một cách đơn giản Tùy theo bài dạng này mà đổibiến cho phù hợp, đổi với dạng toán mà xyz = k3với k là hằng số dương cho trước

thường có ba cách đổi biến cơ bản sau:

Bài 3: Cho a > c > 0; b > c Chứng minh rằng: c(a   c) c(b c)   ab.

Bài 4: Cho ba số a, b, c thoả mãn 0   a 2; 0   b 2; 0   c 2 và a    b c 3 Chứng minhrằng: a) 2 2 2

a  b  c  5; b) 3 3 3

a  b   c 9

Bài 5: Cho P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên Chứng minh

rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4 (Đặt a + b + c = 4k với k là sốnguyên)

Bài 6: Cho x, y, z là các số thực khác 1 thỏa mãn xyz = 8 Chứng minh rằng:

Cho a, b, c ≥ 0 Chứng minh a3+ b3+ c3+ 3abc ab(a b) bc(b c) ca(c a) ³ + + + + + (1)

(BĐT thức Schur)

Do vai trò của a, b, c như nhau nên ta có thể giả sử a ³ b ³ c

 Nếu có hai trong ba số bằng nhau thì BĐT (2) hiển nhiên đúng

 Nếu a > b > c ≥ 0, chia hai vế của BĐT (2) cho số (a – b)(b – c)(a – c) >0

-Ví dụ 2: Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thuộc đoạn [ ]0;3 Chứng minhrằng

+ (2) Dấu “=” xảy ra khi x = y

Do vai trò của a,b,c như nhau nên ta có thể giả sử a > > b c Áp dụng BĐT (2) ta có

( )2

Û - + ³ (đpcm) Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Ví dụ 5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = max a b c, , - min a b c, , , trong

đó a, b, c là ba số thực thõa mãn điều kiện a + b + c = a3 + b3 + c3 – 3abc = 2 (Bài

3/405 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 405 tháng 3/2011)

b = c + y Khi đó P = max a b c, , - min a b c, ,  = a – c = x + y với x 0;y 0

Vậy giá lớn nhất của P bằng 2

3 Khi và chỉ khi (a, b, c) = 2 1 ; ;2 2 1

Bài 1 Cho a, b, c ≥ 0 Chứng minh a (a b)(a c) b (b c)(b a) c (c a)(c b) 0k - - + k - - + k - - ³

Bài 2 Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thuộc đoạn [ ]0;2 Chứng minh rằng

-14-c) Phương pháp hình học

Ví dụ 1: Cho a, b là các số dương Chứng minh a   b a  b

Lời giải: Ta nhận thấy    2 2

Ví dụ 2: Cho a > c; b > c > 0 Chứng minh c(a   c) c(b c)   ab

thức sau: c(a   c) c(b c)   c a   c b c   ab

Ta thấy c a    c a; c    b c b ta dựng tam giác ABC có

đường cao AH = c cạnh BC = a   c b c  ; AB = a ;

AC = b(Hình 2) Hạ BK vuông góc với AC, khi đó

ta có 2SABC  AH.BC  BK.AC  AB.AC hay

minh) nếu b = c thì bài toán hiển nhiên đúng Nên ta chỉ xét trường hợp b > c, khi đóbất đẳng thức đã cho tương đương với 2 2 2 2

B

C b

a b 

Hình 1

a c  H

B

A c

a

Hình 2 C

K b

b c 

Bài toán trên cũng đúng với mọi số thực a, b, c bất kỳ

Ví dụ 4: Cho a, b, c là các số thực thuộc khoảng  0;1 Chứng minh

a(1 b)   b(1 c) c(1 a) 1    

tam giác, nên ta nghĩ ngay đến việc tạo tam giác đều ABC có cạnh

bằng 1 Trên cạnh AC; AB; BC ta lấy các điểm P, M, N sao cho

bất đẳng thức cần chứng minh sẽ là a(1 b)   b(1 c) c(1 a) 1     cũng có cách giải tương

tự, dấu đẳng thức xảy ra khi 2 trong 3 số đã cho có 2 số bằng 1 số còn lại bằng 0;

Ví dụ 5:

Cho các số thực x, y, z, t thuộc khoảng  0; a Với a > 0 Chứng minh

2

x(a   y) y(a   z) z(a   t) t(a  x)  2a

t(a – x ) là tích hai cạnh của một tam giác, nên ta nghĩ ngay đến

việc tạo hình vuông ABCD có cạnh bằng a Trên cạnh AB; BC;

CD và DA ta lấy các điểm P, M, N , Q sao cho AQ = t; BM = x;

CN = y; DP = z; (hình 5)

Khi đó ta có bất đẳng thức diện tích :

bH

B

Aa

K

B A

Hình 4

C

c

b a

M

N P

B A

Hình 5

D

y x

-16-BMN CNP DPQ AQM ABCD

2S 2S 2S 2S 2S  MB.GN +CN.CP + DP.DQ + AM.AQ  2AB.AD

x(a   y) y(a   z) z(a   t) t(a  x)  2a

Dấu “=” xảy ra khi trong bốn số x, y, z, t có 2 số bằng a; 2 số còn lại bằng 0;

Ví dụ 6: Cho a, b, c là các số dương thuộc khoảng  0; 2 và a  b  c  3 2

Vẻ đường tròn tâm O đường kính AB = 2

Do 0 < a < 2 nên đường tròn ta lấy điểm M sao cho

AM = a; ki đó suy ra 2

MB  4 a  (hình 7) Gọi C là điểm chínhgiữa của nửa cung tròn chứa điểm M  CO  AB

(Chú ý rằng các tam giác MAB và CAB vuông tại M và C)

Khi đó ta có 2SAMB  AM.MB  HM.AB  CO.AB: (Vì MHOC)

Bài 1: Cho a > b > 0 Chứng minh a   b a  b

Bài 2: Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh 2 2 2 2 2 2 2 2

Bài 4: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn 2 2 2

a  b  c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức P 2a 2 2b 2 2 c 2

4 Mở rộng bài toán theo nhiều hướng khác nhau qua đó hình thành các bài toán mới khắc sâu kiến thức và khả năng sáng tạo bất đẳng thức mới.

Bài toán: Chứng minh BĐT

3 4

-18-Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z  a = b = c >0

Các phép biến đổi trên là tương đương, do đó BĐT thức đã cho được chứng minh

Hướng khai thác 1: Thay đổi hệ số cho các số a, b,c thì cho ta bài toán mới.

Bài toán 1: Chứng minh BĐT

bài toán trên ta cũng có BĐT (**) bài toán 1 được chứng minh

Với cách khai thác như trên hoàn toàn ta chứng minh bài toán tổng quát theo nhiều cáckhác nhau chẳng hạn (bài toán 2)

Bài toán 2: Cho x, y, z là các số dương thay đổi và 6 số thực dương cho trước a,

m x y y z z x  mx y z x  y z Bài toán được chứng minh.

Hướng khai thác 2: Mở rộng bài toán bằng cách thêm biến

Bài toán 3: Chứng minh BĐT

Bằng cách tương tự như khai thác ở trên ta cũng có bài toán sau:

Bài toán 4: Cho 4 số x, y, z, t là các số dương thay đổi và 8 số thực dương cho

trước a, b, c, d, e, g, i, k Khi đó ta luôn có BĐT

Việc chứng minh bài toán này tương tự như bài toán 2, 3

Với cách khai thác như trên, từ bài toán 2 và bài toán 4 ta có thể chứng minh được

nhiều bài toán cụ thể với các hằng số cho biết trước

Hướng khai thác 3 Nâng lũy thừa bậc cao hơn (bài toán 5)

Bài toán 5: (Đề thi chọn đội tuyển HSG QG Hà Tĩnh) Chứng minh BĐT thức

3 8

2 3

2 3

Cách 2: Bằng cách đặt như bài toán mở đầu ta đưa bài toán cần chứng minh

tương đương với bài toán sau:

Cộng các BĐT cùng chiều trên ta được BĐT cần chứng minh

Như vậy, đến đây bạn đọc có thể mở rộng thêm bài toán này thành nhiều bài toánkhác khó hơn

-22-Hướng khai thác 4 Mã hóa bài toán: (Bài toán 6)

Bài toán 6: Cho a, b, c >0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

L ời giải: Với x, y > 0 ta có 2 2 3x 5y ( )2

>0) Chọn a = 2 – b, khi đó (1*) có dạng x2+ xy 2y + 2 ³ (2 b)x by - + bình phương hai

vế của BĐT này ta được ( 2 ) (2 2 ) ( 2) 2

4b b - - 3 x + 2b - 4b 1 xy + + - 2 b y ³ 0(4b b 2 3 t) (2 2b 2 4b 1 t) (2 b 2) 0

t y

= , để ý rằng phương trình

(4b b 2 3 t) (2 2b 2 4b 1 t) (2 b 2) 0

2 2

2 b t

= Do vậy ta có phương pháp chứng BĐT (1)

Chú ý: Trong ví dụ tổng các hệ số của đa thức x2+ xy 2y + 2 bằng 4 là số chính

phương, trong một số trường hợp khác tổng các hệ số không là số chính phương thì để

gọn hơn trong toán ta ví dụ sau:

Ví dụ 2: Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng

x + 2xy 3y + + y + 2yz 3z + + z + 2zx 3x + ³ 6 x y z + + (2), tương tự như ví dụ 1

để đơn giản cho tính toán ta sử dụng cách đặt như sau: Chọn được các số thực a, b để

có BĐT x 2 + 2xy 3y + 2 ³ 6 ax by( + ) (2*) ; ( 6 = 1 +2 +3)

-24-Với x = y thì BĐT (3*) trở thành

x + 2x + 3x ³ 6(a b)x + Û 6x ³ 6(a b)x + Û ³ + 1 a b ( vì x >0) Chọn a = 1 – b, khi

đó (2*) có dạng x 2 + 2xy 3y + 2 ³ 6 (1 b)x by( - + ) bình phương hai vế của BĐT này ta

1 12b 6b 5

Phân tích Trong BĐT (3) tương tự như BĐT (1) các biến x, y, z có vai trò như

nhau và đẳng thức xảy ra khi x = y = z > 0 Do vậy ta chọn các số a, b sao cho có BĐT

6 Tham khảo cách giải hay của một số bài toán

Mỗi bài toán về BĐT có những cách giải thú vị khác nhau Trong bài viết này, tôi sẽ

giới thiệu các bài toán đó với những cách giải hay.

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương.

3a 3b 2c 4 (b c c )( a a b)(  )

Nhân theo vế ba BĐT trên ta suy ra đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

a + b = b + c = c + a   a b c

Bài 2: Cho a, b, c, d là các số thực không âm thỏa mãn a, b, c  d

Chứng minh rằng: (ab – d2)(bc – d2)(ca – d2)  (a2– d2)(b2– d2)(c2– d2)

Chú ý từ giả thiết ta thấy rằng tất cả các số ab – d2 ; bc – d2; ca – d2; a2– d2; b2– d2;

c2– d2 đều không âm

Từ đó nhân theo vế ba bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong ba điều kiện sau đúng:

i) d = 0 ; ii) a = b = c ; iii) Trong ba số a, b, c có hai số bằng d.

Bài 3: Cho x, y, z là các số thực khác 1 thỏa mãn xyz = 1.

Chứng minh rằng:

2 2

( 1)

x

x +

2 2

( 1)

y

y +

2 2

(a+b+c)2– 2(a+b+c) + 2 = (a+b+c-1)2+ 1  1

Bài toán đã được chứng minh.

y z xyz

1 2

Suy ra x5+ y5+ 2xyz 2xy(x+y+z) (1)

Tương tự y5+ z5+ 2xyz 2yz(x+y+z) (2)

y z xyz

1 2

 



  Vậy BĐT đã được chứng minh.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2

Bài 6: Cho a, b, c là các số thực dương.



2011 2011

b c



2011 2011

c a

Bài toán đã cho ứng với d = 2011.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 7: Cho các số thực dương x, y và z thỏa mãn x + y + z = 1.



Tương tự y + zx = (x+y)(y+z) ; z + xy = (y+z)(z+x)

4 4

   Vậy ta có đpcm(Vì áp dụng BĐTCô-si cho hai số thực dương ta

  4

1 1 1 3 3

2

    (theo công thức Hê-rông)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC đều

CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Tiết 1

Đơn vị kiến thức Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của học sinh

1 Ôn tập véctơ pháp tuyến của

Vẽ hình minh họa đường thẳng và VTPT

H2 Trong hệ tọa độ Oxyz chỉ ra véctơvuông góc với hai véc tơ i, j

Hoạt động cá nhânXung phong trả lời

2 Khái niệm véctơ pháp tuyến

3 Phương trình tổng quát của

mặt phẳng

VD1 Tìm VTPT của mặt phẳng

0 7 6 2

+Nếu vài nhóm khó khăn thì gv hỗ trợ chomột hoặc hai nhóm và đề nghị hs khá của

nhóm khác đến hỗ trợ các nhóm còn lại +

+ Tất cả các nhóm đều làm được thì gọi 3nhóm xung phong lên trình bày và lớpnhận xét cho điểm

Cá nhân hoạt động

Hoạt động nhóm ( hoạt động cánhân , hoạt động cặp đôi, tiếnhành thảo luận nhóm )

ra PT nào là PT mp và VTPT của mp đó

HĐ cá nhân

HĐ cặp đôi

Các nhóm cho một đến 3 ví dụ về PTMPCho ví dụ về PTmp có chứa tham số

- Nêu câu hỏi

- Đánh giá và chữa lỗi cho học sinh

- Hoạt động cá nhân

2 Tích có hướng của hai véc tơ GV cung cấp công thức tính tích có

hướng của hai vec tơ

GV lấy ví dụ cụ thể a(2;3;5), (1; 0; 1),b Yêu cầu hs tính n    a b , 

a b

 

,b c , ,a c ,  Kiểm tra điều kiện

vuông góc với các véc tơ thành phần

Hoạt động theo định hướng cuảgiáo viên

Luyện tập viết phương trình mặt Viết PTMP trong các trường hợp sau Hoạt động nhóm

) 1

; 0

; 0 ( ), 0

; 2

; 0 ( ), 0

; 0

; 3

- +Nếu một vài nhóm không hoànthành thì GV đến từng nhóm HD vàchỉ định một vài hs khá HD

- + Nếu tất cả các nhóm đều hoànthành thì mời đại diện trình bày ,

Yêu càu hs xác định vtpt của hai mp trên

GV nhận xét đánh giá trả lời của hs và cho

điểm

Hoạt động cá nhânXung phong trả lời

2 Điều kiện để hai mặt phẳng

song song

GV vẽ hai mp song song , yêu cầu hs vẽvtpt của hai mp đó , nêu nhận xét về mốiquan hệ của hai véc tơ pháp tuyến đó

GV quan sát hoạt động của hs và chốt kiếnthức

VD.Cho hai mặt phẳng

Hoạt đông cặp đôiHoạt động theo định hướng củaGiáo viên

2x +3y -z +4 =0 và 4x +6y-2z-1 =0Chứng minh hai mp đã cho song song vớinhau

3 Điều kiện để hai mặt phẳng

vuông góc.

VD1.Cho hai mặt phẳng

0 1 3

2 : ) ( x yz 

0 3 5 3 2 : ) ( x y z 

GV yêu cầu HS chỉ ra VTPT của hai mặtphẳng trên

Tính tích vô hướng của hai VTPT đó

NX vể qhệ của hai véc tơ đó? Hai mp đó?

GV theo dõi HĐ của học sinh+ Nếu HS không trả lời được thì GVgiảng giải đưa ra KL đkiện hai mp vuônggóc

+ Nếu HS trả lời được GV chốt kiến thức

đkiện hai mp vuông góc

HĐ cá nhân

HĐ nhóm

4 Củng cố Ví dụ 1 :Viết pt mặt phẳng ()qua

) 3

; 2

; 1 ( 

M và song song với

0 5 3

2 : ) ( x yz Giao nhiệm vụ cho HSQuan sát học sinh làm bài

- +Nếu các cặp đôi đều không hoànthành thì dừng ngay chuyển sanghoạt động chung của cả lớp

HĐ cặp đôi

- +Nếu một vài cặp đôi không hoànthành thì GV đến từng cặp đôi HD

và chỉ định một vài hs khá HD+ Nếu tất cả các cặp đôi đều hoàn thànhthì mời đại diện trình bày , cho điểm

- Quan sát học sinh làm bài

- Đánh giá, nhận xét

- +Nếu các nhóm đều không hoànthành thì dừng ngay chuyển sanghoạt động chung của cả lớp

HĐ nhóm

- +Nếu một vài nhóm không hoànthành thì GV đến từng nhóm HD vàchỉ định một vài hs khá HD

+ Nếu tất cả các nhóm đều hoàn thành thìmời đại diện trình bày , cho điểm

2 Tính khoảng cách giữa hai mặt

hoạt động chung của cả lớp

- +Nếu một vài nhóm không hoànthành thì GV đến từng nhóm HD vàchỉ định một vài hs khá HD

+ Nếu tất cả các nhóm đều hoàn thành thìmời đại diện trình bày , cho điểm

4 Bài tập về nhà BT1 Tính bán kính mặt cầu tâm

) 3

; 2

; 1 ( 

I và tiếp xúc với mặt phẳng

0 5

2   

 y z x

GV gơi ý sư dụng Đk để mặt cầu tiếp xúc

- Quan sát học sinh làm bài

- +Nếu các cặp đôi đều không hoànthành thì dừng ngay chuyển sanghoạt động chung của cả lớp

- +Nếu một vài cặp đôi không hoànthành thì GV đến từng cặp đôi HD

và chỉ định một vài hs khá HD+ Nếu tất cả các cặp đôi đều hoàn thành

HĐ cặp đôi

VD2 Cho ba điểm:

) 4

; 0

; 5 ( ), 2

; 6

- +Nếu một vài nhóm không hoànthành thì GV đến từng nhóm HD vàchỉ định một vài hs khá HD

+ Nếu tất cả các nhóm đều hoàn thành thìmời đại diện trình bày , cho điểm

- Lấy học sinh trình bày theo tinh thầnxung phong

- Sửa sai cho học sinh

hai mặt phẳng song song

- GV yêu cầu hs hoạt động cá nhânHỏi một vài hs

- Quan sát học sinh làm bài

- Quan sát học sinh làm bài

- +Nếu các cặp đôi đều không hoànthành thì dừng ngay chuyển sanghoạt động chung của cả lớp

- +Nếu một vài cặp đôi không hoànthành thì GV đến từng cặp đôi HD

và chỉ định một vài hs khá HD+ Nếu tất cả các cặp đôi đều hoàn thànhthì mời đại diện trình bày , cho điểm

( ) : m xny2z 1 0

0 1 3

2

:

)

( x yz  đó xác định

khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó

- +Nếu các nhóm đều không hoànthành thì dừng ngay chuyển sanghoạt động chung của cả lớp

- +Nếu một vài nhóm không hoànthành thì GV đến từng nhóm HD vàchỉ định một vài hs khá HD

+ Nếu tất cả các nhóm đều hoàn thành thìmời đại diện trình bày , cho điểm

HĐ cá nhân