Tìm vị trí của mặt phẳng a chứa B và cách A một khoảng lớn nhất.. Tìm vị trí của đường thẳng d chứa B và cách A một khoảng lớn nhất.. Tìm vị trí của mặt phẳng a chứa d và cách A một kh
Trang 1BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN
Bài toán 1.
Cho hai điểm phân biệt A và B Tìm vị trí của mặt phẳng ( )a chứa B và cách A một khoảng lớn nhất.
Bài toán 2.
Cho hai điểm phân biệt A và B Tìm vị trí của đường thẳng d chứa B và cách A một khoảng lớn nhất.
Thí dụ 1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm B( ; ; )1 2 1- và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất.
Bài toán 3.
Cho hai điểm A và đường thẳng d không đi qua A Tìm vị trí của mặt phẳng ( )a chứa d và cách A một khoảng lớn nhất.
Thí dụ 2a Cho mặt phẳng ( ) a :(m- 1)x y mz+ + - =1 0 Tìm m để khoảng cách từ điểm A( ; ; )11 2 đến mặt phẳng ( )a lớn nhất.
HD: mp( )a chứa đường thẳng cố định d: x t y= ; = +1 t z; =- t
Thí dụ 2b Cho ba điểm A( ; ; ), B(2;1;0), C(2;0;2)111 Viết phương trình mặt phẳng ( )a đi qua hai điểm B, C
và cách điểm A một khoảng lớn nhất.
Bài toán 4.Cho hai đường thẳng d 1 , d 2 phân biệt và không song song với nhau Viết phương trình mặt phẳng
( )a chứa d 1 và tạo với d 2 một góc lớn nhất.
Thí dụ 3 Cho hai đường thẳng 1 1 2 1
Viết phương trình mặt phẳng ( )a chứa d 1 và tạo với d 2 một góc lớn nhất.
Bài toán 5: Cho mặt phẳng ( )a và điểm A thuộc ( )a , điểm B khác A.Viết phương trình đường thẳng d nằm trong ( )a , đi qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
Trang 2Thí dụ 4 Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 1; 1), vuông góc với đường thẳng d’: 1
1 2
x t
ì = ïïï = + íï
ï = + ïî
và
cách điểm B(2; 0; 1) một khoảng lớn nhất.
Bài toán 6: Cho mặt phẳng ( )a và điểm A thuộc ( )a ,đường thẳng d không song song hay nằm trên ( )a Viết phương trình đường thẳng Dnằm trong ( )a , đi qua A và tạo với đường thẳng d góc bé nhất, lớn nhất.
Bài toán 7: Cho mặt phẳng ( )a và điểm A thuộc ( )a ,đường thẳng d không song song hay nằm trên ( )a , không
đi qua A Viết phương trình đường thẳng Dnằm trong ( )a , đi qua A sao cho khoảng cách giữa Dvà d là lớn nhất
-Cách giải: -Dựng đường thẳng d’ đi qua A và song song d;
-Dựng B là giao điểm của d và ( )a ;
-Gọi H, C l 2 là hình chiếu của B lên d’ và ( )a ;
+ d d dBmpd[D =, ] [ , ( ', )D =] BH BC£ Þ Maxd d BC[D =, ] Û H Cº Û D ^BC nuur uuur, ( )a
Bài toán 8.Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B nằm ngoài mp(P) Tìm điểm M trên (P) sao cho:
a)MA MB+ là nhỏ nhất;
b)MA MB- lớn nhất.
Thí dụ 5.a Trong không gian với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A( ; ; )1 2 3 , B( ; ; )4 4 5 Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA MB+ là nhỏ nhất;
Thí dụ 5.b Trong không gian với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A( ; ; )- 1 3 2- , B( ; ; )- 9 4 9 và mặt phẳng (P):
2x y z- + + =1 0 Tìm điểm M trên (P) sao cho:
a)Tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất; b) MA MB- lớn nhất; c)MA MBuuur uuur+ nhỏ nhất.
HD: a) Nhận thấy A và B nằm cùng phía so với (P);
MAB=AB MA MB AB MA+ + = + ¢+MB AB A B³ + ¢
( )
MAB
b) MaxMA MB- =ABÛ M=AB PÇ( )
Min
MA MB+ = MI Þ MA MB+ Û MI^ P
uuur uuur uur uuur uuur
BÀI TẬP
1.Cho mặt phẳng ( ): x y z a + + - =1 0, điểm A( ; ; )11 1- và đường thẳng 1
a)Viết pt đường thẳng Dđi qua A, nằm trong ( )a sao cho khoảng cách giữa Dvà d lớn nhất;
b) Viết pt đường thẳng Dđi qua A, nằm trong ( )a sao cho góc giữa Dvà d bé nhất;
Trang 3c)Viết pt mặt phẳng ( )b chứa d và cách A một khoảng lớn nhất;
d)Viết pt mặt phẳng ( )b chứa d và tạo với ( ) a một góc lớn nhất, nhỏ nhất
2 Cho đường thẳng
1
1
m
ì = + ïïï
D íïï = += + -ïî
(tÎ ¡ )
a)Chứng minh Dmluôn lằm trong một mặt phẳng cố định và đi qua một điểm cố định;
b)Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến Dmlớn nhất, nhỏ nhất;
c)Tìm m để Dmtạo với trục Ox một góc bé nhất, nhỏ nhất;
d)Tìm m để khoảng cách giữa Dmvà trục Oy lớn nhất
3 Cho mặt phẳng (P):2x y z- + + =1 0và hai điểm M( ; ; ), ( ; ; )3 1 0 N - 9 4 9
a)Tìm điểm Mnằm trong (P) sao cho MA MBuuur uuur+ đạt giá trị nhỏ nhất
b) Tìm điểm Nnằm trong (P) sao cho NA NB- đạt giá trị lớn nhất