Viết phương trình mặt p phẳng P chứa d và tạo với trục Oy góc lớn nhất.. Qua điểm A trên d dựng đường thẳng d’ song song với Oy.. Vậy mặt phẳng P cần tìm vuông góc với MK tại K.. Viết p
Trang 1BÀI TOÁN 4 (CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ)
Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
t 2 z
t 2 y
t 1 x : ) d ( Viết phương trình mặt p
phẳng (P) chứa (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất
Lời giải tham khảo
Cách 1: Phương pháp hình học
Qua điểm A trên d dựng đường thẳng d’ song song với Oy Lấy điểm M trên d’ ; gọi K là hình chiếu của M trên d ta có : MAK (d,Oy) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P) thì MAH (d ,'P)(Oy,P) Như thế :
AM
MH sin
; AM
MK sin Trong tam giác vuông MHK thì MHMK sinsin max khi HK Vậy mặt phẳng (P) cần tìm vuông góc với MK tại K
Giải: A(1;-2;0) thuộc d Đường thẳng Oy có véctơ chỉ phương j (0;1;0)
; nên nếu d’ qua A
và song song với Oy thì d’ có phương trình là
0 z
t 2 y
1 x
Lấy M(1;-1;0) thuộc d’ thì hình
chiếu vuông góc của M trên d là
) 6
2
; 6
5
; 6
1 ( MK )
3
1
; 6
11
; 6
5 (
) Chọn véctơ pháp tuyến của (P) là n (1;5;2)
3
1 z ( 2 ) 6
11 y ( 5 ) 6
5 x (
Kết quả: (P): x+5y-2z+9= 0
Cách 2: Phương pháp giải tích
Lấy M(1;-2;0) d ; N(0;-1;2) d Đặt (P): Ax+By+Cz+D=0 A2 B2 C2 0
Do M và N thuộc (P) nên:
2
B A C
B 2 A D
0 A B 2 z 2
B A By Ax : ) P
Ta có VTPT của (P) là )
2
B A
; B
; A (
và VTCP của Oy là j (0;1;0)
Gọi (P,Oy) thì
AB 2 B 5 A 5
B 2 2
B A B A
B j
n
j n sin
2 2 2
2
+Nếu B=0 thì sin = 0 = 00
A x ( 5 x 2 x 2 B
A 2 5 B
A 5
2 sin
2
Xét hàm số
5 x 2 x 5
4 sin
) x
Trang 21 x 0 ) x ( ' f
; ) 5 x x (
) 2 x 10 ( 4 ) x ( '
6
5 khi
5
1
x
Vậy lớn nhất khi
5
1 B
A
Chọn A=1 và B=5 thì C=-2 , D= 9
Phương trình mặt phẳng (P): x+5y-2z+9=0
Vĩnh Long, ngày 10 tháng 6 năm 2009
GV Nguyễn Ngọc Ấn
**************************************************************************** Chú ý:
1/ Có thể viết
5 24 2 5
24 5
1 x 5
2 5
24 ) 25
1 x 5
2 x ( 5
2 sin
2 2
Do đó max(sin ) =
24
5 2 khi
5
1
x 2/ Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) và đường thăng d Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất
BÀI TOÁN 5 (CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ)
Bài Toán Minh Hoạ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: y 1 z 3
2
1 x
và mặt phẳng (P):x+2y-z+5=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất
Lời giải tham khảo Cách 1: Phương pháp hình học:
Gọi d’= (P)(Q) và A=d (P) thì A d’.Lấy K d,kẻ KH (P) và HI d’thì :
KIH (P,Q) Trong tam giác vuông KIH :
HI
KH tan , do KH không đổi nên:
tan nhỏ nhất HI lớn nhất I A (do HI HA)
Khi ấy thì d’ vuông góc với d Vậyd’đi qua A vuông góc với d và nằm trong (P)
Mặt phẳng (Q) cần tìm là mặt phẳng chứa d và d’
VTCP của d là u (2;1;1)
; VTPT của (P) là n (1;2; 1)
suy ra VTCP của d’ là
u' u ,nP (3;3;3) hay u' (1;1;1)
Do đó VTPT của mặt phẳng (Q) là:
nQ u , u' (0;3;3) hay nQ (0;1;1)
Điểm M(-1;-1;3)d M (Q)
Mặt phẳng (Q) cần tìm có phương trình: 0(x+1)+1(y+1)-1(z-3) = 0
y-z+4 = 0 Cách 2: Phương pháp giải tích
Đặt phưong trình mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz +D = 0 (A2 B2 C2 0)
Trang 3M(-1;-1;3) d ; N(1;0;4) d M;N (Q) Ta được:
B 4 A 7 D
B A 2 C
Do đó (Q): AxBy(2A B)z7A4B0 VTPT của (Q) là n (A;B; 2A B)
Ta có VTPT của mặt phẳng (P) là : n (1;2; 1)
.Gọi là góc giữa (P) và (Q) thì:
AB 4 B 2 A 5
B A
6
3 n
n
n n cos
2 2 Q
P
Q P
Ta xét hai trường hợp của A
Trường hợp 1: A=0 Ta được cos =
2
3 B
2
B 6
3
2
Trường hợp 2: A 0 Ta có
A
B 4 A
B 2 5
A
B 1
6
3 cos
2
Xét hàm số: f(x) = (x) cos )
A
B x ( 5 x 4 x
1 x x 6
2
2
2 2
5 x x 2
6 x 6 6
9 ) x ( ' f
f’(x) = 0 x= -1
Vậy cos2 <
4
3
2
3 cos
6
( Do hàm cosin x nghịch biến trên đọan
2
;
0 ) Trường hợp (1) và (2)
6 min
Khi ấy thì A=0 , ta chọn B=1 C= =1 và D= 4
Phương trình mặt phẳng (Q) : y-z+4 = 0
Hết Ghi Chú:
1/ Có thể xét hai trường hợp B=0 ; B0 ( Hoặc xét hai trưòng hợp A+B=0 ; A+B 0
như sách Bài tập nâng cao lớp 12 trang 240 )
2/ Bài toán 6: Cho hai điểm A;B và đường thẳng d Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d, viết phương trình đường thẳng có khoảng cách đến B là :
a) Lớn nhất b) Nhỏ nhất
f’(x) f(x)
0
0
4
3
4 3
Trang 4
-Bài Toán 6 (Cực Trị Trong Không Gian Toạ Độ)
Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(1;4;2) ; B(-1;2;4) và đường thẳng
t
2
z
t 2
y
t
1
x
:
d Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d ; hãy viết phương trình đường thẳng ()
có khoảng cách đến điểm B là : a) Nhỏ nhất b) Lớn nhất
Bài giải đề nghị.
Cách 1: Phương pháp hình học.
Gọi ()là đường thẳng qua A và cắt d; ()và d cùng thuộc măt phẳng (P)=
mp(A;d).
Gọi H là hình chiếu của B trên (P); K là hình chiếu của H trên ()thì BK () Vậy BK
chính là khoảng cách từ B đến ().
* Trong tam giác vuông BKH thì BK BH nên BK ngắn nhất khi K H Khi ấy
)
( đi qua hai
điểm A và H.
*Trong tam giác vuông BKA thì BK BA nên BK lớn nhất khi K A Khi ấy ()
đi qua A
nằm trong (P) và vuông góc với BA.
a) Trường hợp d(B, ()nhỏ nhất
Phương trình mp(P)= mp(A,d).
VTCP của d là a ( 1;1;2)
d
Hai điểm A(1;4;2) và M(1;-2;0) thuộc d và
) 2
; 6
; 0
(
AM
.
Do đó VTPT của mp (P) là n ad ,AM (10;2;6)
Ta chọn n (5;1;3)
.
Ta được phương trình mp(P): 5(x-1)-1(y+2)+3(z-0) = 0 5x-y+3z-7 = 0.
Gọi H là hình chiếu của B trên (P) Ta dễ dàng tìm được )
35
146
; 35
68
; 7
5 (
chỉ
7
76
; 7
72
; 7
12 (
AH
Chon VTCP của ()là a (15;18;19)
.
Ta đựoc phương trình của ():
19
2 z 18
4 y 15
1 x
b) Trường hợp d(B, ()lớn nhất
Trường hợp nầy thì () nằm trong (P) , đi qua A và vuông góc với BA.
Ta có AB (2;2;2)
; VTPT của (P) là n (5;1;3)
Do đó VTCP của ()là:
Trang 5
n , AB
a =(-4;16;12) Chọn a (1;4;3)
Ta được phương trình đường thẳng
3
2 z 4
4 y 1
1 x : )
Cách 2: Phương pháp giải tích.
Gọi M = d () thì M( 1-t;-2+t;2t) và ()có VTCP là AM (t t 6;2t 2)
.
Ta có: AB (2;2;2)
Do đó khoảng cách từ B đến đường thẳng ()là:
20 t 10 t 3
208 t 152 t
28 40
t 20 t 6
416 t 304 t
56 AM
AB , AM
2
2
2
Xét hàm số
20 t 10 t 3
208 152 t
28 d ) t
2
) 20 t 10 t 3 (
) 60 t 8 t 11 ( 16 ) t ( ' f
f(t)= 0 t = -2 hoặc t= 30/11.
Do
3
28 ) t ( lim
; 15
4 ) 11
30 ( 12 ) 2 (
x
nên Max f(t)= 12 khi t= - 2 và min f(t)= 4/5
khi= 30/11.
Với max f(t) = max d2= 12 , ta có max d= 12 khi t=-2 cho AM (2;8;6)
Chọn VTCP
của()là a (1;4;3)
ta được phương trình
3
2 z 4
4 y 1
1 x : ) (
Với min f(t)= mind2=4/15 , ta có min d=
15
2
khi
11
30
11
38
; 11
36
; 11
30 AM
Chọn VTCP của ()là a (15;18;19)
Ta được phương trình của ()là:
19
2 z 18
4 y 15
1 x
Hết
