Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Chứng minh CI là tia phân giác của góc ACB Câu 4 2 điểm Chia một hình tròn thành 10 hình quạt bằng nhau, trong mỗi hình quạt đặt một viên bi hình vẽ.. Ngời ta thực hiện phép biến đổi

Câu 1 (6 điểm) Cho biểu thức:

1 1

1

−

+ + +

+

=

xy

x xy xy

x

1 1

1

−

+

− +

+

xy

x xy xy

x

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị của A nếu x= 14 + 6 5 ,

1 5

1 5

+

−

=

y

c) Cho x+y= 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Câu 2 (6 điểm)

a) Cho x là số thỏa mãn x2 − 2x+ 25 − x2 − 2x+ 9 = 2

Tính giá trị của biểu thức : B= x2 − 2x+ 25 + x2 − 2x+ 9

b) Tìm số tự nhiên n để n2 + 91 cũng là số tự nhiên

Câu 3 (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đờng cao AH

a) Giả sử BH=3cm;AC=2cm Tính diện tích tam giác ABC?

b) Giả sử BH=AC, trung tuyến BM của tam giác ABC cắt AH tại I Chứng minh CI là tia phân giác của góc ACB

Câu 4 (2 điểm)

Chia một hình tròn thành 10 hình quạt bằng nhau,

trong mỗi hình quạt đặt một viên bi (hình vẽ) Ngời ta

thực hiện phép biến đổi nh sau: Lấy hai hình quạt bất kì

có bi rồi chuyển từ mỗi hình quạt đó một viên bi sang

hình quạt liền kề nhng theo 2 chiều ngợc nhau (nếu một

viên ở một hình quạt đợc chuyển theo chiều kim đồng hồ

thì viên bi ở hình quạt kia chuyển theo chiều ngợc lại)

Hỏi sau một số hữu hạn các bớc biến đổi nh trên ta có thể chuyển tất cả các viên bi

vào một hình quạt đợc không? Vì sao ?

Phòng giáo dục quận Tây Hồ kỳ thi học sinh giỏi lớp 9

Phòng giáo dục quận Tây Hồ

Năm học 2010-2011

Môn thi : Toán Ngày thi: 27/9/2010 Thời gian làm bài: 120 phút

Trờng THCS Chu Văn An Năm học 2010-2011

Hớng dẫn chấm Thi môn toán

I.Hớng dẫn chung Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tơng đơng

II.Thang điểm và đáp án

b) Tìm điều kiện xác định : x ≠ -1; xy ≠ ± 1

Tính ra x= 3 + 5

2

5

3 −

=

Thay vào A đợc A= − 2

0,5 đ

1 đ

Câu1

6 đ c) áp dụng BĐT xy

y

x+ ) 2 ≥

2

Thay x+y= 2 và biến đổi dẫn đến A= −xy ≥ −21

Chỉ ra A= −xy = −21 khi

2

2

=

= y

x Và KL : GTNN của A là Amin = −21

0,25 đ 0,5 đ

0,25 đ a) Ta có B.2=( x2 − 2x+ 25 + x2 − 2x+ 9).( x2 − 2x+ 25 − x2 − 2x+ 9)=16

Suy ra B=16:2=8

2,5 đ 0,5 đ Câu 2

(6đ)

b) Đặt n2 + 91 =m⇒m>n và (m−n)(m+n) = 1 91 = 7 13; m+n>m-n

Xét 2 TH:

• m+n=91; m-n=1 ta đợc n=45

• m+n=13; m-n=7 ta đợc n=3 Thử lại đúng

• KL: n∈{3 ; 45}

2 đ

1 đ

Câu 3

6đ

a) Đặt CH=x ĐK: 0<x<2

AD hệ thức lợng: AC2 =CH.CB⇒ 2 2 =x(x+ 3 )

Giải PT: x2 + 3x− 4 = 0 ta đợc x1 = − 4<0 loại ;

) ( 1

2 TM

x =

BC=4cm; AH = 3cm⇒S ABC = 2 3cm2

I A

D

H M

0,5 đ

1,5 đ

1 đ

b) Vẽ tia Ax//BC; tia BM cắt tia Ax tại D,∆MAD= ∆MCB (g.c.g) ⇒ AD=BC

áp dụng định lí Ta-let ta có:

CH

CA CH BH

AC BH

CH AC BH

BC BH

AD IH

2 2

Từ đó chứng minh đợc CI là tia phân giác của góc ACB

1 đ 1,5 đ 0,5 đ

Câu 4

2 đ

Ta chứng minh không thể chuyển tất cả các viên bi

vào một hình quạt

-Tô các hình quạt bằng 2 mầu đen, trắng xen kẽ

(hình vẽ)

-Tổng số các viên bi trong các hình quạt đen bằng

tổng số các viên bi trong hình quạt trắng và bằng 5

-Theo cách biến đổi, tại mọi thời điểm thì tống số

viên bi trong trong các hình quạt đen và hình quạt

trắng đều là 1 số lẻ

0,5 đ 0,5 đ

0,5 đ

-Vậy không thể chuyển tất cả các viên bi vào một hình quạt( số bi trong hình quạt

đó là số chẵn)

0,5 đ