HSG 2009-2010 AN GIANG

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

AN GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC: 2009-2010 MÔN THI: TOÁN

Thời gian: 150 (không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (4,0 điểm)

Chứng minh các số sau đây là những số nguyên:

3 1 3 3 1 3 3

÷

2/ b = 4+ 5 3 5 48 10 7 4 3+ - +

Bài 2: (6,0 điểm)

1/ Cho phương trình ẩn x, tham số m:x2-2(m+1)x m+ 2+2m- =3 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 sao cho 2008< < <x2 x1 2013

2/ Giải hệ phương trình: (3 2 3 2)

2( ) 3

6

ìï + = + ïï

íïï + = ïî

Bài 3: (2,0 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Bài 3: (4,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), các tiếp tuyến tại A và C đồng quy với đường thẳng BD ở M Chứng minh rằng : AB.CD = BC.AD

Bài 4: (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC kéo dài về phía C, lấy một điểm M Một đường thẳng D đi qua M cắt các cạnh CA, AB tại N và P Chứng minh rằng: BM CM

BP - CN không đổi, khi M và D thay đổi

- Hết

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỐ BD: …… PHÒNG: …

GIẢI ĐỀ:

Bài 1: (4,0 điểm) Chứng minh các số sau đây là những số nguyên:

3 1 3 3 1 3 3

(dùng MTCT nhập toàn bộ biểu thức trên vào máy và ấn “=”, ta được ngay kết quả là: -2)

Giải chi tiết trên giấy:

3 1 3 3 1 3 3

÷

2 3 1 52 3 3 1 12 3 3

5 3 3

( 3 1 6 3 2 6 2 3)(5 3 3)

= + - - + + + = -(5 3 3)(5 3 3+ )=25 27- =- Î2 ¢

Vậy a là một số nguyên (đpcm)

2) b = 4+ 5 3 5 48 10 7 4 3+ - +

(Tương tự dùng MTCT nhập toàn bộ biểu thức trên vào máy và ấn “=”, ta được ngay kết quả là: 3)

Giải chi tiết trên giấy:

Khử các căn thức từ trong ra ngoài, ta được:

7+4 3 = 2+ 3 = +2 3

48 10 7 4 3- + = 48 10 2- + 3 = 28 10 3- = 5- 3 = -5 3

· 5 3+5 48 10 7- +4 3 = 5 3+5 5( - 3)= 25=5

Þ b= 4+ 5 3+5 48 10 7- +4 3 = 4+ =5 9=3΢

Vậy b là một số nguyên (đpcm)

Bài 2: (6,0 điểm)

1) Cho phương trình ẩn x , tham số m:x2-2(m +1)x m+ 2 +2m- =3 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 sao cho 2008< < <x2 x1 2013

Ta có:

' ( 1) ( 2 3)

' 4

D = + - +

-D = + + - - +

D = Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

1 3; 2 1

x = +m x = -m

Ta lại có: x1 >x2 (vì x1- = + - + = >x2 m 3 m 1 4 0)

Nên theo đề bài, ta có:

2008 2013 2008 1 3 2013

2008 1 2009

2009 2010

3 2013 2010

m

< < < Û < - < + <

ï < - ï >

Ûíï + < Ûíï < Û < <

Vậy với 2009< <m 2010 thì phương trình có hai nghiệm thỏa yêu cầu bài toán

2) Giải hệ phương trình: ìï + =ïï ( + )

íïï + = ïî

2( ) 3

( ) 6

I

Đặt:

3 3

ï = ï =

ï Ûï

ï = ï =

ï ïïî ïî

( ) :

I

Ûíï + = Ûíï + =

6(36 3 ) 9 8

Theo Vi-ét thì u v, là nghiệm của phương trình: é =ê

- + = Û ê =êë

6 8 0 X 4

Suy ra: 2 hoÆc 4

ï = ï =

ï = ï =

Do đó: 8 hoÆc 64

Vậy hệ phương trình (I) có đúng hai nghiệm ( ) ( )8;64 , 64;8

Bài 3: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Điều kiện: x ³ -1

Ta có:

y = x + + x + + + x + - x + +

-3 1 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 2

y = x + + + - x + ³ x + + + - x + =

Dấu “=” xảy ra Û -1 x3+ ³ Û £1 0 x 0

Vậy: miny =2 khi - £ £1 x 0

Bài 3: (4,0 điểm)

· Xét ∆MAD và ∆MBA, ta có:

·

AMB: chung

· ·

MAD MBA= (cùng bằng ½ sđ AD¼)

Suy ra: ∆MAD đồng dạng ∆MBA (g-g)

Do đó: MA AD

MB AB= (*)

· Xét ∆MCD và ∆MBC, ta có:

·

CMB: chung

· ·

MCD MBC= (cùng bằng ½ sđ CD»)

Suy ra ∆MCD đồng dạng ∆MBC (g-g)

Do đó: MC CD

MB BC= (**)

· Hay MA CD

MB BC= (**) (vì MC = MA theo tính chất

tiếp tuyến cắt nhau)

· Từ (*), (**) suy ra:

AD CD ABCD AD BC

AB BC= Û = (đpcm)

D M

O A

C

B

Bài 4: (4,0 điểm)

· Vẽ qua A, (d) // (∆), cắt BC tại Q

· Áp dụng định lý Talet cho ∆BAQ, ta có:

BM BP hay BM BQ

BQ = BA BP = BA (*)

· Áp dụng định lý Talet cho ∆CAQ, ta có:

CM CN hay CM CQ

CQ = CA CN = CA (**)

· Trừ theo vế của (*) và (**), ta được:

BM CM BQ CQ BQ CQ BC

= AC)

Hay BM CM BC (const)

BP CN- = AB = (đpcm)

(d)

Q

P

B

A

N

Giải đề: Nguyễn Chí Dũng

Đơn vị: THCS Long Kiến – Chợ Mới – An Giang

Lưu ý : Lời giải trên chỉ mang tính chất tham khảo và chưa