Phơng tích và trục đẳng phơng Lời nói đầu Kiến thức về phơng tích và trục đẳng phơng chỉ là kiến thức trong sách giáo khoa, đơn giản và dễ hiểu; tuy nhiên nó có ứng dụng nhiều trong việ
Trang 1Phơng tích và trục đẳng phơng Lời nói đầu
Kiến thức về phơng tích và trục đẳng phơng chỉ là kiến thức trong sách giáo khoa, đơn giản và dễ hiểu; tuy nhiên nó có ứng dụng nhiều trong việc giải các bài toán hình phẳng, nhất là các bài thuộc dạng chứng minh thẳng hàng, đồng quy, vuông góc
Hởng ứng đề nghị của giáo viên các trờng thuộc hội Duyên hải , chúng tôi, dựa vào kinh nghiệm giảng dạy và các tài liệu có đợc, viết chuyên đề này theo hớng nêu lên các ứng dụng kiến thức về phơng tích và trục đẳng phơng
Trong bài viết này, chúng tôi ký hiệu đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (ABC)
Chuyên đề chắc còn nhiều thiếu xót, chúng tôi mong nhận đợc sự góp ý của các đồng nghiệp!
Trang 2
Mục lục
Phần A Lý thuết
Trang
1 Phơng tích của một điểm đối với một đờng tròn 1
2 Trục đẳng phơng của hai đờng tròn 2
3 Tâm đẳng phơng của n đờng tròn 4
Phần B Một số ứng dụng của phơng tích và trục đẳng phơng 1 Chứng minh thẳng hàng 5
2 Chứng minh đồng quy 6
3 Chứng minh vuông góc 7
4 Một số ứng dụng khác 9
Phần C Bài tập đề nghị 11
Trang 3A Lý thuyết.
I Ph ơng tích của điểm đối với đ ờng tròn
1 Định nghĩa:
Trên mặt phẳng, cho đờng tròn (O; R) và điểm M Đờng thẳng qua M cắt (O; R) tại
A và B Khi đó, đại lợng
OM2 −R2 =MA.MB
đợc gọi là phơng tích của điểm M đối với đờng tròn (O; R), ký hiệu là: P M /(O)
2 Tính chất
a Điểm M thuộc đờng tròn (O) khi và chỉ khi P M/(O) = 0
Điểm M nằm ngoài đờng tròn (O) khi và chỉ khi P M/(O) > 0
Điểm M nằm trong đờng tròn (O) khi và chỉ khi P M/(O) < 0
b Từ điểm M ngoài đờng tròn (O) kẻ tiếp tuyến MT, T là tiếp điểm Khi đó
2
)
P M O =
c Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D không có 3 điểm nào thẳng hàng, hai đờng AC và
BD cắt nhau tại I Khi đó, 4 điểm ấy cùng thuộc 1 đờng tròn khi và chỉ khi
IB.ID= IA.IC
d Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, phơng trích của điểm M(x0; y0) đối với
đờng tròn (O): x2 +y2 − 2ax− 2by+c= 0 là:
P M O = x + y 2 − ax0 − by0 +c
0
2 0 )
I Trục đẳng ph ơng của 2 đ ờng tròn
1 Định nghĩa
Tập hợp các điểm có phơng tích bằng nhau đối với 2 đờng tròn (là một đờng
thẳng)đ-ợc gọi là trục đẳng phơng của 2 đờng tròn đó
2 Tính chất
a Trục đẳng phơng của 2 đờng tròn(không đồng tâm) là đờng thẳng vuông góc với đờng nối tâm của 2 đờng tròn đó
b Ba điểm đều đẳng phơng đói với 2 đờng tròn thì thẳng hàng
c Nếu 2 đờng tròn phân biệt tiếp xúc với nhau tại A thì đờng thẳng qua A và vuông góc với đờng nối tâm là trục đẳng phơng
d Nếu A va B là 2 điểm phân biệt và có cùng phơng tích đối với 2 đờng tròn thì đờng thẳng AB là trục đẳng phơng của 2 đờng tròn đó
Nếu A va B là 2 điểm chung phân biệt của 2 đờng tròn thì đờng thẳng AB là trục đẳng phơng của 2 đờng tròn đó
e Nếu 2 đờng tròn ngoài nhau, thì đờng thẳng qua trung điểm của 2 tiếp tuyến chung ngoài là trục đẳng phơng của 2 đờng tròn đó
e Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, trục đẳng phơng của 2 đờng tròn
Trang 42 2 0 ; 2 2 2 2 2 2 2 0
1 1 1 2
x
là đờng thẳng có phơng trình:
2 (a1 −a2)x+ 2 (b1 −b2)y+c1−c2 = 0
I Tâm đẳng ph ơng
1 Định nghĩa
Điểm đẳng phơng đối với n (lớn hơn 2) đờng tròn đợc gọi là tâm đẳng phơng của
n đờng tròn đó
2 Tính chất:
Cho A, B, C là 3 điểm không thẳng hàng Gọi x, y, z là trục đảng phơng của các cặp đ-ờng tròn (B) và (C); (C) và (A); (A) và (B) Khi đó x, y, z đồng quy tại tâm đẳng phơng của 3 đờng tròn < (X) là đờng tròn tâm X >
B Một số ứng dụng.
I Chứng minh thẳng hàng.
VD1: (Ân Độ 1995)
Cho tam giác ABC Một đờng thẳng cắt hai cạnh AB, AC tại D và E; P là điểm trong tam giác, không nằm trên DE Đờng ED cắt PB và PC tại M và N Hai đờng tròn (PND), (PME) cắt nhau tại P và Q Chứng minh rằng A, P, Q thẳng hàng
Lời giải:
Từ giả thiết suy ra PQ là trục đảng phơng của 2 đờng tròn (PDN), (PEM)
Gọi I, J là giao của AP với DE và BC Khi đó:
Vì
IE
ID IN IM JC
JB IE
ID JC
JB IN
IM BC
=
=
⇒
//
Trang 5Dẫn đến IN.ID=IM IE hay P I/(PDN) =P I/(PEM).
Mà P P/(PDN) =P P/(PEM) = 0 suy ra IP hay AP là trục đảng phơng của 2 đờng tròn (PDN), (PEM) suy ra A thuộc đờng PQ
VD2 (IMO 2013)
Cho tam giác ABC nhọn, các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Cho M là điểm trên cạnh BC không trùng với B và C Kẻ các đờng kính MP và MQ của các đờng tròn (MBF)
và (MCE).Chứng minh rằng H, P, Q thẳng hàng
Lời giải:
Gọi N là điểm chung thứ hai của hai đờng tròn (MBF) và (MCE)
Vì AB.AF = AC.AE nên A thuộc trục đẳng phơng của 2 đờng tròn này
Suy ra A, M, N thẳng hàng
Dẫn đến AM.AN = AH.AD hay tứ giác MNHD nội tiếp
Từ đó: ∠MNH = 90 0 ⇒ ∠MNH + ∠MNP= 180 0 = ∠MNQ+ ∠MNP
Vậy H, P, Q thẳng hàng
VD3 (Chọn đội tuyển VN, 2006)
Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đờng tròn (O;R) Đờng thẳng d thay đổi vuông góc với OA, cắt các cạnh AB, AC tại M và N; BN cắt CM tại K; AK cắt BC tại P a) Chứng minh đờng tròn (MNP) luôn đi qua điểm cố định khi d thay đổi
b) Gọi H và I là trực tâm các tam giác AMN và ABC Chứng minh H, I, K thẳng hàng
từ đó suy ra l≤ 4R2 −a2 , trong đó a = BC, l là khoảng cách từ A tới HK
Trang 6Lời giải:
a) - áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABC với 3 đờng đồng quy AP, BN, CN ta có: = − 1
MB
MA NA
NC PC
PB
Lại áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với 3 điểm thẳng hàng N, M, S ta có: = − 1
MB
MA NA
NC C
P
Gọi E là trung điểm BC Theo trên ta có:
0 2 2 0 ) (
.
2
0 ) ( ) (
0
.
=
−
⇒
= +
−
⇒
=
− +
−
⇒
= +
SE SP SC SB SB
SC SP
SC
SB
SP SB SC SP SC SB PB
SC
PC
SB
Dẫn đến tứ giác MNEP nội tiếp, hay đờng tròn (MNP) luôn đi qua điểm cố định E
b) Gọi (O1), (O2) là đờng tròn đờng kính BN và CM
Gọi MF và NJ là 2 đờng cao của tam giác AMN
- Vì HN.HJ = HM.HF nên H thuộc trục đẳng phơng d của (O1) và (O2)
Tơng tự cũng có I thuộc d
- Vì KM.KC = KN.KB nên thuộc trục đẳng phơng d của (O1) và (O2)
Suy ra H, K, I cùng thuộc d hay ba điểm đó thẳng hàng
II Chứng minh đồng quy.
VD1(IMO 1995)
Cho 4 điểm thẳng hàng (theo thứ tự) A, B, C, D Đờng tròn đờng kính AC và đờng tròn
đờng kính BD cắt nhau tại X và Y Đờng XY cắt BC tại Z Trên XY lấy P(khác X, Y) Đ-ờng CP cắt đĐ-ờng tròn đĐ-ờng kính AC tại M khác C ĐĐ-ờng BP cắt đĐ-ờng tròn đĐ-ờng kính BD tại N khác B
Chứng minh: AM, DN, XY đồng quy
Trang 7Lời giải:
Gọi Q và R là giao của XY với DN và AM Ta chứng minh Q trùng R
Vì tứ giác QMCZ nội tiếp suy ra PM.PC =PQ.PZ
Vì tứ giác RNBZ nội tiếp suy ra PN.PB=PR.PZ
Vì P thuộc trục đẳng phơng XY của 2 đờng tròn đờng kính AC và BD nên
PB PN
PC
PM =
Dẫn đến PR.PZ =PQ.PZ ⇒QR= 0 hay Q trùng R (đpcm)
VD 2 (Dự tuyển IMO 1994)Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lợt tại D, E, F; X là điểm trong tam giác sao cho đờng tròn nội tiếp tam giác XBC cũng tiếp xúc với BC tại D và tiếp xúc với XB, XC tại Y, Z
Chứng minh rằng FE, YZ, BC đồng quy
Lời giải:
Gọi P và Q là giao điểm của BC với FE và YZ
- áp dụng định lý Menelaus:
cho tam giác ABC, với 3 điểm thẳng hàng E, F, P ta có:
Trang 8= − 1
EA
EC PC
PB FB
FA
cho tam giác XBC, với 3 điểm thẳng hàng Y, Z, Q ta có:
= − 1
YX
YC QC
QB ZB
ZX
Suy ra P Q PE PF PY PZ
QC
QB PC
PB = ⇒ ≡ ⇒ =
Dẫn đến tứ giác FEYZ nội tiếp
- Ba đờng BC, FE, YZ tơng ứng là trục đẳng phơng của các cặp đờng tròn (DFE) và (DYZ); (DFE) và (FEYZ); (FEYZ) và (DYZ)
Vậy BC, FE, YZ đồng quy
III Chứng minh vuông góc
VD 1
Cho hình thang ABCD, F là điểm trên cạnh đáy AB sao cho FD = FC Gọi E là giao điểm hai đờng chéo; (O1), (O2) lần lợt là đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ADF và BCF
Chứng minh EF vuông góc với O1O2
Lời giải:
Ta di chứng minh E thuộc trục đẳng phơng của 2 đờng tròn (ADF) và (BCF)
Gọi M là giao điểm thứ hai của AC với đờng tròn (ADF); N là giao điểm thứ hai của BD với đờng tròn (BCF) Ta có:
DNC DMC
BNC BFC
AFD
AMD
∠
=
∠
⇒
∠
=
∠
=
∠
=
∠
Dẫn đến tứ giác CDMN nội tiếp, từ đó tứ giác ABNM nội tiếp
Suy ra EM.EA=EN.EB hay E thuộc trục đẳng phơng của 2 đờng tròn (ADF) và (BCF)
Trang 9Suy ra FE là trục đảng phơng của 2 đờng tròn (ADF) và (BCF).
Vậy EF vuông góc với O1O2
VD 2
Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm hai đờng chéo AC, BD Gọi H, K là trực tâm các tam giác OAD và OBC; M, N là trung điểm AB, CD
Chứng minh MN vuông góc với HK
Lời giải:
Ký hiệu (M) và (N) là đờng tròn đờng kính AB và CD
- Vì HA.HE =HD.HP nên P H/(M) =P H/(N)
- Vì KB.KQ=KC.KF nên P K/(M) =P K/(N)
Suy ra HK là trục đẳng phơng của 2 đờng tròn (M) và (N)
Vậy MN vuông góc với HK
IV Một số ứng dụng khác.
VD 1
Từ điểm M ngoài đờng tròn (O), kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB (A, B là tiếp điểm) Gọi I là trung điểm MA, N là giao của (O) với IB(N khác B) Chứng minh rằng MN = 2IN
Trang 10Lời giải:
Dựng hình bình hành ADMN
Ta đi chứng minh MN = DN
Thật vậy, ta có:
IN.IB=IA2 ⇒ ID.IB=IM.IA
Dẫn đến tứ giác ADMB nội tiếp
Suy ra
DMN MDN
A A M
M A
A A
A A
B
M = ∠ = ∠ ⇒ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ⇒ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ⇒ ∠ = ∠
Nh vậy, tam giác DMN cân tại N, hay MN = ND (đpcm)
VD 2
Cho tam giác ABC, đờng tròn (O) cắt AB và AC tại F và E; BE cắt CF tại P, AP cắt BC tại D Đờng thẳng qua D, song song với FE cắt các tia AB, AC tại M và N; FE cắt BC tại Q
Chứng minh rằng đờng tròn (QMN) đi qua điểm cố định khi (O) thay đổi
Lời giải:
Trang 11- Ta có:
∠MNC = ∠FEC = ∠MBC
Suy ra tứ giác MBNC nội tiếp
Dẫn đến:
DM.DN =DB.DC (1)
- Ap dụng định lý Ceva và định lý Menelaus, ta có:
−
=
−
=
1
1
FB
FA EA
EC
QC
QB
FB
FA EA
EC
DC
DB
Dẫn đến:
(2)
.
2 ) (
2 0 ) (
) (
0
QB DI DC
DB
QB DI QC
DB DQ DC DB DQ
DB DC DQ DC DB QB
DC
QC
DB
=
⇒
= +
=
⇒
=
− +
−
⇒
= +
Với I là trung điểm của BC
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác QMIN nội tiếp
Vậy đờng tròn (QMN) luôn qua điểm I cố định
Trang 122
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Bài tập
Về phía ngoài tam giác ABC, dựng các tam giác cân DBC, ECA, FAB với các đỉnh
là D, E, F
Chứng minh rằng các đờng thẳng qua A, B, C lần lợt vuông góc với FE, FD, DE
đồng quy
Cho tam giác ABC Dựng hình vuông DEFG có các đỉnh D, E thuộc cạnh BC,còn F
và G lần lợt thuộc AC và AB Gọi dA là trục đẳng phơng của 2 đờng tròn (ABD) và (ACE) Các đờng dB, dC đợc xác định ttơng tự
Chứng minh rằng dA, dB, dC đồng quy
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), M là trung điểm BC, M’ là giao điểm của AM và (O) Tiếp tuyến tại M của (O) cắt đờng thẳng qua M, vuông góc với OA tại X
Định nghĩa tơng tự X cho 2 điểm Y, Z
Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng
Cho hai đờng tròn ngoài nhau (O1) và (O2) Kẻ tiếp tuyến chung A1A2(A1 thuộc (O1) A2 thuộc (O2) ) Từ trung điểm K của A1A2, kẻ 2 tiếp tuyến KB1 và KB2 tới (O1) và (O2)
Gọi L là giao điểm của A1B1 và A2B2, P là giao của KL và O1O2
Chứng minh rằng P, L, B1 và B2 cùng thuộc một đờng tròn
Cho C là điểm thuộc đờng tròn đờng kính AB, C khác A và B Gọi H kà hình chiếu vuông góc của C trên AB Đờng tròn đờng kính CH cắt CA, CB tại E, F và cắt đờng tròn đờng kinh AB tại D
Chứng minh rằng FE, CD, BA đồng quy
Cho hai đờng tròn ngoài nhau (O1) và (O2) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài A1A2 ,tuyến chung trong B1B2 (A1 ,B1 thuộc (O1) A2, B2 thuộc (O2)
Chứng minh rằng A1B1, A2B2, O1O2 đồng quy
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O), các đờng cao AA1, BB1,CC1; A2,
B2, C2 lần lợt là các điểm đối xứng với A1, B1, C1 qua trung điểm của BC, CA, AB
Đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AB2C2, BA2C2 ,CB2A2 cắt (O) lần thứ hai tại A3,
B3, C3
Chứng minh rằng A1A3, B1B3, C1C3 đồng quy
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), đờng tròn bàng tiếp góc A có tâm I tiếp xúc với BC, CA, AB tại M, N, P
Chứng minh rằng tâm đờng tròn Ơ-le của tam giác MNP thuộc đờng thẳng OI Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) và ngoại tiếp đờng tròn (I) Các điểm A’,
B’, C’ tơng ứng thuộc BC, CA, AB và thỏa mãn: ∠AIA' = ∠BIB' = ∠CIC' = 90 0
Chứng minh rằng các điểm A’, B’, C’ cùng thuộc một đờng thẳng và đờng thẳng ấy vuông góc với OI
Cho đờng tròn (O), hai đờng kính AB và CD Tiếp tuyến của (O) tại B cắt AC tại E,
DE cắt (O) lần thứ hai tại F
Chứng minh rằng AF, BC, OE đồng quy
Cho đờng tròn (O) và điểm M ngoài (O) Từ M, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD (A và B là tiếp điểm)
Chứng minh rằng tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau trên đờng thẳng CD
Trang 1314
15
16
17
(IMO 1985) Cho tam giác ABC Đuờng tròn (O) qua A và C cắt AB và AC lần nữa tại K và N Đờng tròn (ABC) và (KBN) cắt nhau tại B và M
Chứng mninh rằng góc OMB vuông
Cho tam gác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I là điểm thỏa mãn: IA+3IB+5IC=O Các tia AI, BI, CI cắt (O) tại A1, B1, C1
Tính
1 1 1
5 3
IC
IC IB
IB IA
IA
T = + +
Cho tam giác ABC, đờng cao AD, trực tâm H; M và N là trung điểm BC và AD Biết rằng AD = BC
Chứng minh rằng HN = HM
Cho đờng tròn (O) và hai điểm A, B đối xứng với nhau qua O Điểm M thay đổi trên (O) Các đờng MA, MB cắt (O) tại P và Q
Chứng minh rằng
BQ
BM AP
AM
T = +
không phụ thuộc vị trí M
(VMO - 2003)
Cho 2 đờng tròn (O1 ;R1 ), (O1 ;R1 ), R2 >R1 Điểm A thay đổi trên (O2) sao cho O1, O2,
A không thẳng hàng Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới (O1) (B và C là các tiếp
điểm) Các đờng MB, MC cắt (O2) lần nữa tại E và F Tiếp tuyến của (O2) tại A cắt
FE tại D
Chứng minh rằng điểm D luôn thuộc đờng cố định khi A thay đổi
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đờng tròn (S) và (T) cắt nhau tại A và
B Đờng thẳng d tiếp xúc với (S) và (T) tại D và C Biết toạ độ các điểm A, B, D là
) 0
; 4 ( ), 5
12
; 5
14 ( ),
6
;
10
A Tìm tọa độ điểm C và viết phơng trình đờng tròn (T)
Trang 14Tài liệu tham khảo
[1] Tài liệu bồi dưỡng chuyên môn giáo viên trường trung học phổ thông chuyên năm
2012, tr 207-219
[2] Các chuyên đề hình học trong tạp chí toán học tuổi trẻ
[3] Các chuyên đề hình học trong các trang web : diendantoanhoc.net, vnmath.com…