lý thuyết và bài tập chương 2 hình học

tổng hợp tài liệu ôn tập môn toán ,tài liệu ôn tập môn toán đầy đủ chi tiết dành cho học sinh lớp 12 và giáo viên nghiên cứu học tập và tham khảotổng hợp tài liệu ôn tập môn toán ,tài liệu ôn tập môn toán đầy đủ chi tiết dành cho học sinh lớp 12 và giáo viên nghiên cứu học tập và tham khảo

CHUYÊN ĐỀ MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU

BÀI 1 MẶT NÓN TRÒN XOAY

- -1/ Định nghĩa: Cho đường thẳng  Một đường thẳng l cắt  tại O và tạo với  một gĩc  khơng đổi 00  900 Mặt trịn xoay sinh bởi đường thẳng l khi

quay quanh  gọi là mặt nĩn trịn xoay (hay đơn giản là mặt nĩn)

: trục của mặt nĩn

l : đường sinh của mặt nĩn.

O : đỉnh của mặt nĩn.

2: gĩc ở đỉnh

2/ Hình nĩn và khối nĩn:

a/ Hình nĩn: Cho mặt nĩn N với trục , đỉnh O và gĩc ở đỉnh là 2

Gọi  P là mặt phẳng vuơng gĩc với  tại I I O , cắt mặt phẳng theo thiết diện là đường trịn (C ) ;  P là mặt phẳng vuơng gĩc với '  tại O.

Khi đĩ phần của mặt nĩn N giới hạn bởi hai mặt phẳng  P và  P cùng với' đường trịn (C ) được gọi là hình nĩn

b/ Khối nĩn: Là phần khơng gian giới hạn bởi hình nĩn, kể cả hình nĩn đĩ.

3/ Diện tích hình nĩn và thể tích khối nĩn:

Cho hình nĩn N cĩ chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy R.

* Diện tích xung quanh của hình nĩn

1 2

xq

S  chu vi đáy đường sinh hay S xq Rl

BÀI TẬP

Baìi 1: Cho hai điểm A B, cố định Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và cách B một đoạn không đổi

2

AB

a  Chứng minh rằng d luôn nằm trên một

mặt nón tròn xoay

Baìi 2: Trong mặt phẳng  P cho điểm O cố định Xét những đường thẳng d thay đổi luôn đi qua O và hợp với  P một góc 300 Chứng minh rằng d luôn

nằm trên một mặt nón xác định

Baìi 3: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h20cm, bán kính đáy R25cm Một mặt phẳng  P đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của

đáy là 12cm Hãy xác định thiết diện của  P với khối nón và tính diện tích

thiết diện đó

Baìi 4: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn

đáy sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và  SAO 30 ,0 SAB 600 Tính độ

dài đường sinh của hình nón theo a.

Baìi 5: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn

nội tiếp hình vuông A B C D' ' ' '

Baìi 6: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh

góc vuông bằng a

a Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.

b Tính thể tích của khối nón tương ứng.

c.Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 600 Tính diện tích của thiết diện này

Baìi 7: Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và có góc giữa

các mặt bên và mặt đáy là  Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và 

3/ S SAB 500cm2 ; 4/ l a 2 ; 5/ 2 5

4

xq

a

S  ; 6/ a 2 2

2

xq

a

2

2 1 2

tp

a

S   ; b 3 2

12

a

V  ; c 2 2

3

a

S  ; 7/

2

2 cos tan 4

xq

a





BÀI 2 MẶT TRỤ TRÒN XOAY

- -1/ Định nghĩa: Cho đường thẳng  Một đường thẳng l song song với  và cách

 một khoảng khơng đổi R Mặt trịn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay

quanh  gọi là mặt trụ trịn xoay (hay đơn giản là mặt trụ)

: trục của mặt trụ

l : đường sinh của mặt trụ.

R : bán kính của mặt trụ.

2/ Hình trụ và khối trụ:

a/ Hình trụ: Cho mặt trụ cĩ trục , đường sinh l và bán kính R.

Cắt mặt trụ bởi 2 mặt phẳng  P và  P cùng vuơng gĩc với '  ta được thiết

diện là hai đường trịn (C ) và (C’ ).

Khi đĩ phần của mặt trụ giới hạn bởi hai mặt phẳng  P và  P cùng với hai'

S chu vi đáy đường sinh hay S xq 2Rl

* Thể tích khối trụ

V diện tích đáy chiều cao hay V R h2

BÀI TẬP

Baìi 1: Cho một đường tròn nằm trên mặt phẳng  P Từ một điểm M nằm trên đường tròn ta kẻ đường thẳng m vuông góc với mặt phẳng  P Chứng minh rằng những đường thẳng m như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay.

Baìi 2: Cho mặt phẳng P , một điểm A nằm trên P , một điểm B nằm ngoài  P sao cho hình chiếu H của B lên  P không trùng với A Một điểm M chạy trong

mặt phẳng  P sao cho ta luôn có  ABM BMH Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên một mặt trụ tròn xoay có trục là AB.

Baìi 3: Cho khối trụ có bán kính R5cm, khoảng cách hai đáy bằng 7cm Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm Tính diện tích của thiết diện

Baìi 4: Cho khối trụ có chiều cao bằng 20cm và có bán kính đáy bằng 10cm

Người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lược trên hai đáy sao cho chúng hợp

với nhau một góc 300 Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối trụ đó Hãy tính diện tích của thiết diện.

Baìi 5: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình

vuông

a.Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b.Tính thể tích của khối trụ tương ứng.

c Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.

Baìi 6: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng R 3; A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300

a.Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b.Tính thể tích của khối trụ tương ứng.

c Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.

ĐÁP SỐ

3/ S 56 cm2 ; 4/ S 200 2 3 cm2 ; 5/ a S xq 4R2 ;

BÀI 3 MẶT CẦU

- -1/ Định nghĩa: Cho điểm O cố định và một số thực dương R Tập hợp tất cả

những điểm M trong khơng gian cách O một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm

O, bán kính R.

K/h: S O R ; 

2/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:

Cho mặt cầu S O R và mặt phẳng  ;   P Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của O

lên  P  d OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng  P Khi đĩ:

+ Nếu d R : mặt cầu và mặt phẳng khơng cĩ điểm chung

+ Nếu d R : mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

Lúc đĩ:  P tiếp diện của mặt cầu

H : tiếp điểm.

+ Nếu d R : mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là đường trịn cĩ tâm

H và bán kính r  R2  OH2

3/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:

Cho mặt cầu S O R và đường thẳng  ;   Gọi H là hình chiếu của O lên  Khi đĩ:

+ OH  R:  khơng cắt mặt cầu

+ OH R:  tiếp xúc với mặt cầu

+ OH R:  cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt

4/ Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu:

Cho S O R Khi đĩ: ; 

* Diện tích mặt cầu: S 4R2

* Thể tích khối cầu: 4 3

3

BÀI TẬP

Baìi 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và

 

a.Chứng minh hình chóp S.ABC nội tiếp trong một mặt cầu.

b.Cho SA BC a  và AB a 2 Tính bán kính mặt cầu nói trên

Baìi 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA ABCD và SA a 3 Gọi O là tâm hình vuông ABCD và k là hình chiếu của B trên SC.

a.Chứng minh hình chóp SOAKB nội tiếp trong một mặt cầu.

b.Xác đinh tâm và bán kính mặt cầu nói trên.

Baìi 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a.

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 5 điểm S,A,B,C,D.

Baìi 4: Chứng minh 8 đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt

cầu Tính bán kính của mặt cầu ấy, biết hình hộp chữ nhật có ba kích thước là

a,b,c.

Baìi 5: Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng bình phương khoảng cách từ M

đến hai điểm A, B cố định bằng một hằng số k2

Baìi 6: Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng  P với mặt cầu S O R biết ; 

khoảng cách từ O đến  P là

2

R

Baìi 7: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 13, 14, 15 Một mặt cầu tâm O,

bán kính R 5 tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC tại các tiếp điểm nằm

trên ba cạnh đó Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng chứa tam giác

Baìi 8: Cho mặt cầu S O a và một điểm A, biết  ;  OA2a , qua A kẻ một tiếp

tuyến tiếp xúc với  S tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt  S tại C và D,

biết CD a 3

a.Tính AB.

Baìi 11: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên

bằng b Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Baìi 12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi

mặt bên và đáy bằng 300 Gọi O là tâm của tam giác ABC Trong tam giác SAO dựng đường trung trực của cạnh SA cắt SO tại k.

a.Tính SO, SA.

b.Chứng minh SMK SOA ( với M là trung điểm của SA) Tính KS.

c Chứng minh hình chóp K.ABC là hình chóp đều

d.Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Baìi 13: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Chứng

minh rằng hình chóp đó có mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó

Baìi 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi

mặt bên và mặt đáy bằng 600 Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Baìi 15: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và đường cao

h Gọi O là tâm của ABCD và H là trung điểm của BC Đường phân giác trong của góc SHO cắt SO tại I Chứng minh rằng I là tâm mặt cầu nội tiếp hình

chóp Tính bán kính mặt cầu này

Baìi 16: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a.

a.Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

b.Tính diện tích mặt cầu.

c Tính thể tích khối cầu tương ứng.

Baìi 17: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với đáy một

góc 600

a.Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

b.Tính diện tích mặt cầu.

c Tính thể tích khối cầu tương ứng.

ĐÁP SỐ

1/ b R a ; 2/ b R a ; 3/ 2

2

a

R  ; 4/ 2 2 2

2

R   ; 6/

Đường tròn tâm H, bán kính 3

2

R

r  ; 7/ d 3 ; 8/ a AB a 3 ; b

2

a

d  ;

9/ 3 4 tan 2 

12 tan

a





2

R  a b c ; 11/  

2 2

3 3

2 3

R







12/ a ; 7

SO  SA ; b 7

12

a

KS  ; d 7

12

a

R KS  ; 13/ 2

2

a

14/ 5 3

12

a

R  ; 15/ 2 2

4

ah R



  ; 16/ a 6

4

a

R  ; b 3 2

2

a

c 3 6

8

a

V  17/ a 6

3

a

R  ; b 8 2

3

a

S   ; c 8 3 6

27

a

————————≈≈≈—————————