đề thi học sinh giỏi đề số 2

Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.. Tính diện tích hình thang đó.

TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ 1 NĂM HỌC 2010- 2011

Môn: Toán - Khối: 10

Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)

(Đề thi gồm có 01 trang)

Câu I (2 điểm) Cho họ parabol: y x= 2+(m+2)x m+ 2−1 (P)

a) Khảo sát sự biiến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m=1.

b) Chứng minh rằng: ∀m đồ thị của các parabol luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định

Câu II (2 điểm)

1) Giải phương trình:3 x− +2 3 x+ =3 3 2x+1

2) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

x m x− ( +1) (x2−2x m+ 2) =0

Câu III (2 điểm)

1) Tìm m để phương trình x2−(m+2)x m+ 2+ =1 0có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

2 2

1 2 2 3 1 2

2) Giải hệ phương trình:

2 2

1





Câu IV (3 điểm)

1) Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta có:

abc cos A cos B cos C( + + ) =a p-a2( )+b p-b2( )+c p-c2( )

2) Cho 4 điểm A 1;3 ; B 0; 4 ;C 3;5 ; D 8;0(− ) ( ) ( ) ( ) Chứng minh rằng ABCD là hình

thang cân Tính diện tích hình thang đó

3) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và Sa, Sb, Sc theo thứ tự là diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB Chứng minh rằng:

S IA S IB S IC a.uur+ b.uur+ c.uur r=0

Câu V (1 điểm)

Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn: 3

4

a b c+ + =

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 1 3

P

=

Hết _ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm, thí sinh không được sử dụng tài liệu

ĐÁP ÁN

Bài 1

1

(1đ)

Với m= 1: y=x2+3x

TXĐ:R

Tọa độ đỉnh I(-3/2; -9/4) Trục đối xứng: x=-3/2

Hàm số đồng biến trên khoảng (-3/2;+∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-3/2) Bảng biến thiên:

x -∞ -3/2 +∞

y +∞ +∞

-9/4

Vẽ đồ thị: Đỉnh I(-3/2; -9/4) Giao ox: A(0;0); B(-3;0) Nhận đường thẳng x=-3/2 làm trục đối xứng

0.25

0.25

0.25

0.25

2

(1đ)

Gọi tiếp tuyến cố định là: y=ax+b

Khi đó phương trình sau có nghiệm kép với mọi m:

(2) có nghiệm kép với mọi m khi và chỉ khi

( )2 ( 2 )

2

2

4(1 ) (1 ) 4(1 ) 0

1 (1 ) 4(1 ) 0

b

⇔ − + + = ⇔ = − Vậy tiếp tuyến cố định là: y=x-1

0.25

0.25

0.25

0.25

Bài 2 1

2 3 2 1 0 1

2 2 3

x x x

 = −





⇔ =

 = −



 Thử lại: cả đều thỏa mãn.Vậy pt có nghiệm là:x=-1/2;x=2;x=-3

0.5

0.25

0.25

(1đ)

( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( ) ( ( ) ) ( )

2

0 (1)

x m

− ≥





Xét hệ trục Oxm Các điểm M(x,m) thỏa mãn (1) nằm dưới đường thẳng x-m=0(Phần không ghạch ở hình bên)

Các điểm M(x,m) thỏa mãn (2) thuộc các đường thẳng x=m và x=-1;

đường tròn tâm I(1;0) bán kính 1

gọi b là một giá trị cần tìm nếu đường thẳng m=b cắt 3 đường trên tại

2 điểm không thuộc phần ghạch chéo

Từ đồ thị suy ra giá trị của m cần tìm là:0≤ <m 1 ; m≤ −1

0.25

0.25

0.5

Bài 3

1

(1đ)

PT: x2−(m+2)x m+ 2+ =1 0 có 2 nghiệm

( )2 ( 2 )

Giả sử 2 nghiệm của pt là: x1, x2 Theo viet ta có:

1 2

2

1 2

2

+ = +



Theo gt:

( ) ( )

1 2

2

=



⇔  = TH1: x1=x2 kết hợp (*) ta có:

2

1

4 / 3 2

1

m

= +

 TH2: x1=2x2, kết hợp (*) ta có:

2 2

2

3

1 1/ 7

m m



=



⇔  = Vậy giá trị của m cần tìm là: m∈{0;1/ 7;1; 4 / 3}

0.25

0.25 0.25

0.25

(1đ)

Ta có:

( ) (2 )2

2 2

2

2

1 1

2 2

2 4 3 0( )

 =





 = = ±





⇔ = −





 Vậy nghiệm của hệ đã cho là 1

2

x= = ±y

0.5

0 5

3

(1đ)

2

S IA S IB+S IC 0 S IA S IB+S IC 0 a.IA b.IB+c.IC 0

r

uur uur uur r uur uur uur r

uur uur uur r +Do D là chân đường phân giác trong góc A nên ta có:

b c ID bIB cIC

uuur uuur uur uur uur uur uur uur uur

+ Do I là chân đường phân giác nên ta có:

( ) (2)

+

uur uur + Từ (1)và (2) suy ra điều phải chứng minh

0.5

0.25

0.25

Bài 4

1

(1đ)

Áp dụng định lý cosin ta có:

(cos cos cos )

( ) ( ) ( )

p= ⇒ − =p a + − p b− = + − p c− = + −

)

=> đ.p.c.m

0.25 0.25 0.25

0.250 25

2

(1đ)

Ta có:

( 5; 5) (3;1) ( 1; 3)

DC BC AD

=

= − −

=

= − −

uuur uuur uuur

Vì uuurAB k BC# uuur⇒ A B C, , không thẳng hàng (1) Mà DCuuur= −5.uuurAB⇒DC ABP

=>ABCD là hình thang

AB DC



<

0 5

0.25 0.25

Bài 5 1(đ)

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số dương ta có:

3

⇒ + + ≥

+ +

(*)

Áp dụng (*) ta có:

P

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương ta có:

3 3 3

3 1 1 1

3 1 1 1

3 1 1 1

+ + +

+ + +

Do đó: P≥3 Dấu = xảy ra

3

1 4

4

a b c

a b c

 + + =



 + = + = + =

 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi a=b=c=1/4

0.25