Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh BÀI TOÁN 1: Sử dụng tham số ở phương trình tham số của đường BÀI TOÁN 2: Sử dụng vectơ pháp tuyến của đường thẳng trong BÀI TOÁN
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH Ở HÌNH HỌC TỌA ĐỘ
Người thực hiện: Nguyễn Sỹ Duẩn Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2019
Trang 2MỤC LỤC
1 MỞ ĐẦU 2
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
BÀI TOÁN 1: Sử dụng tham số ở phương trình tham số của đường
BÀI TOÁN 2: Sử dụng vectơ pháp tuyến của đường thẳng trong
BÀI TOÁN 3: Sử dụng vectơ chỉ phương của đường thẳng trong
BÀI TOÁN 4: Sử dụng vectơ pháp tuyến ở phương trình của mặt
phẳng trong không gian 12 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động dạy học: 14
3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 14 3.1 Kết luận 14 3.2 Kiến nghị 14
Trang 31 MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài.
Hình học ở chương trình THPT là môn học mà đa số học sinh đều cảm thấy khó tiếp thu kiến thức đặc biệt là phần tính khoảng cách và tính góc Các em thường gặp khó khăn về phương pháp, không biết bắt đầu từ đâu
Khi giải các bài toán về khoảng cách và góc lớn nhất, nhỏ nhất ở hình giải tích lớp 10 và lớp 12 thì đa số học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn ở phương pháp
sử dụng hình vẽ để so sánh độ dài đoạn thẳng với nhau và so sánh góc với nhau, việc này đòi hỏi ở học sinh phải có khả năng tư duy tốt trong hình học dặc biệt
là trong không gian Trong khi đó nếu học sinh sử dụng tham số để đưa về xét hàm thì nhiều bài toán trở nên đơn giản và sẽ tránh được việc phải sử dụng hình
vẽ phức tạp
Trong sách bài tập và nhiều tài liệu tham khảo ở các bài toán này chủ yếu sử dụng phương pháp hình học, điều này là khó đối với đa số học sinh
Từ thực tế giảng dạy, khi đưa ra các bài toán về góc và khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất gải bằng cách đưa về xét hàm số thì học sinh đều có khả năng tiếp thu và cảm thấy hứng thú với phương pháp này
Từ những lý do trên tôi chọn đề tài “ Phương pháp hàm số giải một số bài toán cực trị về góc và khoảng cách ở hình học tọa độ ” góp phần giúp học sinh
và đồng nghiệp học tốt và dạy tốt môn hình học lớp 10 và 12
1.2 Mục đích nghiên cứu:
Hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải nhanh các bài tập về khoảng cách và góc lớn nhất, nhr nhất
Việc nghiên cứu đề tài sẽ giúp cho giáo viên và học sinh có thêm công cụ để giải quyết một số bài tập về cực trị trong hình học
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài sẽ nghiên cứu về việc tìm khoảng cách và góc lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học tọa độ phẳng và tọa độ trong không gian
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
Đề tài được xây dựng dựa trên các công thức về góc, khoảng cách Các ví dụ được đưa ra từ dễ đến khó và được phân chia theo các dạng bài tập sử dụng tham số của đường thẳng, sử dụng tọa độ vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương, từ
đó biến đổi đưa về tìm GTLN, GTNN của hàm số
Đề tài sử dụng phương pháp thống kê và xử lý số liệu: Thống kê các bài toán
ở cùng một dạng và đưa ra cách xử lý bài toán đó
Trang 42 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1 Các công thức về khoảng cách và góc:
* Đường thẳng có vtpt ( hoặc vtcp ) ; có vtpt ( hoặc vtcp )
Gọi là góc của hai đường thẳng Khi đó: (
)
* Cho (P): và M( ) , Khi đó: d(M, (P)) =
* Cho (P) có vtpt và (Q) có vtpt Gọi giữa hai mặt phẳng
* Cho (P) có vtpt và dường thẳng có vtcp là Gọi là góc của (P) và
2.1.2 Các dạng bài toán:
BÀI TOÁN 1: Sử dụng tham số ở phương trình tham số của đường thẳng BÀI TOÁN 2: Sử dụng vectơ pháp tuyến của đường thẳng trong mặt
phẳng.
BÀI TOÁN3: Sử dụng vectơ chỉ phương của đường thẳng trong không gian.
BÀI TOÁN 4: Sử dụng vectơ pháp tuyến ở phương trình của mặt phẳng trong không gian.
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Ở một số bài tập thì học sinh chọn cách vẽ hình để tìm lời giải, tuy nhiên đây là cách mà học sinh phải có tư duy tốt trong hình học
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Cho mặt phẳng (P): x + 2y – z +5
= 0 và đường thẳng d:x21y11z1 3 Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d sao cho ( ) tạo với (P) một góc nhỏ nhất
Trang 5Cách 1 ( Sử dụng hình vẽ):
d cắt (P) tại I, ( ) )(P
Lấy A thuộc d rồi kẻ AH (P)
góc giữa d với (P) là góc AIH
Kẻ HK góc giữa( ) với (P)
Là góc AKH
AI
AH AK
AH sin
góc góc giữa( ) với (P) lớn nhất
bắng góc AIK
Ta có d có chỉ phương là u (2;1;1); (P) có vectơ pháp tuyến là n(1;2;1)
sinAIK = cos(u,n) 21 góc AIK = 30 0 Ta viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và tạo với (P) một góc bằng 30 0
Đường thẳng d đi qua hai điểm M(-1;-1;3) và N(1;0;4)
Giả sử mặt phẳng ( ):axbyczd 0 (a2 b2 c2 0) Vì ( )đi qua M và N nên:
b a d
b a c d
c
a
d c
b
a
4 7
2 0
4
0 3
phương trình ( ) 0
4 7 ) 2
ax
)
( có vectơ pháp tuyến là n1 (a;b;2a b); (P) có vectơ pháp tuyến là
)
1
;
2
;
1
(
1
Gọi là góc giữa hai mặt ( ) và (P) Khi đó:
2 1
2 1 2 1
) , cos(
cos
n n
n
n n n
2
2 4
5
.
6
3
b ab a
b a
6
3
4 5
.
b ab a
b a
0 4
5 )
(
2 2 2 2
a b a ab b a (chọ b= 1) ( ) :y z 4 0
Cách 2: (sử dụng phương pháp hàm số)
Đường thẳng d đi qua hai điểm M(-1;-1;3) và N(1;0;4)
Giả sử mặt phẳng ( ):axbyczd 0 (a2 b2 c2 0) Vì ( )đi qua M và N nên:
b a d
b a c d
c
a
d c
b
a
4 7
2 0
4
0 3
phương trình ( ) 0
4 7 ) 2
ax
d
K
A
Trang 6( có vectơ pháp tuyến là n1 (a;b;2a b); (P) có vectơ pháp tuyến là
)
1
;
2
;
1
(
1
Gọi là góc giữa hai mặt ( ) và (P) Khi đó:
2 1
2 1 2 1
) , cos(
cos
n n
n
n n n
2
2 4
5
.
6
3
b ab a
b a
Ta có nhỏ nhất cos lớn nhất
TH1: b 0 cos 303
TH2: 0 cos 2 23((5 22 24 22))
b ab a
b ab a
b
Ta xét hàm ( ) 522 24 11
t t
t t t
1
0 0
) 1 4 5 (
6 6 )
/
t
t t
t
t t t
f
5
1 ) ( lim
)
(
f t f t
t
So sánh hai trường hợp trên ta thấy cos lớn nhất khi 0 0 a 0
b
a t
(chọn b =1)
Phương trình mặt phẳng ( ) :y z 4 0
Nhận xét: Rõ ràng ở cách 1 đòi hỏi ở học sinh phải có tư duy rất cao trong
không gian
2.3 Các giải pháp giải quyết vấn đề:
BÀI TOÁN 1: Sử dụng tham số t ở phương trình tham số của đường thẳng:
1) Phương pháp:
Bước 1: Chuyển phương trình đường thẳng về phương trình tham số và chọn điểm thuộc đường theo tham số t
Bước 2: Áp dụng công thức khoảng cách, góc và xét hàm số theo biến t
2) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho :x 2y 1 0 và hai điểm A(1;1), B(0;2) Tìm toạ độ điểm M trên sao cho :
a) 2MA 2 MB2 có giá trị nhỏ nhất b) Tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất Giải:
có phương trình tham số: 1 2 M( 1 2t;t)
t y
t x
3
1 ( 15 7 10 15 ) 2 ( ) 1 2 ( ] ) 1 ( 4 [ 2
2MA2 MB2 t2 t 2 t 2 t 2 t2 t t 2
2 2
2MA MB
3
1
; 3
5 ( 3
1 3
16 t M
Trang 7
b) Ta có: AB = 2, phương trình AB: x y 2 0 Chu vi tam giác MAB nhỏ nhất khi và chỉ MA + MB nhỏ nhất
MA + MB = 5t2 2t 1 5t2 5 Xét hàm f (t) 5t2 2t1 5t2 5
Ta có:
7
1 )
1 2 5 ( 25 ) 5 5 ( ) 1 5 (
0 ) 1 5 ( 5 0
5 5
5 1
2 5
1 5
)
2 2
t t t t
t
t t t
t t
t
t
t
f
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra MA + MB nhỏ nhất khi và chỉ khi )
7
1
; 7
9 ( 7
t
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(0;2), B(0;3) và đường
thẳng d:x y 1 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt d sao cho khoảng cách từ B đến là lớn nhất
Giải:
Đường thẳng d có phương trình tham số:
1
t y
t x
Giả sử cắt d tại (; 1) ( ; 1)
t t AM t
t
0 2 )
1 ( 0 ) 2 ( )
0
)(
1
(t x t y t x ty t
1
0 0
) 1 2 2 (
2 2 )
( )
( 1 2 2 1
2 2
)
,
2
2 2
t t
t
t t t
f t f t
t
t d
t t
t B
d
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên f(t)max 1 t 1 :y 2
t 1/7
- 0 +
t 0 1
0 + 0
1
0
Trang 8Ví dụ 3:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Cho hai điểm A(1;01), B(2;1;0)
và đường thẳng : 11 21 1
x y z Tìm điểm M thuộc sao cho khoảng cách
từ M đến AB là nhỏ nhất
Giải:
Điểm M M( 1 t; 1 2t; t) Ta có: AB ( 1;1; 1); AM (t;12t;t1)
) 2
3
; 2
; 2
5 ( 2
3 3
6 6 2 ] , [
)
,
M t
d t
t AB
AM AB
M
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết
A(2;3;2), B(6;-1;-2), C(-1;-4;-3) và D(1;6;-5) Tìm điểm H trên đường thẳng CD sao cho tam giác ABH có chu vi nhỏ nhất
Giải:
Ta có:
) 8
; 10
; 2 (
CD phương trình đường thẳng CD: 11 54 4 3
x
) 4 3
; 5 4
; 1
H
CD
H ; HA (3t;75t;1 4t)
; HB (7t;35t;5 4t) Chu vi tam giác HAB nhỏ nhất khi và chi khi HA + HB nhỏ nhất
HA + HB = 42t2 84t 59 42t2 84t 83 f(t)
Ta có: f /(t) 42t422 t8442t59 42t422 t8442t83 0 t 1
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên f(t)Min t 1 H( 0 ; 1 ; 1 )
Ví dụ 5:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4)
và đường thẳng d:x 11y12 2z
Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt d, hãy viết phương trình mà khoảng cách từ B đến nó là lớn nhất, nhỏ nhất
Giải: Giả sử là đường thẳng qua A và cắt d tại M( 1 t; 2 t; 2t)
t - 1
- 0 +
Trang 9
Ta có : 283 15210 20208
40 20 6
416 304 56
, )
,
2
2
t t
t t
t t
t t
AM
AB AM B
d
Xét hàm f (t)
20 10 3
208 152
28 2
2
t t
t
11 30
2 0
) 20 10 3 (
) 60 8 11 ( 16 )
/
t
t t
t
t t t
f
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có: f(t)Max t 2 và f(t)Min t 1130
Đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đó lớn nhất là 1: 11 44 32
Đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đó nhỏ nhất là 2 : 151 184 192
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;0) và điểm
B(0;2;1) Tìm trên trục Oz điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất
Giải: Điểm M thuộc Oz nên M(0;0;t), khi đó: MA (1;0;t)
, MB (0;2;1 t)
MA + MB = 1 t2 4 ( 1 t) 2 t2 1 t2 2t 5 f(t)
) 1 ( ) 1 ( ) 5 2 (
0 ) 1 ( 0 5 2
1 1
)
2 2
/
t t t
t t
t t t
t
t t
t
t
f
3
1 3
1
;
1
0 )
1
(
t
t
t
t
Bảng biến thiên:
t -2 30/11
+ 0 - 0 +
48
t 1/3
- 0 +
Trang 10
Từ bảng biến thiên ta có: MA + MB nhỏ nhất )
3
1
; 0
; 0 ( 3
t
BÀI TOÁN 2: Sử dụng vectơ pháp tuyến của đường thẳng trong mặt
phẳng:
1) Phương pháp:
Bước 1: Đường thẳng đi qua M(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến n ( b a; ) có phương trình: ( ) ( ) 0 ( 2 2 0 )
0
0
x a
Bước 2: Sử dụng công thức khoảng cách, góc và đưa về hàm theo biến t =b a
2) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1;0), B(2;1) Viết
phương trình đường thẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến là lớn nhất
Giải:
Đường thẳng đi qua A và có vectơ pháp tuyến n ( b a; ) có phương trình:
) 0 (
0 0
) 0 (
)
1
(x b y axby a a2 b2
a
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
)
,
(
b a
ab b
a d b a
b a b
a
a b a
B
d
TH1: b 0 d 1
1
1 2
t
t t d
) 1 (
2 2 )
t
t t
f
Bảng biến thiên:
So sánh hai trường hợp trên ta thấy d( b, ) lớn nhất khi và chỉ khi 1 1
b
a t
( chọn a 1 b 1) :x y 1 0
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(2;1) Viết phương trình
đường thẳng đi qua M và cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất
Giải:
Đường thẳng đi qua M và có vectơ pháp tuyến n ( b a; ) có phương trình:
) 0 (
0 2
0 ) 1 (
)
2
(x b y axby a b a2 b2
a
t -1 1
0 + 0
1 2
0 1
Trang 11) 0
;
2 (
a
b a A Ox
A ; ( 0 ;2 )
b
b a B Oy
B 2 . a2 b2
ab
b a
AB
0
ab )
.
2 2
1 ).
, (
.
2
1
2
2 b a
b a AB
O
d
S ABC
b a b
a ab
b
2
2 .( 2 )
2
1
(vì 2 0
a
b
a
và 2 0 ab 0
b
b a
) xét hàm: f(t) 4t2 t4t1 (với o
b
a
t ) / ( ) 4 22 1 0 t12
t
t t f
bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có: f t Min t b 2a
2
1 8
) ( (chọn a 1 b 2) Vậy: :x 2y 4 0
BÀI TOÁN3: Sử dụng vectơ chỉ phương của đường thẳng trong không gian.
1) Phương pháp:
Bước 1: Gọi vectơ chỉ phương của đường thẳng là u (a;b;c) và sử dụng giả thiết để tìm mối liên hệ giữa a, b, c
Bước 2: Sử dụng công thức khoảng cách, góc và dưa về xét hàm số
2) các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;1), B(1;1;1)
và
(P): x + y – z = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là lớn nhất
Giải:
Gọi u (a;b;c) là vectơ chỉ phương của và n( 1;1; 1) là vectơ pháp tuyến của (P)
Ta có: u.n 0 ab c0 cab u (a;b,ab)
t 1/2
- 0 +
8
Trang 12; 0
; ( , )
0
;
1
;
0
2 2
2 2
2 2 2
2 2
, )
, (
b ab a
b ab a
u
u AB B
d
TH1: b 0 d 1
TH2:
2 2 2
1 2 2
t t
t t d
b (Với t b a) Xét hàm:
2 2 2
1 2 2 ) ( 22
t t
t t t f
) 2 2 2 (
2 )
t t
t t
f ; lim f(t)lim f(t)1
t
So sánh hai trường hợp trên thì: d( B, ) đạt giá trị lớn nhất b 0 (chọn a = 1)
Phương trình
t x
y
t x
1 0
1 :
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Cho hai điểm A(3; 0; 1), B(1;
-1; 3) và mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất
Giải:
Gọi là đường thẳng đi qua A và song song với (P) Gọi u (a;b;c) là vectơ chỉ phương của và n ( 1; 2;2) là vectơ pháp tuyến của (P)
Ta có: u.n 0 a 2b2c0 a2b 2c u (2b 2c;b;c)
) 2 6
; 8 4
; 2 ( , )
2
;
1
;
4
2 2
2 2
5 8 5
69 84
56
, )
,
(
c bc b
c bc b
u
u AB B
d
TH1: c 0 d 565
TH2:
5 8 5
69 84 56
t t
t t d
c (Với t b c) Xét hàm: ( ) 56522 848 569
t t
t t t
f
Ta có:
2 11 7
6 0
) 5 8 5 (
132 130 28
)
/
t
t t
t
t t
t
f
Ta có: lim ( ) lim ( ) 565
f t f t
t
7
6 (
f ; ) 44984
2
11 (
f
Trang 13So sánh hai trường hợp trên thì min 112 112
c
b t
2
1 11
16
3 : ) 2
;
11
;
26
(
BÀI TOÁN 4: Sử dụng vectơ pháp tuyến ở phương trình của mặt phẳng trong không gian.
1) Phương pháp: Gọi phương trình mặt phẳng có dạng: axbyczd 0 (
0 2
2
2 b c
a ),rồi sử dụng giả thiết để đưa phương trình về hai hoặc ba tham số
c
b
a ,,
2) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường
thẳng d: x2 11y z22 Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d sao cho
khoảng cách từ A đến ( ) lớn nhất
Giải:
Đường thẳng d đi qua hai điểm M(1;0;2) và N(-1;-1;0)
Giả sử mặt phẳng ( ):axbyczd 0 (a2 b2 c2 0) Vì ( )đi qua M và N nên:
b a d
b a c
d
b
a
d
c
a
2
2 0
0 2
2
2
by a b z a b ax
ab b
a
b d
ab b
a
b b
a b
a
b a b a b
a A
d
4 5 8
81 4
5 8
9 )
2
2 (
) 2
2 ( 3 5
2
))
(
,
2 2 2
2
2
TH1: b 0 d 0
5 4 8
81
t t d
1 )
( 18 2
9 ) 2
1 2 ( 2
81 5
4 8
81 )
(
2
t t
t t
So sánh hai trường hợp trên ta thấy d(A, ( )) lớn nhất 41 41
b
a t
(chọn a 1 b 4) ( ) :x 4yz 3 0
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(-3;0;-3) và
B(0; 4; -4).Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến ( ) lớn nhất
Giải:
Giả sử mặt phẳng ( ):axbyczd 0 (a2 b2 c2 0) Vì ( )đi qua A nên:
0 3 3 :
) ( 3 3 0
3