độ đo thực và khoảng cách xác suất

[DH] Giả sử f là một hàm xác định trên X với giá trị trong R và có tích phân trên X.. Cho không gian đo được X, A trong đó X là tập hợp tùy ý cho trước, A là một σ-đại số các tập con của

I wake up in the morning so far away from home

Many miles are between us

LỆ NGUYÊN - TRÌNH VĂN DŨNG

ĐỘ ĐO THỰC

VÀ KHOẢNG CÁCH XÁC SUẤT

MTV

Mục lục

Trang

Mục lục .2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Tích phân Lebesgue 3

1.2 Các bất đẳng thức 4

Chương 2 Độ đo thực 5

2.1 Khái niệm độ đo thực 5

2.2 Khai triển Haln 8

2.3 Khai triển Jordan 11

Chương 3 Một số kết quả nhận được 18

3.1 Tính duy nhất của khai triển Jordan 18

3.2 Một số kết quả khác 22

Chương 4 Khoảng cách xác suất 25

4.1 Khoảng cách biến phân toàn phần và khoảng cách Hellinger 25

4.2 Mối liên hệ giữa khoảng cách biến phân toàn phần và khoảng cách Hellinger 36

4.3 Một số ví dụ .37

4.4 Các khoảng cách xác suất khác 40

Tài liệu tham khảo 42

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi nhắc lại một cách ngắn gọn các kiến thức, thuậtngữ và kí hiệu cần thiết cho các chương sau

Cho không gian độ đo ( X,A,µ), trong đó A là σ-đại số trên X

Định lý 1.1.1 [DH] Cho f là hàm đo được trên X Nếu f ≥ 0 trên A, A ∈ A,

A ⊂ X và R

A

f dµ = 0 thì f = 0 hầu khắp nơi trên A

Định lý 1.1.2 [DH] Giả sử f là một hàm xác định trên X với giá trị trong R

và có tích phân trên X Xét hàm tập định nghĩa bởi:

Lebesgue và hai tích phân đó trùng nhau, nghĩa là:

Bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức H¨older

Định lý 1.2.2 ( Bất đẳng thức Minkowski) [N L] Cho A ∈ A, f, g là hai hàm

số đo được trên A và 1 ≤ p < +∞ Khi đó

A

|f |pdµ
1

p +Z

A

|g|pdµ
1

p

Độ đo thực

Định nghĩa 2.1.1 Cho không gian đo được (X, A) trong đó X là tập hợp tùy

ý cho trước, A là một σ-đại số các tập con của X, ánh xạ ϕ : A −→ R được gọi

là một độ đo thực hay độ đo suy rộng (độ đo dấu) nếu nó thỏa mãn điều kiệnsau:

Với mọi dãy {An}∞

(ii)ϕ là một độ đo thực thì ϕ có tính chất cộng tính hữu hạn

(iii) Nếu A, B ∈ A, A ⊂ B thì ϕ(B \ A) = ϕ(B) − ϕ(A)

(iv) Độ đo xét trước đây có thể không phải là một độ đo thực vì nó có thểbằng +∞

Định nghĩa 2.1.3 Một tập E ⊂ X được gọi là dương nếu E ∈ A và nếu mọi

A ⊂ E, A ∈ A đều có độ đo không âm Tương tự tập E ⊂ X được gọi là tập

5

âm nếu E ∈ A và nếu mọi A ⊂ E, A ∈ A đều có độ đo không dương Một tập

E ⊂ X đồng thời dương và âm được gọi là tập không

Mệnh đề 2.1.4 Mọi tập con đo được của một tập con dương của X là một tậpcon dương; hợp của một họ đếm được những tập con dương của X là một tậpdương

Chứng minh Phần đầu của mệnh đề là hiển nhiên ,để chứng minh phần sau tagiả sử E =

Bằng cách lập luận tương tự ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1.5 Mọi tập con đo được của một tập con âm của X là một tập

âm Hợp của một họ đếm được những tập con âm của X là một tập âm

Mệnh đề 2.1.6 Mọi tập con đo được E của X mà ϕ(E) < 0, đều chứa mộttập con âm D với ϕ(D) < 0

Chứng minh Nếu E là một tập con âm thì ta lấy D = E và mệnh đề đượcchứng minh Ngược lại E chứa những tập con có độ đo dương Gọi n1 là số tựnhiên nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập con đo được E1 của E với

Nếu E \ E1 là một tập âm thì ta lấy D = E \ E1 và mệnh đề được chứngminh Trong trường hợp ngược lại E \ E1 chứa các tập con có độ đo dương Gọi

n2 là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập con đo được E2 của E với

ϕ(E2) > 1

n2

,

ta thấy ϕ(E2) và ϕ(E \ (E1∪ E2)) ∈ R nên

ϕ(E \ (E1∪ E2)) = ϕ(E) − ϕ(E1) − ϕ(E2) < 0

Tiếp tục quá trình này ta sẽ được hoặc một tập con âm D của E với ϕ(D) < 0hoặc một dãy {ni}∞i=1 những số tự nhiên và một dãy {Ei}∞i=1 những tập con đođược rời nhau của E với

Giả sử A là một tập con tùy ý, đo được của D Với mỗi i ∈ N ta có

2.2 Khai triển Haln

Định lý 2.2.1 (Định lý phân tích Haln) Giả sử ϕ là một độ đo thực trên σ-đại số A của không gian X Khi đó tồn tại một tập con dương P và một tậpcon âm Q của X đối với ϕ sao cho

X = P ∪ Q; P ∩ Q = ∅

Chứng minh Ta xem F là họ tất cả các tập con âm của X và đặt λ = inf

E∈Fϕ(E).Khi đó tồn tại dãy {En}∞n=1 ⊂ F sao cho lim

En theo mệnh đề trên thì Q là một tập con âm của X vì vậy

ta có ϕ(Q) ≥ λ Mặt khác xem tập con Q \ En của Q, vì Q là tập âm nênϕ(Q \ En) ≤ 0 do đó

ϕ(Q) = ϕ(En) + ϕ(Q \ En) ≤ ϕ(En),điều này đúng với mọi n ∈ N nên ta phải có ϕ(Q) ≤ λ Vậy ϕ(Q) = λ ≤ 0

Ta hãy chứng minh P = X \ Q là tập dương Giả sử P không phải là tậpdương, khi đó theo định nghĩa tồn tại một tập con đo được E của P với ϕ(E) < 0suy ra E chứa một tập con âm D của X với ϕ(D) < 0, vì D và Q là những tậpcon âm rời nhau của X nên D ∪ Q là một tập âm hơn nữa

λ ≤ ϕ(D ∪ Q) = ϕ(D) + ϕ(Q) = ϕ(D) + λ,thành thử ϕ(D) ≥ 0 mâu thuẫn với điều kiện ϕ(D) < 0 Do đó ta có điều phảichứng minh

Nhận xét 2.2.2 Cặp {P, Q} trong định lý trên được gọi là một khai triểnHaln của X đối với độ đo thực, dễ dàng thấy rằng khai triển Haln nói chungkhông phải là duy nhất vì ta có thể chuyển một tập con không, không rỗng từthành phần này sang thành phần kia mà không ảnh hưởng đến sự phân tích.Chẳng hạn giả sử A là tập con không của P khi đó ta có

(P \ A) ∪ (P ∪ Q) = X; (P \ A) ∩ (A ∪ Q) = ∅

ϕ(P \ A) = ϕ(P ) + ϕ(A) = ϕ(P ) ≥ 0ϕ(Q ∪ A) = ϕ(A) + ϕ(Q) = ϕ(Q) ≤ 0

Hơn nữa với mọi B ∈ A, B ⊂ (P \ A) thì B ⊂ P do đó ϕ(B) ≥ 0 (P là tậpdương)

Với mọi B ∈ A, B ⊂ (A ∪ Q) thì B = B ∩ (A ∪ Q) = (B ∩ A) ∪ (B ∩ Q) dođó

Do đó ϕ(E ∩ (P \ P0)) = 0 tương tự ϕ(E ∩ (P0\ P )) = 0 Từ đây ta có

ϕ(E ∩ P ) = ϕ{E ∩ (P ∩ P0)} + ϕ{E ∩ (P \ P0)} = ϕ{E ∩ (P ∩ P0)}ϕ(E ∩ P0) = ϕ{E ∩ (P ∩ P0)} + ϕ{E ∩ (P0\ P )} = ϕ{E ∩ (P ∩ P0)}

Như vậy ta có

ϕ(E ∩ P ) = ϕ(E ∩ P0)tương tự ta củng có được

ϕ(E ∩ Q) = ϕ(E ∩ Q0)

Ta đi xây dựng các hàm sau:

Định nghĩa 2.2.4 Với một độ đo thực ϕ : A −→ R tùy ý, từ khai triểnHaln và định lý trên ta xây dựng được ba hàm xác định một cách duy nhất

Ta có

ϕ+(A) = ϕ(A ∩ P ) ≥ 0, ∀A ∈ A

ϕ+(∅) = ϕ(∅ ∩ P ) = ϕ(∅) = 0

ϕ(E) = ϕ+(E) − ϕ−(E), ∀E ∈ A.

Định nghĩa 2.2.6 Cho ϕ là một độ đo thực trên A Ta nói rằng độ đo ϕ tậptrung trên tập A0 ∈ A nếu ϕ(E) = 0 với ∀E ∈ A, E ⊂ (X \ A0)

Hai độ đo thực ϕ1,ϕ2 được gọi là kì dị đối với nhau nếu chúng tập trung trêncác tập rời nhau Khi đó ta viết ϕ1⊥ϕ2

Định lý 2.3.1 Cho ϕ là một độ đo thực trên A và A ∈ A Ta đặt V (ϕ, A) =

Chứng minh Giả sử ngược lại V (ϕ, X) = +∞, khi đó bằng quy nạp ta chứngminh được rằng tồn tại một dãy {An}∞

V (ϕ, Ak+1) = V (ϕ, Ak+1\ A) = +∞ và ta có

|ϕ(Ak+1)| = |ϕ(Ak\ A)| = |ϕ(Ak) − ϕ(A)| ≥ |ϕ(A)| − |ϕ(Ak)|

≥ |ϕ(Ak)| + k − |ϕ(Ak)| = k = (k + 1) − 1

Như vậy ta đã xác định được dãy {An}∞n=1 có các tính chất đã nêu, hơn nữa

vì dãy {An}∞n=1 giảm nên ta có

Nhận xét 2.3.2 Số V (ϕ, A) được gọi là biến phân toàn phần của ϕ trên A,còn V (ϕ, A), V (ϕ, A) tương ứng là biến phân dương và biến phân âm của ϕtrên A Ta thấy rằng V (ϕ, A) ≥ 0 ≥ V (ϕ, A), V (ϕ, A) ≥ 0.

Định lý 2.3.3 (Khai triển Jordan) Giả sử ϕ là một độ đo thực, khi đó biếnphân toàn phần V (ϕ, A), biến phân dương V (ϕ, A) và biến phân âm V (ϕ, A) là

σ - cộng tính trên A Ngoài ra ta có khai triển Jordan như sau:

ϕ(A) = V (ϕ, A) + V (ϕ, A), ∀A ∈ A (∗)

A 1 ⊂A,A 1 ∈Aϕ(A1) ≥ inf

A 1 ⊂X,A 1 ∈Aϕ(A1)

do đó

V (ϕ, A) ≤ ϕ(A) − V (ϕ, A)

Vậy

ϕ(A) = V (ϕ, A) + V (ϕ, A)

Định nghĩa 2.3.4 Giả sử (X, A) là một không gian đo được, µ, ν là hai độ

đo thực trên σ -đại số A, ta nói µ liên tục tuyệt đối đối với ν nếu µ(E) = 0 vớimọi tập E đo được thỏa mãn điều kiện |ν|(E) = 0, khi đó ta viết µ << ν.Nhận xét 2.3.5

(i) Nếu µ là một độ đo thực và f là hàm khả tích đối với độ đo |µ| và nếu νđược định nghĩa ν(E) = R

E

f d|µ| với mọi E ∈ A thì ν << µ

(ii) Nếu µ, ν là hai độ đo trên σ -đại số A thì µ << µ + ν

(iii) Giả sử µ, ν, m là các độ đo trên σ -đại số A Nếu µ << ν và ν << mthì µ << m

Định lý 2.3.6 ( Định lý Random - Nikodym) Nếu độ đo m : A −→ R củakhông gian (X, A) là σ-hữu hạn trên A, ϕ là một độ đo dương hữu hạn ϕ << mthì tồn tại một hàm đo được không âm f : X −→ R sao cho

ϕ(E) =

Z

E

f dm

với mọi E ∈ A Hàm f là hầu duy nhất theo nghĩa nếu g là hàm đo được, không

âm với tính chất trên thì f ∼ g đối với m (f = g hầu chắc chắn)

Hàm f được gọi là hàm mật độ của độ đo ϕ đối với độ đo m.Ta thường kíhiệu dmdϕ = f hay dϕ = f dm

Định nghĩa 2.3.7 Nếu µ là một độ đo thực và f là một hàm đo được sao cho

f khả tích đối với |µ| thì chúng ta định nghĩa:

Một số kết quả nhận được

Mệnh đề 3.1.1 Hai độ đo hữu hạn ϕ1, ϕ2 : A −→ R là kỳ dị đối với nhau khi

và chỉ khi tồn tại một tập con đo được E của X sao cho ϕ1(E) = 0 = ϕ2(X \ E).Chứng minh Giả sử tồn tại một tập con đo được E của X sao cho ϕ1(E) = 0 =

ϕ2(X \ E) khi đó E và X \ E là hai tập rời nhau và hơn nữa với ∀A ⊂ E, A ∈ A

ta có ϕ1(A) = 0; với ∀A ⊂ X \ E, A ∈ A ta có ϕ2(A) = 0 Do vậy ϕ1 tập trungtrên X \ E và ϕ2 tập trung trên E, chứng tỏ ϕ1⊥ϕ2

Ngược lại: Giả sử ϕ1⊥ϕ2 khi đó có D, E ∈ A, D ∩ E = ∅ sao cho ϕ1 tậptrung trên D, ϕ2 tập trung trên E Vì ϕ2 tập trung trên E nên ϕ2(X \ E) = 0,

ta có D ∩ E = ∅ nên E ⊂ X \ E Vì ϕ1 tập trung trên D nên từ điều trên suy ra

ϕ1(E) = 0 Như vậy tồn tại E ∈ A, E ⊂ X sao cho ϕ1(E) = 0 = ϕ2(X \ E) =0

Nhận xét 3.1.2

(i) ϕ+, ϕ− là kỳ dị đối với nhau, thật vậy ta có ϕ+(Q) = ϕ(Q ∩ P ) = 0,

ϕ−(P ) = ϕ(P ∩ Q) = 0 (Trong đó {P, Q} là một khai triển Haln )

(ii) Nếu ϕ là một độ đo thực và ϕ = ϕ1− ϕ2 trong đó ϕ1, ϕ2 là hai độ đo và

ϕ1, ϕ2 kỳ dị đối với nhau thì ϕ1 = ϕ+, ϕ2 = ϕ−

Theo phép chứng minh của Sze-Tsen Hu - Cơ sở giải tích toán học 1978

18

Vì ϕ1, ϕ2 kỳ dị đối với nhau nên có Q ∈ A, Q ⊂ X sao cho ϕ1(Q) = 0 =

Mệnh đề 3.1.3

ϕ+(A) = V (ϕ, A), ϕ−(A) = |V (ϕ, A)|

Chứng minh Theo định lý khai triển Jordan thì V (ϕ, A), V (ϕ, A) có tính σ cộng tính, hơn nữa V (ϕ, ∅) = 0, V (ϕ, ∅) = 0 và V (ϕ, A) ≥ 0, |V (ϕ, A)| ≥ 0 vớimọi A ∈ A nên V (ϕ, A), |V (ϕ, A)| là hai độ đo trên σ- đại số A.Ta có

ta chỉ cần chứng tỏ V (ϕ, A) và |V (ϕ, A)| kỳ dị đối với nhau.

Với mỗi số nguyên dương n tồn tại Bn sao cho ϕ(Bn) ≥ V (ϕ, X) − 21n Khi

∞

T

k=1

Bn(k = 1, 2, ) lập thànhmột dãy tăng và |V (ϕ, B)| là một độ đo nên ta có

ϕ−(A) = |V (ϕ, A)| = − inf

A ⊂A,A ∈Aϕ(A1)

Từ đây ta có thể gọi một khai triển Jordan của một độ đo thực ϕ : A −→ R

là một cặp {ϕ1, ϕ2} gồm hai độ đo ϕ1, ϕ2 kỳ dị đối với nhau và thỏa mãn

Chứng minh Do ϕ là một độ đo suy rộng trên σ- đại số A nên tồn tại tập dương

P và tập âm Q con của X đối với ϕ sao cho

do đó

inf

F ⊂E,F ∈Aϕ(F ) ≥ −ϕ−(E)

Hơn nữa ta có E ∩ Q ⊂ E mà −ϕ−(E) = ϕ(E ∩ Q) nên kết hợp với điều trên

ta suy ra

ϕ−(E) = − inf

F ⊂E,F ∈Aϕ(F )

(2) Cho ϕ : A −→ R là một độ đo thực thì ta luôn có

−ϕ−(E) ≤ ϕ(E) ≤ ϕ+(E) ; |ϕ(E)| ≤ |ϕ|(E)với mọi E ∈ A

với mọi γ = {E1, E2, , En} ∈ Ω(E) Lúc đó ta có

|ϕ|(E) = sup{λ(γ)|γ ∈ Ω(E)}

Chứng minh Với mọi E ∈ A , với γ ∈ Ω(E) bất k, γ = {E1, E2, , En} ∈ Ω(E)

Suy ra

sup{λ(γ)|γ ∈ Ω(E)} ≤ |ϕ|(E)

Do ϕ là một độ đo suy rộng trên σ- đại số A nên tồn tại tập dương P và tập

âm Q con của X đối với ϕ sao cho

|ϕ|(E) = sup{λ(γ)|γ ∈ Ω(E)}

Mệnh đề 3.2.2 Giả sử (X, A, m) là một không gian độ đo f : X −→ R là mộthàm khả tích.Ta xác định một hàm ν : A −→ R bằng cách đặt

do đó ϕ1, ϕ2 là hai độ đo kỳ dị đối với nhau, điều đó chứng tỏ

ϕ1(E) = ν+(E) , ϕ2(E) = ν−(E)

Vì vậy

|ν|(E) = ν+(E) + ν−(E)

=Z

E

|f |dm,

dễ thấy ν+, ν−, |ν| là những độ đo hữu hạn

4.1.1 Khoảng cách biến phân toàn phần

Định nghĩa 4.1.1 Gọi µ và ν là hai độ đo xác suất trên Ω, khi đó khoảng cáchbiến phân toàn phần được định nghĩa như sau:

|µ(A)−ν(A)| ≥ 0 với mọi µ, ν ∈ M; và dT V(µ, ν) =

0 ⇔ µ(A) = ν(A) với mọi A ⊂ Ω, A ∈ A ⇔ µ = ν

(ii) Với mọi µ, ν ∈ M thì dT V(µ, ν) = dT V(ν, µ)

(iii) Với mọi µ, ν, τ ∈ M thì ta có

|µ(A) − ν(A)| ≤ |µ(A) − τ (A)| + |τ (A) − ν(A)|

25

Như vậy dT V là một mêtric, mêtric này có giá trị nằm trong đoạn [0, 1].

Biến phân toàn phần của một độ đo thực ϕ trên một σ- đại số A những tậpcon của Ω được định nghĩa là số V (ϕ, Ω) Theo những kết quả trước ta đã biết

Ai là phân hoạch đo được của Ω

Giả sử ϕ là liên tục tuyệt đối đối với độ đo λ nào đó, gọi f là hàm mật độcủa độ đo ϕ đối với độ đo λ (ϕ << λ) khi đó

Dễ thấy với µ, ν là hai độ đo xác suất trên Ω, lúc đó sẽ tồn tại ít nhất một

độ đo λ sao cho µ << λ và ν << λ,thí dụ ta có thể lấy λ = µ+ν2

Mệnh đề 4.1.2 Giả sử λ là độ đo thỏa mãn µ << λ và ν << λ, lúc đó nếugọi p, q lần lượt là hàm mật độ của độ đo xác suất µ, ν đối với độ đo λ thì

dT V(µ, ν) = 1

2Z

Ω

|p − q|dλ

dT V(µ, ν) = sup

A∈A

µ(A) − ν(A)

= 12Z

Phép chứng minh ở trên cho ta một kết quả thú vị sau:

Chứng minh Điều này có được vì

Ai là phân hoạch đo được của Ω

Mệnh đề 4.1.5 Giả sử µ, ν là những độ đo xác suất trên Ω, lúc đó

dT V(µ, ν) = 1

2max|h|≤1

Z

Trước tiên ta đi giải quyết bài toán sau:

Bổ đề 4.1.6 Giả sử f là một hàm không âm trên Ω khả tích đối với độ đo λ Xét hàm tập ν : A −→ R cho bởi ν(A) =R

Chứng minh Ta đi xét từng trường hợp:

Trường hợp g là hàm đặc trưng g = χE với E ∈ A

Trường hợp g là hàm đơn giản trên A, giả sử g(x) =

A

gf dλ

Trường hợp g là hàm đo được không âm Khi đó tồn tại một dãy đơn điệutăng các hàm đơn giản không âm (gn)n hội tụ về g Ta có (gnf )n là một dãyđơn điệu tăng các hàm không âm hội tụ về gf , do đó theo định lý Levi về sựhội tụ đơn điệu ta được

mật độ của độ đo xác suất µ, ν đối với độ đo λ Khi đó với mỗi h đo được,

|h(x)| ≤ 1 ta có

Z

Ω

h(p − q)dλ ... data-page="33">

4.1.2 Khoảng cách Hellinger

Định nghĩa 4.1.9 Giả sử µ ν hai độ đo xác suất Ω, λ độ đo thỏamãn µ << λ ν << λ; gọi p, q hàm mật độ độ đo xác suất µ, νđối với độ đo λ Khi khoảng cách. .. class="text_page_counter">Trang 31

mật độ độ đo xác suất µ, ν độ đo λ Khi với h đo được,

|h(x)| ≤ ta có

Z

Ω... class="page_container" data-page="34">

trong f , g hàm mật độ độ đo µ, ν độ đo λ + ϕ, đó

Vì dH(µ, ν) khơng phụ thuộc vào cách chọn λ

Ω

(p + q − 2√

p√q)dλ