Toán quỹ tích Tìm tập hợp điểm quỹ tích I-Các tập hợp điểm đã học : -Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng r không đổi là đ/tròn o,r -Tập hợp các điểm thuộc miền trong của góc
Trang 1Toán quỹ tích
Tìm tập hợp điểm (quỹ tích)
I-Các tập hợp điểm đã học :
-Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng r không
đổi là đ/tròn (o,r)
-Tập hợp các điểm thuộc miền trong của góc cố định và cách
đều 2 cạnh của góc là tia phân gics của góc đó
-Tập hợp các điểm cách đều 2 đầu 1 đoạn thẳng cố định là
đ-ờng trung trực của đoạn thẳng ấy
-Tập hợp các điểm cách đờng thẳng xy cố định một khoảng h
không đổi là 2 đ/thẳng song song với xy và có khoảng cách
đến xy bằng h
-Tâp hợp các điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định dới 1 góc
không đổi là 2 cung chứa góc dựng trên đoạn AB
II- Các bớc giải bài toán tìm tập hợp điểm:
1) Phần thuận:điểm M có t/c a điẻm M có t/c b*( t/c b
là t/c dẫn đến 1 tập hợp điểm đã học)
Điểm M có t/c b điểm M hình H
Giới hạn (néu có) :Điểm Mhình H’là 1 bộ phận của hình H(
H’ H)
2) Phần đảo:Điểm Mhình H’ thì điểm M có t/chất a
3) Kết luận :tập hợp điểm M có t/c a là hình H’
III- Phơng pháp:
*Đoán nhận hình dạng tập hợp điểm :
1) Phơng pháp thực nghiệm :
-Hình dạng: Dựa vào đk của btoán ,tìm 1 số phần tử cần thiết
(ít nhất là 3)thuộc tập hợp các diểm có t/c và căn cứ vào đó
mà đoán nhận hình dạng của tập hợp thuộc loại đthẳng hay
đtròn
-Lấy ít nhất 3 điểm ,chú ý điểm đặc biệt và điểm bất kì để
biết sơ bộ về hình dạng
VD: Cho nửa đtròn AOB I
M chuyển động trên nửa đtròn
H là hình chiếu của M trên AB
Trên đoạn thẳng OM lấy N M
Sao cho ON= MH N
Tìm tập hợp điểm N
A O H B
+Dự đoán :
Khi MA hoặc B thì NO
Khi M là trung điểm AB
thì N Ivà lấy thêm 1 điểm bất kì
thuộc nửa đtròn thì có điểm N
Ta thấy O,N,I không thẳng hàng ,vậy có thể dự đoán tập hợp
phải tìm thuộc loại đtròn đi qua N, I,O
2) Phơng pháp xác định số giao điểm của tập hợp những
điểm có t/chất đặc trng với hình cố định nào đó
Trên 1đờng thẳng cố định có 2 điểm của tập hợp và nếu
đthẳng đó không thuộc tập hợp những điểm trên thì nói
chung nó thuộc loại đtròn Đặc biệt nó có thể là 2 đthẳng đi
qua 2 điểm ấy :
VD:Cho 3 điểm A,B,C cố định không thẳng hàng Tìm tập
hợp
3) Phơng pháp chú ý đến tính đối xứng (trục,tâm )của
Trang 2tập hợp những điểm đặc trng
-Thuộc loại thẳng mà có trục đối xứng thì nó vuông góc với
trục đối xứng
-Thuộc loại tròn mà có trục đối xứng thì tâm của nó nằm trên
trục đối xứng
4) Chú ý đến các phần tử vô tận
-Có 1 điểm vô tận thì tập hợp có thể là đờng thẳng hay nửa
đ-ờng thẳng
VD:Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng AM trong đó A
cố định ,M di động trên một đờng thẳng cho trớc d ( d không
đi qua A)
+Dự đoán: Gọi I là trung điểm AM ,do tập hợp có chung với
đờng thẳng cố định 1 điểm vô tận nên tập hợp I có thể là
đ-ờng thẳng song song với(d)
A I M
* Chú ý: d
-Khi làm bài toán tìm tập hợp điểm , nếu có những phần tính
toán chung cho cả 2 phần (thuận và đảo ) thì tiến hành trớc
đi ,sau đó mới tách riêng 2 phần để tránh sự lặp lại
4) III- Một số ví dụ
1) VD1:
Cho nủa đtròn tâm O,đkính AB Điểm C di chuyển trên nửa
đtròn Trên tia đối của tia CA lấy điểm M sao cho
CM=CB.Tìm tập hợp các điển M khi C di chuyển trên nửa
đtròn
*Phân tích:
-Yếu tố cố định: Đoạn thẳng AB,điểm O, nửa đtròn có đkính
AB
-Quan hệ không đổi :CM=CB
-Yếu tố chuyển động: Điểm C, điểm M
-Điểm phải tìm tập hợp: điểm M
Lu ý: Xét quan hệ giữa điểm ch/động M với điểm cố định
Avà B ta thấy BCM cân ở C nên M 45 0
Điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dới 1 góc không đổi
450 nên M nằm trên cung chứa góc 450 dựng trên AB
Chú ý rằng điểm M không ch/động trên toàn bộ cung chứa
góc nói trên Khi M tiến đến vị trí A thì AM tiến đến vị trí
AK (AK AB), điểm M tiến đến điểm K.Vậy điểm M
không nằm trên cung AK
Do đó cần giới hạn tập hợp điểm cần tìm
Giới hạn: Khi C B thì M B
Khi C A thì M K
Trong đó AK là tiếp tuyến với đtròn O tại A
Vậy M chỉ chuyển động trên cung BK( trừ 2 điểm B&K)
K
I M
45°
Trang 3
C’ A O B
*Chú ý :Trong 1 số bài toán ,ngời ta không đòi hỏi
“Tìm điểm M có t/c a ”mà cho dứoi dạng “điểm M có t/chất
a di chuyển trên đờng nào?”.Khi đó ,nội dung bài toán tơng
ứng với phần thuận (có giới hạn )
2)VD2: Cho đờng tròn ( O) cố định tiếp xúc với đờng thẳng
xy tại điểm A cố định trên đờng tròn B là điểm di động trên
đờng thẳng xy Kẻ tiếp tuyến BC với đtròn (CA).Gọi M là
tâm đtròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi điểm B di chuyển
trên đờng thẳng xy thì điểm M di chuyển trên đờng nào?
*Phân tích :
C
O
M
x B A y
Yếu tố cố định: Đờng tròn (O),điểm A
-Quan hệ không đổi : OA
-Yếu tố chuyển động: Điểm B, điểm M
-Điểm phải tìm tập hợp: điểm M
Lu ý: Xét quan hệ giữa điểm ch/động M
với điểm cố định Avà O
ta thấy OAB 90 ; 0 OCB 90 0(t/c của tiếp tuyến)
Tứ giác OABC có OAB OCB 180 0
nên là tứ giác nội tiếp MO=MA y
Tâm M của đtròn ngoại tiép ABC cách đều 2 điểm cố định
O và A nên M nằm trên trung trực d của OA
-Khi B di chuyển trên xy thì M di chuyển trên đờng trung
trực d của OA(trừ giao điểm của d với OA)