- Mọi lời giải của học sinh có phơng pháp khác với đáp án, nếu là lời giải đúng và phù hợp với kiến thức trong chơng trình, tổ chấm thi thống nhất để cho điểm tơng ứng học sinh có thể
Trang 1ubnd tỉnh bắc ninh
Sở giáo dục và Đào tạo kỳ thi học sinh giỏi THPT Năm học : 2009 - 2010
đáp án và Hớng dẫn chấm thi
(Đáp án gồm 04 trang)
Chú ý chung:
hơn, nhng không chia nhỏ dới 0,25.
- Mọi lời giải của học sinh có phơng pháp khác với đáp án, nếu là lời giải đúng và
phù hợp với kiến thức trong chơng trình, tổ chấm thi thống nhất để cho điểm tơng
ứng (học sinh có thể sử dụng kiến thức của chơng trình Cơ bản hoặc Nâng cao)
Câu 1 (3,0 điểm)
1) (1,00đ)
Phơng trình đã cho tơng đơng 2sin 2x cos x sin 2x
3 2cos 2x cos x cos 2x
0,25
tan 2x 3 (1) sin 2x(2cos x 1)
cos 2x(2cos x 1) cos x (2)
2
0,25
Giải (1) đợc nghiệm x = k
Đối chiếu điều kiện (2), kết luận nghiệm: x = 2
2) (2,00đ)
Điều kiện x > 0 Với ĐK trên, bất phơng trình đã cho tơng đơng với
4.4log x 5 6log x 5 9m.32 log x 5 0,25
Chia hai vế cho 32 log x 5 > 0, cóbất phơng trình tơng đơng
4
2 log x log x
9m (1)
0,25
Đặt t =
5
log x
2
3
với t > 0 (1) có dạng 4t2 – t 9m (2) 0,25 a) với m = 2 , (2) trở thành 4t2 – t – 18 0 9
2 t
4
Vậy BPT đã cho là
5
log x 2 3
x
b) Khi x > 1, có
5
log x 5
2
3
Vậy bất phơng trình đã cho có nghiệm x > 1 khi và chỉ khi (2) có nghiệm t (0; 1)
0,25
Xét hàm số f(t) = 4t2 – t với t(0; 1), đợc miền giá trị của hàm f(t) là [ 1
16
; 3) 0,25 Vậy bất phơng trình đã cho có nghiệm x > 1 khi và chỉ khi 9m -1/16
m
144
Câu 2 (4,0 điểm)
1) (1,5đ) TXĐ: R, x Rcó y’ =
3
2 3
(x 1)
0,25
Trang 2x R
có (x2 1)3 > 0, vậy y’ cùng dấu với f(x) = x3 x 3 .
xét hàm f(x) liên tục trên R và f’(x) = 3x2 + 1 >0, x R f(x) đồng biến trên R Mặt
khác f(1).f(2) <0 phơng trình f(x) = 0 có nghiệm x0 (1; 2)
Vậy:y 'x0 0 và khi x > x0 f(x) > f(x0) = 0 y’ >0; khi x < x0 f(x) < f(x0)= 0 y’ < 0
1,0
Do đó hàm số có duy nhất một điểm cực trị đó là điểm cực tiểu 0,25 2) (2,5đ) Đặt U(x) = x2 3x 1 , V(x) = x2 1, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm
phân biệt A; B có hoành độ lần lợt là x1>0 và x2 > 0 là nghiệm phơng trình: x2 3x 1 = 0
(1), hay U(x1) = U(x2) = 0
0,25 Gọi k1; k2 thứ tự là hệ số góc của hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A; B
k1 = 1
1
V(x ).U '(x ) V '(x ).U(x ) U '(x ) 2x 3
y '
V(x )
Tơng tự k2 = 22
2
2x 3
0,5
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A và tại B lần lợt có phơng trình :
k1x – y - k1x1 = 0 và k2x – y – k2x2 = 0 Gọi là góc tạo bởi hai tiếp tuyến trên
cos
0,5
Ta có : x1 ; x2 là nghiệm phơng trình (1), nên x1 + x2 = 3 và x1 x2 = 1 mặt khác
x 3x 1 0 x 1 3x , tơng tự x22 1 3x2 Vậy k1 = 1
1
2x 3 3x
và
k2 = 2
2
2x 3
3x
1 2
9x x
0,5
k1 + k2= = 1
1
2x 3
3x
+ 2 2
2x 3 3x
=
1 2
3x (2x 3) 3x (2x 3) 2 3x x ( x x ) 3 3( x x )
3 9x x
= 3( x1 x )2 3( x1 x2 2 x x )1 2 5
0,5
Thay vào (2) ta đợc 2
cos
79
Câu 3 (3,0 điểm)
1 (1,5 điểm) Với mỗi n nguyên dơng, xét tích phân I =
1
n 0
x(1 x) dx
Đặt 1 – x = t dx = - dt Khi x = 0 t =1 và khi x = 1 t = 0
Vậy I =
n n n 1
1
(1 t)t dt (t t )dt
0
x C C x ( 1) C x C x C x ( 1) C x
0
1
0
=
n
(2)
0,25 0,25
0,25
Trang 3Từ (1) và (2)
n
1
n 1 -
1
Vậy n thoả mãn điều kiện đã cho khi và chỉ khi 1
n 1 -
1
n 2 =
1
2 (1,5 điểm) Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử: x1max( , x , x , x )x1 2 3 4 Do hàm cos nhận giá trị từ -1 đến 1 và là hàm chẵn nên 1 2 3 4 1
0 , x , x , x
2
x
0,25
Mặt khác, hàm cos nghịch biến trong khoảng (0; )
2
nên từ các phơng trình của hệ ta suy
rax2 min( , x , x , x )x1 2 3 4 ,x3 max( , x , x , x )x1 2 3 4 x4 min( , x , x , x )x1 2 3 4
0,25
Do đó, x1x3, x2 x4 hệ đã cho trở thành:
1 2
6 3 cos(2 )
6 3 x cos(2 )
x
0,25
Từ đó 6 3 (x1 x2)2sin[ ( x1 x2)]sin[ ( x1x2)](x1 x2) Vì x1x2và 6 3 nên
bất đẳng thức trên chỉ xảy ra khi x1 x2 Tức là 6 3x1 cos(2x1) 0
0,5
Từ tính đồng biến ta đợc phơng trình có nnghiệm duy nhất 1 1
12
x Vậy nghiệm của hệ là 1 2 3 4 1
12
x x x x
0,25
Câu 4 (6,5 điểm)
Chú ý : có nhiều phơng pháp để giải câu này, đáp án sau đây, đa ra một cách giải- chủ
yếu sử dụng phơng pháp thể tích.
1)(4,0đ)
+ Gọi V và V1 theo thứ tự là thể tích các khối
hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ và lăng trụ đứng
Ta có CC’(DBC) và DD’(D’B’C’) và dt(DBC) = dt(D’B’C’) = 1
2 và CC’=D’D = a VC’DBC = VDB’C’D’ = 1 1 a
.a
3 2 6
0,5
Thay vào (1) ta đợc VBDB’C’ = a a a
+ Ta có DC’// mp(AB’C)AC d(DC’; AC) = d(D ; (AB’C)) = h 0,5
Gọi V2 là thể tích khối tứ diện B’DAC, ta có V2 = a
Mặt khác V2 =1
3dt(B’AC).h
a h
2dt( B'AC)
Ta có B’C = B’A = a2 1 B’AC cân ở B’ Gọi I là giao điểm của AC và BD
0,75
B A
C D
C’
D’
I
Trang 4
2
dt( B'AC)= AC.B'I
Thay vào (2) h= a2
2a 1 Vậy khoảng cách giữa DC’ và AC bằng a2
2a 1 0,25 2) (2,5đ) Theo cmt, ta có VBDB’C’ = a
6 (3).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B’ trên mp(BDC’), ta có B'DH (nhọn)
chính là góc giữa đờng thẳng B’D và mặt phẳng (BDC’) và B’H =B’Dsin
B’D = D 'D2 B'D '2 a2 2
0,75
Mặt khác VBDB’C’ =1
dt( BDC ').B'H
2 2 BDB'C'
1
6
0,75
Từ (4) và (3)
a = (2a2 1)(a2 2) sin
2 2
2
0,5
áp dụng BĐT Cô si đợc 2 12
a a
9 0 sin
3 sin dấu “=” xảy ra khi
và chỉ khi a = 1 Vậy lớn nhất khi và chỉ khi 1
sin
3
( nhọn)
0,5
Câu 5 (3,5 điểm)
1 (2,0 điểm) Xét hàm số f(x) =2sin x 2cos x x R , ta cóf(x
2
)= f(x) Vậy để
xét miền giá trị của f(x) trên R, ta chỉ việc xét f(x) trên đoạn [0;
2
] Khi đó f(x)
=2sin x 2cos x.
Mặt khác, giá trị mà 2sin x 2cos xnhận đợc trên các đoạn [0;
4
] và [ 4
; 2
] là nh nhau Vậy ta chỉ còn xét hàm số f(x) =2sin x 2cos x trên đoạn [0;
4
]
0,75
Ta có f’(x) = ln2( cosx.2sin x sin x.2cos x)
Khi x = 0 ta có f’(x) > 0, khi x =
4
ta có f’(x) = 0
Khi x(0;
4
) thì sinx và cosx thuộc (0 ; 1) và sinx < cosx Xét hàm số g(t) =
t 2
t với t(0; 1), có g’(t) =
t 2
2 (t.ln 2 1)
0 t
g(t) nghịch biến
g(sinx) >g(cosx)
sin x cos x
sin x cos x
cos x.2 sin x.2 sin x cos x
1,0
Trang 5Tóm lại f(x) đồng biến trên trên đoạn [0;
4
] Vậy 3= f(0) f (x) f ( )
4
=2222
Do đó x , ta có 3 2sin x 2cos x 2222 0,25
2 (1,5 điểm) Đặt cos2 n cos sin2 nsin
n
Ta có x n 1, n 2 do đó khi n thì ln
1 1
n n
x
x hay ln
1 ( 1)
n n
n x
n x Mặt khác,
2 cos 1 2 sin 1
n
n x
cos2ln cos sin2ln sin
Tức là lim ( )n (cos )cos2 (sin )sin2
n
0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 ==========
Hớng dẫn chấm có 05 trang