Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn ToánBài tập chương I Bài 1.. Từ đó suy ra mọi phương trình bậc lẻ hệ số thực đều có ít nhất một nghiệm thực.. Bài tập Hàm biến phức
Trang 1Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
Bài tập chương I
Bài 1 Thực hiện các phép tính sau
a) (3 5i 4 i− ) ( + ) b) (2 3i 3 7i+ ) ( + )
c) 3 i
4 5i
−
2 7i+ e) 1 i
1 i
−
1 i 3−
Bài 2 Tìm các căn số phức sau
Bài 3 Tìm môđun và argument của các số phức sau
3 i
+ + c) − +3 i 3 d) (1 i 1 i 3− ) ( + )
e) ( )2
1 i 3
1 i
+
− − Bài 4 Tìm các số thực x, y sao cho
a) (1 2i x+ ) (+ −3 5i y 1 3i) = − b) (3 i x− ) (+ −1 2i y 1 4i) = +
c) (2 3i x− ) (+ +1 3i y 4 5i) = + d) (2 3i x+ ) (+ 3i 1 y 7 4i− ) = +
Bài 5 Chuyển sang dạng lượng giác rồi tính các số phức sau
a) ( )7
c) ( )2009
1 i− 3 i+
Bài 6 Chứng minh rằng
a) ( )8n n
1 i+ = −1 4
Bài 7 Giải các phương trình sau
a) x4+6x3+9x2+100 0= b) x4+2x2−24x 72 0+ =
c) z2+ + =z 1 0 d) z2+2i.z 5 0− =
e) z4−3i.z2+ =4 0 f) z2− +(1 i z 6 3i 0) + + =
Bài 8 Cho số phức a cos +isin= ϕ ϕ Tính số phức z 1 a
1 a
−
= + Bài 9 Cho đa thức f (t) t= −4 4 1 i t( + ) 3+12it2−8i 1 i t 5( + ) −
Trang 2Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
a) Tính f (1) và f (i)
b) Giải phương trình f (t) 0=
Bài 10 Cho phương trình n n 1
a x a x − a x a 0
−
+ + + + = , với ak∈R k 1, n( = ) Biết
α là một nghiệm của phương trình Chứng minh rằng α cũng là nghiệm của phương trình Từ đó suy ra mọi phương trình bậc lẻ hệ số thực đều có ít nhất một nghiệm thực
Bài 11 Chứng minh rằng nếu z 1 2sin
z
+ = α thì 4k
4k
1
z
Bài 12 Chứng minh rằng nếu z 1 2sin
z
+ = α thì n
n
1
z
Bài 13 Tìm các số phức z sao cho z7 và 12
z là hai số phức liên hợp của nhau Bài 14 Giải phương trình: z2 −(1+i)z+6+3i =0
Bài 15 a) Giải phương trình: x6 +x5+x4 +x3 +x2 + x+1=0
b) Gọi các nghiệm của phương trình trên là ε1,ε2, ,ε6 Hãy tính tổng:
5 6
5
1
1+ε + +ε
=
Bài 16 Cho số phức z = x +iy thoả mãn: (x+1)2 +(y−2)2 =0 Hãy tìm max(argz) và min(argz) ?
Bài 17 Tìm điều kiện cần và đủ để 3 số phức z1,z2,z3 thẳng hàng.
Bài 18 Xác định biên của các miền sau
a) D={z : Re z 0, 0 Im z 1> < < }
b) D={z : z 1 1− > }
c) D={z : z 1 0− > }
d) D z : z 0, z 1, n N
n
Bài 19 Xác định biên của các miền sau
a) Im z Re z >
b) Im z> z
c) z.z Re z>
Bài 20 Tìm phần thực và phần ảo của các hàm số sau
a) f (z) iz 2z= + 2 b) f (z) 2i z iz= − + 2
c) f (z) z i
i z
+
=
2
z z 1
f (z)
iz z
+ +
= +
Trang 3Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
Bài 21 Tìm f (z) biết phần thực và phần ảo của nó là
a) u x; y( ) = +x y ; v x; y( )= −x y
b) u x; y( ) =x2− −y2 2y 1 ; v x; y− ( ) =2xy 2x+
c) u x; y( ) 1 ; v x; y( ) 1
Bài 22 Tìm ảnh của họ đường cong sau đây qua hàm số w f(z) 1
z
a) Họ đường tròn x2 +y2 =ax
b) Họ đường tròn x2 +y2 =by
c) Chùm đường thẳng song song y x b= +
d) Chùm đường thẳng đi qua điểm z z= 0
Bài 23 Cho hàm số w f(z) 1
z
= = Hãy tìm a) Ảnh của đường thẳng x c=
b) Ảnh của đường tròn z 1 1− =
c) Tạo ảnh của đường thẳng u c=
Bài 24 Cho biết 2 đỉnh liên tiếp z1, z2 của đa giác đều n cạnh Tìm đỉnh z kề với 3
đỉnh z ?2
Bài 25 Chứng minh rằng với mọi z1, z2ta luôn có bất đẳng thức:
2 1 2
Bài 26 Giải phương trình z4(1−i 3)506 =( 3+i)1329
Bài 27 Xác định biên của các miền sau
a) Im z Re z>
b) Im z> z
c) z.z Re z >
Bài 28 Tìm phần thực, phần ảo của số phức z=(−1−i)20(− 3+i)15
Bài 29 Giải phương trình: z2 −(1+i 3)z−1+i 3 =0
Bài 30 a) Giải phương trình x2 +x 3+1=0 (1)
b) Gọi các nghiệm của phương trình (1) là α và α Cho đa thức:
1 ) 2 3 ( ) 3 1 ( 2 )
2 3 ( )
(x = x4 + − x3 + − x2 + − x+
P
Hãy tính P(α)? từ đó tìm các nghiệm còn lại của phương trình P(x) =0.
Bài 31 CMR nếu z1+z2 +z3 =0 và z1 = z2 = z3 =1, thì 3 điểm z1,z2,z3 lập
thành một tam giác đều nội tiếp hình tròn đơn vị
Trang 4Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
Bài 32 Cho hàm số
z z
w= + 1 Hãy tìm ảnh của đường tròn z = R?
Bài 33 Dựa vào công thức Moavơrơ, hãy biểu diễn tan5x theo tan x
Bài 34 Cho phương trình f(x) =4x4 −24x3 +57x2 +18x−45 =0
a) Tính f(3+i 6)
b) Giải phương trình f(x) =0
Bài 35 Tìm số phức z thoả mãn: z4 = z+z
Bài 36 Tìm ảnh của miền {0< x<1} qua hàm số
z
z
w= −1
Bài 37 Giải phương trình (z+i)4 −(z−i)4 =0
Bài 38 Cho a là số thực dương và tập
z z C z
nhất và giá trị lớn nhất của z khi z∈M
Bài 39 Cho hàm số
i
z i z z f
+
+
=
1 ) ( Tìm phần thực, phần ảo của f(z) Chứng tỏ rằng ảnh của một đường tròn qua hàm f là một đoạn thẳng?
Bài 40 Tìm tất cả các số phức z sao cho: 4z2 +8|z|2=8
Bài 41 Tìm số phức z ≠0 sao cho
z
z+1 là số thực?
Bài 42 Cho z1 =1+i,z2 =−1−i Tìm z sao cho tam giác 3 z1z2z3 đều?
Bài 43 Tìm z sao cho
= +
=
1
1
z
z z z z
Trang 5Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
Bài tập chương II (Đạo hàm và tích phân hàm biến phức)
Bài 1 Xét tính khả vi của các hàm số sau
a) f( )z = z
b) f( ) (z = z z−i)z+1+i
c) f( )z = x2 −y2 −i2xy
d) f( )z = x2 −y2 −2xy+i(2xy+x2 −y2)
1
−
e z
f
f) f( )z =arg z
Bài 2 Xác định các số thực a, b, c để hàm số sau giải tích trên C
( )z x ay i(bx cy)
Bài 3 Bằng định lý Cauchy-Riemann chứng minh rằng hàm số z ln là hàm khả vi
trên C\{0} và ( )
z ' z
ln = 1
Bài 4 Tìm những miền mà tại đó hàm số f( )z = x2 − y2 +2i xy là giải tích
Bài 5 Cho hàm số ( ) ( ) ( )
=
≠ +
−
−
+
=
0 0
0 1 1
2 2
3 3
z ,
z , y
x
i y i x z f
Chứng tỏ rằng hàm số trên liên tục và thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann tại 0
=
z nhưng không khả vi tại đó
Bài 6 CMR hàm số f( )z = xy thoả mãn các điều Cauchy-Riemann tại z=0 nhưng tại đó hàm số không có đạo hàm
Bài 7 Khảo sát tính giải tích của hàm số ( ) ( )
=
≠ +
+
=
0 0
0 4 2 2
z ,
z , y x
iy x xy z
f
Bài 8 Khảo sát tính giải tích của hàm số ( )
=
≠
=
0 0
0
e-z4
z ,
z , z
f
Bài 9 Tính các tích phân sau
a) = ∫
L
xdz
I , với L là đoạn gấp khúc nối từ A(0;0) đến B(1;1) đến C(1;2)
b) = ∫
L
xdz
I , với L là đường tròn z−a = R
c) = ∫
L
dz z
z
I , với L là biên của miền {1< z <2, Im z>0}
d) = ∫
L
dz z z
I , với L là biên của miền {z <1, Im z>0}
Trang 6Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
e) = ∫
L
dz z
I , với L là nửa trên của Elip 1
4 2
2
=
x
lấy ngược chiều KĐH
f) = ∫ ( )
L
dz z
I 2 , với L là đường cong y = x2 +1 nối từ điểm z =i đến điểm
i
z=1+2
Bài 10 Tính các tích phân sau
a) = ∫
L
dz z
I 1 , với L là đường {z =1}, y≥0, 1=1
b) = ∫
L
dz z
I 1 , với L là đường {z =1}, y≥0, 1=−1
2
a R
R a
z a z
dz
R
π
<
+
−
∫
=
Bài 12 Tính các tích phân sau
3
2 2
1
z
dz z
=
+ +
−
∫
b) ( ) (3 )2
4 2
cos
z
z dz
Bài 13 Tính các tích phân sau
4
cos
z
z dz
∫
b)
sin
2 1
z
z dz z
π
∫
2 2
sin sin 1
z
dz
=
−
−
∫
1
sin
z i
z dz
z i
+ =∫ +
Bài 14 Tính tích phân ∫ +
dz
9
2 trong các trường hợp sau
a) 3i∈D L ,−3i∉D L
b) −3i∈D L ,3i∉D L
c) ±3i∈D L
Bài 15 Tính các tích phân sau
Trang 7Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
+ +
=
2
2
3 1
1 2
z
dz z
z z I
=
=
2 4
2 3
5 1
z
dz z
z
z cos I
Bài 16 Giả sử chu tuyến L giới hạn một miền kín D có diện tích S CMR
a) xdz iS
L
=
∫
b) ∫ =−S
L
ydz
c) z dz 2iS
L
=
∫
Bài 17 Chứng minh rằng
( )
2
2 1
2 !
2
!
n
z
n
=
+ =
∫
b) 2 ( )2 ( ) ( )
2 0
2 !
!
d
n
π
θ θ = π
∫
c) 2( )2 ( ) ( )
2 2 0
2 ! cos
2 ! 2
n
n
n d
n
π
π
θ θ =
d) 2( )2 ( ) ( )
2 2 0
2 ! sin
2 ! 2
n
n
n d
n
π
π
θ θ =
∫
Trang 8Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
Bài tập chương III (Chuỗi Taylor - Laurent)
Bài 21 Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau theo lũy thừa z z− 0 Xác định miền hội tụ của chuỗi tìm được
1
2 z
−
1
− +
1
1 z z = i
−
0 sin z +4 ,z z = −2
1
, z 2
f) 2 4 1
0
Bài 8 Khai triển Taylor hàm f quanh lân cận điểm z z= 0 đã được chỉ ra
1
1
z z
+ + b) ( ) ( ) ( 2 ) ( 4 ) 0
1
0
1
d) ( )
1
1
z
− e) ( )
1
1
z
+ f) ( )
1
1
z
+
Bài 9 Không khai triển thành chuỗi, hãy tìm bán kính hội tụ của chuỗi Taylor của
các hàm sau quanh lân cận các điểm đã chỉ ra
1
1
z
+
1
sin
z
1 , 1
+ +
1
1 tan
z
−
Trang 9Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
Bài 10 Tìm khai triển Maclaurin của các hàm sau, xác định miền hội tụ
a) e−z2
b) (1−z e) − 2z
4
z
z
+
d) 2
sin z
3
1+ −z 2z
f) ( )2
2
z
z
+
−
2
2 19
− +
Bài 11 Tìm khai triển Laurent của các hàm sau trong lân cận của điểm đã chỉ ra
−
b) z(11 z), z=0, z=1, z= ∞
−
c) z e2 1z, z=0, z= ∞
2
2
4
2
z z
−
Bài 12 Tìm khai triển các hàm sau trong hình vành khăn đã chỉ ra
2
2
− + < < < − <
b) ( 11) ( 2) , 1 2, 1 3 2
z
+ < < < − <
sinz < < ∞z
d)
2 3
3
3
2
+
−
+
−
z z
z z
, z <1, 1< z <2, 2< z <∞
Bài 13 Tìm khai triển Laurent của các hàm sau trong lân cận các điểm bất thường
hữu hạn của chúng
a)
2
1 cos )
(
−
=
z z
f
b)
1 sin )
(
−
=
z
z z
f
c)
z z
f( )=sin1
Trang 10Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
d) f(z) =e1z
Bài 13 Tìm khai triển Laurent của các hàm sau trong lân cận của điểm vô cùng
a) f(z)=e z
b)
) 1 (
1 )
(
−
=
z z z
f
) 1 (
1 )
(
+
=
z z
f
−
−
=
b z
a z z
f( ) ln
Trang 11Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
Bài tập chương IV (Thặng dư và ứng dụng)
Bài 1 Tính thặng dư của các hàm sau tại các điểm bất thường khác ∞
a)
2 1
2
z
z
+
−
2
2
2 1
z
* ,
1
n
n
z
n
d) ( 2 )
1
e)
1
1 sin
2
f) 2( 2 4)
z
e
Bài 2 Tính thặng dư của các hàm sau tại các điểm bất thường (kể cả điểm ∞) a) cos z3
z
b) ( )
4
3 1
z
c) 1 2
1 z−
d) ( 2 ) ( )2
1
e) sin1
z
f) sin2
9
z
Bài 3 Tính các thặng dư sau
a)
1 Rese z+z,0
b)
1
1
n z
z e
z
−
Bài 4 Tính các tích phân sau bằng thặng dư
a)
6 4sin
z
dz z
− =∫
Trang 12Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
b)
1
1
2
1
z
z
e
dz z
∫
z
dz
z
∫
d) ( ) ( 5 )
z
dz
∫
e) 21 2
2
z
zdz
z
∫
f)
5 3
4
12 1
z
dz z
=
+
+
∫
*
n
z
−
Tìm tất cả các giá trị có thể nhận của tích phân ∫ f z dz( )
γ trong đó γ là chu tuyến không đi qua cực điểm nào của hàm f z( )
Bài 6 Hãy tính các tích phân sau bằng thặng dư
n
z
z dz
z
∫
1
z
dz
=
≤ < <
∫
c)
2 1
n z
z
z e dz
=
∫
Bài 7 Tính tích phân ( 2) 1 11 12
3
z
=
∫
Bài 8 Tính ( ) ( )
21
z
z
∫
Bài 9 Tính thặng dư của các hàm sau tại các điểm bất thường đã chỉ ra
a)
1
1 cos )
−
=
z z
z
b) f(z) =cot2 z, z0 =kπ
c)
z z
f( )=sin1, z0 =0
d)
z z
f( )=sin1, z0 =∞
5 1 )
z
Trang 13Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
+
−
=
1
1 ln )
(
z
z e z
g)
9
sin )
+
=
z
z z
h)
z z
z z
1 )
−