Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan

Do vậy, qúa trình dạy học nhiều giáo viên đã sử dụng phương pháp dạy học tích cực nhằm phát huy năng lực cho học sinh,qua đó học sinh được tự mình khám phá, tự mình tìm ra lời giải của b

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

LỜI CAM ĐOAN.

Năm học 2020 - 2021, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm có tên là ''Rèn luyện tư

duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan''.

Tôi cam kết sản phẩm này là của cá nhân tôi tham khảo được từ các tài liệu,

từ thực tế giảng dạy, từ mạng internet và qua đó tổng hợp viết thành sản phẩmnày không sao chép SKKN của người khác để nộp Nếu nhà trường và tổ chuyênmôn phát hiện ra tôi sao chép của ai hay có sự tranh chấp về quyền sở hữu thì tôixin chịu hoàn toàn trách nhiệm trước ban chuyên môn về tính trung thực của lờicam đoan này

Thanh chương, ngày 11 tháng 3 năm 2021.

Người viết SKKN

Nguyễn Thị Huyền.

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

2.2.2 Khảo sát quan điểm của một số giáo viên về rèn luyện tư duy

sáng tạo cho học sinh THPT

7

2.4.2 Một số phương pháp khác để giải phương trình mũ 21

2.4.2.4 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn và kết hợp tìm

nghiệm của phương trình bậc hai.

26

2.4.3.1.Tìm điều kiện của tham số để phương trình mũ có nghiệm

thỏa mãn điều kiện nào đó

29

2.4.3.2 Một số bài toán thực tiễn, liên môn liên quan đến toán học 39

2.5.2 Cách thức tiến hành, giáo án thực nghiệm sư phạm, một số hìnhảnh thực nghiệm, phiếu khảo sát học sinh, hướng dẫn một số bài tập

44

Phụ lục 1: Một số công thức tính đạo hàm của hàm số

Phụ lục 2: Các giáo án thực nghiệm, minh họa bài làm của học sinh

Phụ lục 3: Một số hình ảnh minh họa cho các tiết dạy thực nghiệm

Phụ lục 4: Phiếu khảo sát học sinh sau khi học một số nội dung trong

đề tài

Phụ lục 5: Hướng dẫn một số câu trong phần bài tập

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ.

1.1 Lý do chọn đề tài

Trước đây, từng có những quan niệm môn Toán là một môn học trừutượng và ít có tính thực tiễn Những quan niệm đó đã dần thay đổi trong giaiđoạn hiện nay khi khoa học công nghệ ngày càng phát triển mà nền tảng của sựphát triển đó chính là khoa học cơ bản, trong đó phải kể đến vai trò của toán học.Toán hoc là công cụ để giải quyết nhiều vấn đề trong nghiên cứu khoa học, trongthực tế cuộc sống của chúng ta Toán học cũng được nhìn nhận rộng hơn trongnhiều mặt của đời sống xã hội hiện nay Đối với môn toán lớp 12 trong nhữngnăm gần đây hình thức thi thay đổi, kiến thức trong mỗi đề thi đều rộng và sâu,

có nhiều câu liên quan đến tính ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống mà học sinh

đã dùng kiến thức toán học để giải nó Do vậy, qúa trình dạy học nhiều giáo viên

đã sử dụng phương pháp dạy học tích cực nhằm phát huy năng lực cho học sinh,qua đó học sinh được tự mình khám phá, tự mình tìm ra lời giải của bài toán mới,

từ đó hình thành năng lực, rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh nhằm đáp ứng

xu hướng giáo dục của thời đại mới

Trong chương trình toán THPT, phương trình mũ là một trong những kiếnthức quan trọng của chương II sách Giải tích 12, nó có nhiều bài toán nhằm rènluyện tư duy sáng tạo cho học sinh cũng như tính ứng dụng của nó trong thựctiễn cuộc sống Đây cũng là một nội dung thường được đề cập ở một số câu của

đề thi chính thức THPT Quốc gia, thi tốt nghiệp THPT, đề thi thử THPT Quốcgia, đề thi thử tốt nghiệp THPT của một số trường THPT hoặc đề của SởGD&ĐT, một số đề thi HSG của một số tỉnh, đặc biệt hơn nữa nội dung của nó

có ứng dụng để giải một số bài toán trong thực tiễn

Trong quá trình giảng dạy, ôn thi THPT Quốc gia, ôn thi tốt nghiệp THPTtôi nhận thấy tâm lý chung của học sinh là rất ngại và lúng túng khi gặp phải một

số bài toán về phương trình mũ chưa có dạng quen thuộc và một số bài tập liênquan đến phương trình mũ có chứa tham số, cũng như có một số câu trong đề thiliên quan đến ứng dụng của toán học vào thực tiễn có sử dụng phương trình mũ,

hàm số mũ để giải nó Vì vậy, tôi viết SKKN ''Rèn luyện tư duy sáng tạo cho

học sinh lớp 12 thông qua việc giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan'' để phần nào đó giúp các em học sinh lớp 12 có cái nhìn từ cụ thể, hệ

thống, hình thành năng lực, rèn luyện tư duy sáng tạo và cách học tích cực hơnđối với dạng toán này

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Giúp các em học sinh lớp 12 tiếp cận một số phương pháp giải phươngtrình mũ và một số bài toán liên quan Đồng thời rèn luyện cho học sinh tư duysáng tạo khi giải và trình bày dạng toán này, qua đó góp phần nâng cao chấtlượng dạy học môn toán ở trường THPT

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Một số phương pháp giải và giải một số bài tập cơ bản, nâng cao, một sốbài tập về ứng dụng của toán học vào bài toán thực tiễn liên quan đến PT mũ,hàm số mũ hoặc bài toán liên quan đến phương trình mũ có chứa tham số, nhằmgiúp học sinh lớp 12 rèn luyện tư duy sáng tạo

1.4 Phạm vi nghiên cứu.

Đề tài chủ yếu tập trung rèn luyện tính tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12thông qua việc giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan thông qua hệthống bài tập cơ bản đến nâng cao

1.5 Kế hoạch nghiên cứu.

- Trao đổi với đồng nghiệp

- Soạn giáo án, áp dụngthực nghiệm

- Đề cương sáng kiếnkinh nghiệm gửi sở

- Tập hợp ý kiến đónggóp của đồng nghiệp

- Viết báo cáo

- Tham khảo ý kiến củađồng nghiệp

- Hoàn thiện SKKN

- Bản nháp báo cáo

- Bản chính thức

1.6 Phương pháp nghiên cứu.

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về tư duy, tưduy sáng tạo, một số phương pháp giải phương trình mũt, một số bài toán liên quan

và bài toán thực tế liên quan

+ Phương pháp nghiên cứu lý thuyết:

- Phương pháp thu thập các nguồn tài liệu

- Phương pháp phân tích, tổng hợp các nguồn tài liệu đã thu thập

+ Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

- Điều tra thực trạng của học sinh khi học toán, toán với thực tế, qua ôn thinăm học trước khi học sinh giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan

- Điều tra tính cần thiết của việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinhqua kênh của giáo viên Trao đổi với giáo viên trong nhóm

+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm giảng dạy một số tiếtdạy theo hướng của đề tài nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

+ Phương pháp thống kê toán học: Xử lý phân tích các kết quả thựcnghiệm sư phạm

1.7 Điểm mới của đề tài.

''Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan'' đã được một số tác giả nghiên

cứu nhưng đề tài của tôi đã cập nhật một số bài tập mới nhất, sắp xếp các dạng bàitập từ đơn giản đến phức tạp, bài tập dạng cụ thể ứng dụng để giải cho bài tập sauliên quan, phù hợp với nhiều đối tượng, một số bài tập tôi đưa ra một số phươngpháp giải khác nhau, đồng thời bài tập chủ yếu tôi tham khảo ở một số đề thi chínhthức THPT Quốc gia, thi tốt nghiệp THPT, đề thi thử THPT Quốc gia, đề thi thửtốt nghiệp THPT của một số trường THPT hoặc đề của Sở GD&ĐT, một số đề thiHSG của một số tỉnh trong những năm gần đây để các em thấy hứng thú hơn khigiải được dạng phương trình mũ hoặc một số bài toán liên quan trong đề thi Qua

đó phát huy được tính tự học, tự rèn luyện, rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.Trong thực tiễn giảng dạy của bản thân tôi, đồng nghiệp đã áp dụng đề tài nàyvào giảng dạy và đã thu được kết quả rất khả quan, học sinh hứng thứ hơn, tíchcực, chủ động, sáng tạo hơn khi gặp dạng toán này Đề tài có thể làm tài liệu thamkhảo cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học ở dạng toán này

PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

2.1 Cơ sở lý luận của đề tài.

2.1.1 Tư duy.

2.1.1.1 Khái niệm về tư duy.

Theo từ điển triết học: Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổchức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới kháchquan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận Tư duy xuất hiện trong quá trìnhsản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp,phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệkhông thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểucho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mốiliên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trongngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hóa, phân tích

và tổng hợp, việc nêu lên những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng,việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm Kết quả của quá trình tư duy bao giờcũng là một ý nghĩ nào đó

Theo tâm lý học tư duy là thuộc tính đặc biệt của vật chất có tổ chức cao,chính là bộ não người tư duy phản ánh thế giới vật chất dưới dạng các hình ảnh

lý tưởng: “Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mốiquan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà trước đó ta chưa biết”

Theo cách hiểu đơn giản, tư duy là một loạt những hoạt động của bộ nãodiễn ra khi có sự kích thích Những kích thích này được não bộ tiếp nhận thôngqua bất kỳ giác quan nào trong năm giác quan: Xúc giác, thính giác, thị giác,khứu giác, vị giác

Tư duy toán học được hiểu thứ nhất là hình thức biểu lộ của tư duy biệnchứng trong quá trình con người nhận thức khoa học, toán học hay trong quátrình áp dụng toán học vào các khoa học khác như: Kỹ thuật, kinh tếquốc dân Thứ hai tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định bởibản chất của toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thứccác hiện tượng của thế giới hiện thực cũng như chính các phương thức chung của

tư duy mà nó sử dụng

2.1.1.2.Các thao tác tư duy.

Phân tích và tổng hợp

So sánh và tương tự

Khái quát hoá và đặc biệt hóa

Trừu tượng hoá và cụ thể hóa

Các thao tác tư duy cơ bản được xem như quy luật bên trong của mỗi hànhđộng tư duy Trong thực tế các thao tác tư duy đan chéo vào nhau mà không theotrình tự máy móc Tuy nhiên, tùy theo từng nhiệm vụ tư duy, điều kiện tư duy,

không phải mọi hành động tư duy cũng nhất thiết phải thực hiện tất cả các thaotác trên.

Trong môn toán, thao tác phân tích và tổng hợp thường được sử dụng để tìmhiểu bài toán, để nhận diện bài toán thuộc loại nào, sau đó phân tích tìm mối quan

hệ giữa các yếu tố của bài toán (các yếu tố đã biết và các yếu tố cần tìm ) từ đó sẽtổng hợp các yếu tố, điều kiện vừa phân tích để đưa ra các bước giải hoàn thiện.Hơn nữa, nhờ phân tích và tổng hợp ta có thể tổng hợp các bài toán tương tự thànhmột vài dạng toán mẫu cùng với cách giải tương ứng của chúng

2.1.1.3 Các giai đoạn hoạt động của tư duy.

Tư duy là một hoạt động trí tuệ có các giai đoạn sau:

Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề

Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm

Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết

Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết

Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra

2.1.1.4 Phân loại tư duy

Theo đặc trưng của tư duy, có các loại tư duy sau: Tư duy độc lập; Tư duylogic; Tư duy trừu tượng; Tư duy biện chứng; Tư duy phê phán; Tư duy sáng tạo

2.1.2 Tư duy duy sáng tạo.

2.1.2.1 Khái niệm về tư duy sáng tạo.

Trong tâm lý học định nghĩa: “Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoàiphạm vi giới hạn của hiện thực, của vốn tri thức và kinh nghiệm đã có, giúp quátrình giải quyết nhiệm vụ của tư duy linh hoạt và hiệu quả”

Theo từ điển Giáo dục học: “Tư duy sáng tạo là tư duy tạo ra những hìnhảnh, ý tưởng, sự vật mới và chưa có từ trước”

Các nhà nghiên cứu đưa ra quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo:

Theo J.DanTon: “Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ýnghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ mới, là một chức năng của kiếnthức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học baogồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: Sự khám phá, sự phátsinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thử nghiệm, sự thám hiểm”

Theo Bùi Văn Nghị: “Tư duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ mới về sự vật,hiện tượng, về mối quan hệ, suy nghĩ về cách giải quyết mới có ý nghĩa, giá trị”

Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học toán:

“Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đươngđầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từngbiết”

Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì đó

là tư duy tạo ra cái mới Tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới về thế giới

về các phương thức hoạt động

Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu cácthao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàntoàn), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hànhtìm hiểu những bước đi chưa biết trước

Các quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Bước 2: Tìm cách giải

Bước 3: Trình bày bài giải

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

2.1.2.2 Mối quan hệ giữa các khái niệm tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo.

Bàn về mối quan hệ giữa các khái niệm tư duy tích cực, tư duy độc lập, tưduy sáng tạo thì mối quan hệ đó là các mức độ tư duy khác nhau mà tư duy tíchcực có vai trò là tiền đề Quá trình từ tư duy tích cực đến tư duy sáng tạo thôngqua tư duy độc lập Như vậy trong tư duy sáng tạo luôn có tư duy tích cực và tưduy độc lập Ông Bùi Văn Nghị cho rằng:

Tư duy tích cực: Khi một HS chăm chú theo dõi việc giải bài tập và cố

gắng hiểu được các bước giải

Tư duy độc lập: Thể hiện ở việc HS tự mình phát hiện ra vấn đề tự

mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra vàhoàn thiện kết quả đạt được

Tư duy sáng tạo: Trên các kết quả đó HS tự khám phá tìm ra cách

chứng minh, lời giải mà HS chưa biết

2.1.2.3 Một số đặc trưng của tư duy sáng tạo

Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạycảm vấn đề, tính chính xác, năng lực định giá, phán đoán, năng lực định nghĩa làmột số

đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo

Các yếu tố cơ bản nói trên chúng quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổxung cho nhau và không tách rời nhau Khả năng linh hoạt chuyển từ hoạt động

trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìmđược ra nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuầnnhuyễn) và qua đó phát hiện, đề xuất được nhiều phương án khác nhau, cũng như

có thể tìm được phương án ấn tượng, khác lạ (tính độc đáo) Tất cả các yếu tố cơbản này lại quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: tính nhạy cảm vấn đề,tính chính xác, tính hoàn thiện

2.2 Cơ sở thực tiễn.

2.2.1 Khảo sát thực trạng của học sinh với môn Toán.

Để tìm hiểu vấn đề này, tôi đã tiến hành khảo sát về phía học sinh và đãphát 200 phiếu khảo sát cho HS lớp 12 trong đó có 49 học sinh của trường THPTCát Ngạn, 74 học sinh của trường THPT Thanh Chương III, 77 em học sinhtrường THPT Nguyễn Cảnh Chân để các em phát biểu những ý kiến của mìnhkhi học môn Toán Nội dung khảo sát như sau:

Phiếu khảo sát.

Họ và tên học sinh Lớp

Trường THPT

Em hãy trả lời câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ô trống trong bảng

có câu trả lời phù hợp với em?

/ chưa

(1) Em có thích khi học môn Toán không?

(2) Em có thấy rằng kiến thức Toán THPT có nhiều ứng

dụng trong thực tiễn cuộc sống không?

(3) Mỗi bài tập toán em có thường làm theo cách của thầy

cô đã dạy không?

(4) Em đã bao giờ áp dụng kiến thức Toán học THPT vào

Kính đề nghị Thầy/Cô vui lòng dành thời gian đọc kỹ và trả lời khách quancác nội dung câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ô của phương án (phiếu

1) và khoanh tròn vào chữ cái đứng trước phương án (phiếu 2) cho câu trả lời củamình.

Phiếu 1: Khảo sát tính cần thiết trong dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho

1 Thầy (cô) có cho rằng dạy học

rèn luyện tư duy sáng tạo cho học

sinh có cần thiết hay không?

2 Theo thầy (cô) rèn luyện tư

duy sáng tạo cho học sinh THPT qua

việc giải bài tập có cần thiết không?

Phiếu 2: Khó khăn nhất trong dạy học tư duy sáng tạo cho học sinh THPT.

3 Khó khăn nhất khi dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

THPT.

Với học sinh. A Trình độ của học sinh không đồng đều.

B Không hứng thú với môn học

C Chưa làm quen với hướng tiếp cận này

Với giáo viên. A Chưa có kinh nghiệm, phương pháp

B Trình độ của giáo viên còn hạn chế

C Chưa có tài liệu hướng dẫn

2.2.3 Kế hoạch giảng dạy phương trình mũ.

2.2.3.1.Khung phân phối chương trình chính khóa và đại trà.

Dựa vào sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2008 của nhà xuất bản giáodục và kế hoạch giảng dạy của nhóm chuyên môn năm học 2020-2021 bài''Phương trình mũ và phương trình logarit'' (Giải tích 12) được tách thành hai bài''Phương trình mũ'' bài ''phương trình lôgarit'', thời lượng học chính khóa cả 2 bài

là 4 tiết, ôn tập chương 2 tiết, học đại trà 6 tiết (trong đó học kỳ 1 có 3 tiết), ônthi tốt nghiệp

Bảng 1 Khung phân phối chương trình''phương trình mũ'' trường THPT Cát

Ngạn.

Tên bài Tiết

PPCT

học liệu

Hìnhthức

Phiếu học tập, SGK, máy tính, bảng phụ,

- Nắm được định nghĩa nêu được cách giải phương trình mũ cơ bản

- Hiểu rõ được các phương pháp thường dùng để giải phương trình mũ đơn giản,một số phương pháp khác để giải phương trình mũ

- Tìm điều kiện để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó

- Biết giải bài toán liên quan gắn với thực tiễn và nắm ý nghĩa của nó

Kỹ năng

- Giải chính xác được các phương trình mũ cơ bản và một số dạng thường gặp

- Sử dụng thành thạo các công thức để biến đổi PT đã cho về dạng quen thuộc

Tư duy và thái độ

- Rèn luyện tư duy logic, tư duy thuật toán, tư duy trìu tượng và đặc biệt là rènluyện tư duy sáng tạo, khả năng nhạy bén và năng động trong các tình huống

- Giáo dục cho học sinh tính cần cù, cẩn thận, chính xác, kỷ luật, không ngại khó

và tích cực tìm ra cái mới Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác

trong hoạt động nhóm.

- Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu kiến thức liên quan

Phát triển năng lực:

- Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động

- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức vàphương pháp giải quyết bài tập và các tình huống, tự liên hệ thực tế

- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học

để giải quyết các câu hỏi Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin: HS sử dụng máy tính, mạng internet

- Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khảnăng thuyết trình Năng lực tính toán

2.3 Thực trạng của đề tài.

Bảng 2: Kết quả khảo sát thực trạng của học sinh với môn toán

(2) Em có thấy rằng kiến thức Toán THPT có nhiều

ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống không?

(3) Mỗi bài tập toán em có thường làm theo cách của

thầy cô đã dạy không?

Rất cần thiết

Cần thiết

Không cần thiết

1 Thầy (cô) có cho rằng dạy học

rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

có cần thiết hay không?

2 Theo thầy (cô) rèn luyện tư duy

sáng tạo cho học sinh THPT qua việc

giải bài tập có cần thiết hay không?

Bảng 4 Khó khăn nhất trong dạy học tư duy sáng tạo cho học sinh THPT.

Khó khăn nhất khi sử khi dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học

sinh THPT

Tỉ lệ

Với học sinh A Trình độ chưa cao, không đồng đều 40%

Với giáo viên A Chưa có kinh nghiệm, phương pháp 44%

Qua các bảng kết quả khảo sát trên, ta rút ra một số nhận xét sau:

Về phía học sinh: 57,5% học sinh có thích học toán, thấy toán không có

ứng dụng trong thực tế (58,5%), phần lớn (69%) học sinh làm theo cách của giáoviên đã hướng dẫn, phần lớn học sinh chưa áp dụng toán học THPT vào bài toánthực tế

Về phía giáo viên: Đa số GV cho rằng dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo

cho học sinh là rất cần thiết (66%) Đa số giáo viên thấy rằng rèn luyện tư duysáng tạo cho học sinh THPT qua việc giải bài tập rất cần thiết (80%) Tìm hiểukhó khăn nhất khi sử khi dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT:Với HS không hứng thú với môn học (46%), GV chưa có kinh nghiệm vàphương pháp (44%), trình độ giáo viên còn hạn chế (36%),

Nhận xét: Từ các số liệu nghiên cứu, ta thấy phần lớn học sinh làm theo cách

mà giáo viên đã dạy, thấy toán THPT ít có ứng dụng trong thực tế, phần lớn giáoviên đã chú trọng hơn trong việc sử dụng phương pháp dạy rèn luyện tư duy sángtạo cho học sinh

Trong sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2008 của nhà xuất bản giáodục, nhìn chung, nội dung phương trình mũ được bố trí và sắp xếp rất hợp lý, hệthống bài tập phù hợp với đa số học sinh Song số bài tập nâng cao để rèn luyện

tư duy sáng tạo học sinh học tốt thì chưa nhiều và chưa phong phú, ở một số bàitập đưa ra không đề cập đến các phương trình đòi hỏi phải biến đổi các biểu thứcphức tạp Sách giáo khoa cũng không xét đến các phương trình có chứa tham số,

vì thế phần lớn mà học sinh không giải được một số câu hỏi trong một số đề thiTHPT trong những năm gần đây nếu như các em không được rèn luyện dạngtoán này Cụ thể:

Trong đề thi THPT Quốc gia năm 2018 mã đề 102 có câu:

Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình

77/110

70 %)

Từ các thực trạng trên đã thôi thúc tôi nghiên cứu đề tài ''Rèn luyện tư duy

sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan'' và áp dụng nội dung dạy học này trong năm học 2020 –

2021 để góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT và làtài liệu tham khảo cho học sinh lớp 12 cũng như giáo viên bộ môn toán

2.4 Các sáng kiến của đề tài.

Việc giải phương trình mũ đã có một số cách giải cụ thể, song người họccần lựa chọn ra những phương pháp giải phù hợp cho mỗi loại phương trình, mỗiloại bài toán Chính vì vậy khi dạy phần này giáo viên cần rèn luyện cho học sinhcác thao tác tư duy cơ bản: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa,trừu tượng hóa, cụ thể hóa, đặc biệt hóa

Trong phần này tôi trình bày một số phương pháp giải phương trình mũcùng với một số ví dụ minh họa kết hợp, giải một số bài toán về tìm điều kiện củatham số để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó và ứng dụngcủa nó trong một số bài toán thực tế, liên môn dựa trên việc rèn luyện tư duysáng tạo cho học sinh, tôi không đề cập phần hướng dẫn nhanh thử đáp án bằngmáy tính (nếu được) để tìm đáp án của bài toán trắc nghiệm

2.4.1 Một số phương pháp giải phương trình mũ đơn giản.

* Một số kiến thức liên quan

+) Một số tính chất của lũy thừa.

+) Định nghĩa lôgarit

Cho hai số dương ,a b với 1 a  Số  thỏa mãn đẳng thức a b

Cho 3 số dương a b b, ,1 2 với a  , ta có 1 log ( ) loga b b1 2  a b1loga b2

- Lôgarit của một thương:

Cho 3 số dương a b b, ,1 2 với a  , ta có 1

c

b b

a



Đặc biệt:

1log





với   0

+) Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên.

Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10 Viết log10blogblg b

Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e Viết loge bln b

+) Định nghĩa phương trình mũ: Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn số ở

số mũ của lũy thừa

+) Phương trình mũ cơ bản

Định nghĩa: Phương trình mũ cơ bản có dạng a x b a 0, a 1 

Cách giải:

Nếu b  thì phương trình vô nghiệm.0

Nếu b  thì phương trình có nghiệm duy nhất 0 x loga b

Tổng quát: Cách giải phương trình mũ dạng a f x( ) b a 0, a1 

Nếu b  thì phương trình vô nghiệm.0

Nếu b  thì ta có 0 f x( ) log a b , giải PT tìm x , kết luận nghiệm.

* Phương pháp chung: Quan sát các cơ số, số mũ, các biểu thức có trong PT rồi

dùng các công thức biến đổi hoặc đặt ẩn phụ để đưa PT về dạng quen thuộc giảiđược

2.4.1.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số

Phương pháp: Biến đổi phương trình đã cho về dạng phương trình a f x  a g x .

Ví dụ 1. Giải các phương trình a) 24x2 4 x b) 2 1x22x ( 2 1) 2x 5

Phân tích:

+ Yêu cầu bài toán giải phương trình mũ

+ Xem mối quan hệ chung của các cơ số hoặc số mũ, linh động trong sử dụng côngthức?

+ Với câu a ta có 4 2 2, sau đó sử dụng công thức a a a.

cơ số hoặc suy nghĩ theo hướng giải khác

+ Với câu b nhận thấy hai cơ số có mối quan hệ

+ Câu a: Tư duy đưa về cơ số 2

+ Câu b: Tư duy đưa về cơ số 3

+ Câu c: Cơ số chứa ẩn

Tổng quát: Giải phương trình a f x  a g x 

+) Nếu a, a0, a1 thì a f x  a g x   f x  g x  (là phương trình đạisố)

* Dấu hiệu: Cơ số có mối quan hệ, số mũ có dạng k f x h kf x k h ( ),  ( ), ,  .

Với t 5, ta có 5x  5 x Vậy phương trình đã cho có nghiệm 1 x  1.

Chú ý: Nếu không yêu cầu đặt ẩn phụ thì học sinh có thể trình bày theo cách đơn

giản như sau:

Ví dụ 4 Giải phương trình 3x131x  10 0.

Phân tích

+ Quan sát cơ số và biểu thức ở số mũ của PT, HS linh động sử dụng công thức

1,

đã học và biến đổi về dạng PT giải được

+ Cho học sinh giải theo suy nghĩ

Ví dụ 5 (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Đồng Nai năm học 2018-2019).

Giải phương trình 8.25x  8.10x  15.22 1x  0.

Phân tích- Hướng dẫn giải

+ Biến đổi phương trình đã cho để thấy một mối quan hệ của các cơ số, số mũ?

+ Các cơ số có mối quan hệ, PT không có hệ số tự do

Chia cả hai vế cho 52x

hoặc 22x hoặc 2.5x rồi đặt ẩn phụ.

*Tổng quát: Một số dạng đặt ẩn phụ thường gặp của phương trình mũ:

Dạng 1 A a. 2f x  B a. f x  C0

(Nhìn ra phương trình tương tự dạng phương trình bậc hai, )

Đặt t a f x , đặt điều kiện cho ẩn phụ t

Dạng 2 A a. f x  B b. f x  C 0, với a b 1

(Số mũ giống nhau, cơ số có mối quan hệ)

Đặt t a f x , đặt điều kiện cho ẩn phụ t Khi đó

  1

f x b

t



Dạng 3 A a 2f x  B ab. f x  C b 2f x  0

Chia hai vế cho a 2 f x  hoặc b 2 f x  hoặc abf x  rồi đặt ẩn phụ.

Nhận xét: Thông qua các ví dụ trên và những gợi ý hướng dẫn giải

phương trình mũ đơn giản, giáo viên nên khuyến khích học sinh tìm tòi nhiều cách giải khác nhau từ bài toán đơn giản để tạo sự linh hoạt, khéo léo trong tư duy Dù học sinh giải cách nào ngắn hay dài thì giáo viên cũng luôn động viên, kích lệ các em Như vậy việc giải phương trình mũ đơn giản ở trên đã góp phần rèn luyện cho học sinh những thao tác phân tích và tổng hợp, so sánh và tương

tự, của tư duy, đồng thời rèn luyện tư duy thuật toán, tư duy trừu tượng

Ví dụ 6 (Trích đề thi chọn HSG tỉnh lớp 12 tỉnh Bắc Ninh năm học 2019)

2018-Giải phương trình 41 x 41 x 2 2 2 x 22 x 8 (*)

x VN

3 5 2

x

x

x x

Cách 2 Phương pháp phân tích thành nhân tử được trình bày ở mục 2.4.2.3

Ví dụ 9 (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Nghệ An năm học 2010-2011).

Giải phương trình 20102x  2010x 12 12.

Phân tích:

Nếu ta suy nghĩ: Đặt t2020 ,x t0 PT trở thành t2  t12 12 thì việc giải

PT này không đơn giản, vậy có phương pháp nào đơn giản hơn không?

3 5 12

u v

2

Chú ý: Như vậy, việc đặt ẩn phụ có thể chuyển PT mũ về PT hoặc hệ phương

trình đơn giản giải được Từ ví dụ 9 ta có thể tổng quát dạng phương trình mũtương tự và nêu được cách giải nó

2.4.1.3 Phương pháp lôgarit hóa.

Từ phương pháp giải dạng 1 ở trên, ta có thể đặt ra câu hỏi: Nếu lấy lôgarit

hai vế với một cơ số c bất kỳ (c0, c 1) liệu có được không ? và câu trả lời làhoàn toàn được Như vậy ta có thể giải quyết các phương trình phức tạp hơn,dạng a f x  b g x ( ,a b0; ,a b1) bằng cách lấy lôgarit hai vế với cơ số nào

+ Quan sát PT thấy các cơ số không thể biểu thị qua cơ số chung và biểu thức ẩn

ở số mũ của lũy thừa không có quan hệ chung dạng k f x h kf x k h ( ),  ( ), ,  ..+ Lấy lôgarit hóa theo một cơ số nào đó cả hai vế

Chú ý: Ví dụ trên có thể lấy theo cơ số khác nhưng nên chọn cơ số thích

hợp để PT dễ giải, ta có thể tổng quát dạng câu a, b và nêu được PP giải chúng

+) Nếu c  thì phương trình vô nghiệm.0

+) Nếu c  thì lấy logarit hai vế theo cơ số c bất kỳ 0 (c 0, c1)

Nhận xét: Như vậy từ việc giải PT mũ đơn giản đến dạng PT mũ phức

tạp hơn, ta thấy việc giải PT mũ đã giúp học sinh rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh, quan sát, tính độc lập trong tìm tòi lời giải cũng như kỹ năng mềm dẻo, nhuần nhuyễn, hoàn thiện Qua đó giúp học sinh rèn luyện tư duy sáng tạo.

2 x 16x 

A Nghiệm của phương trình là các số vô tỷ

B Tổng các nghiệm của một phương trình là một số nguyên.

C Tích các nghiệm của phương trình là một số âm

D Phương trình vô nghiệm.

Câu 5 (Trích mã đề 101 THPTQG năm 2017) Cho phương trình

1

   Khi đặt t 2 ,x ta có được phương trình nào dưới đây?

A 2t  2 3 0 B t2  t 3 0. C 4t   D 3 0 t2 2t 3 0.

Câu 6 ( Đề thi thử THPT Thạch Thành 1 Thanh Hóa năm học 2020-2021)

Gọi x x1, 2 x1x2 là nghiệm của phương trình 2 3 x  2 3x 4

Khi đó

2019x 2020x bằng:

A 4039 B 1 C 1. D 2020.

Câu 7 (Trích đề thi thử THPT Gia Viễn A Ninh Bình năm học 2020-2021)

Cho hai số thực a1, b1. Biết phương trình a b x x21 1

 có hai nghiệm phânbiệt x x1, 2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2.4.2 Một số phương pháp khác để giải phương trình mũ.

2.4.2.1 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

* Kiến thức liên quan.

+) Tính đơn điệu của hàm số mũ: y a a x ( 0, a1)

Khi a  thì hàm số đồng biến trên 1  Khi 0  thì hàm số nghịch biến a 1 

+) Định lý về tính đơn điệu của hàm số:

Với K là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc đoạn

Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm trên K

- Nếu '( ) 0f x  với mọi x thuộc K thì hàm số ( ) f x đồng biến trên K.

- Nếu '( ) 0f x  với mọi x thuộc K thì hàm số ( ) f x nghịch biến trên K.

+) Một số tính chất liên quan đến tính đơn điệu của hàm số.

Tính chất 1: Nếu hàm số yf x( ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K thì:

Phương trình f x   (k là hằng số) có không quá một nghiệm trên K k

* Dấu hiệu nhận biết: Những phương trình mũ không giải được bằng phương

pháp đưa về phương trình mũ cơ bản, phương trình mũ cùng cơ số hoặc phươngpháp đặt ẩn phụ, thì ta có thể sử dụng phương pháp dựa vào tính đơn điệu củahàm số nhờ việc biến đổi PT đã cho về được một trong các dạng sau:

* Các dạng bài tập thường gặp.

Dạng 1 Phương trình đã cho biến đổi được về dạng f x   (k là hằng số) k

trong đó hàm số yf x  đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định K

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (nếu cần)

Bước 2: Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về dạng f x   k

f  Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 2

Dạng 2 PT đã cho biến đổi được về dạng f x  g x  (hoặc f u  g u  với

 

u u x ) Trong đó hai hàm số f x và   g x đơn điệu ngược nhau. 

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Tìm cách biến đổi PT đã cho về dạng f x  g x (hoặc f u  g u )

Bước 3: Xét hai hàm số yf x , y g x   trên K.

Xét tính đơn điệu của hai hàm số đó trên K

Kết luận hai hàm số đó đơn điệu ngược nhau

Tìm số x o sao cho f x o g x o ( hoặc tìm u osao cho f u o g u o )

Bước 4: Kết luận khi đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi x x o

(hoặc u u o, giải phương trình u u o để tìm x o).

Ví dụ 2 (Trích đề thi thử SGD&ĐT Nam Định năm học 2018-2019)

Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 15 5x x 5x1 27x 23

  Khi đó tổng các nghiệm của PT là: 1 1 0   Vậy chọn D

Dạng 3 PT biến đổi được về dạng f u  f v  trong đó u u x  , v v x  

Dấu hiệu nhận biết dạng 3 Phương trình chứa hai đại lượng có kết cấu tương

đối giống nhau

Phương pháp: Xét hàm đặc trưng

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về dạng f u  f v 

Dựa vào vế đơn giản của phương trình để tìm ra hàm đặc trưng, sau đó biến đổi

vế phức tạp hơn sao cho giống với dạng của hàm đặc trưng đó

Bước 3: Xét hàm số đặc trưng yf x  trên K

Xét tính đơn điệu của hàm số đó trên K

Bước 4: Kết luận khi đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi u x  v x 

Giải phương trình u x  v x  tìm x Từ đó kết luận nghiệm của PT đã cho.

Ví dụ 3 ( Đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Quảng Ninh năm học 2016 – 2017).

Kết hợp ĐKXĐ, nghiệm của phương trình đã cho là x  2

Nhận xét: Ở dạng 3 ta thấy khó hơn dạng 1 và dạng 2 bởi vì việc biến đổi

PT đã cho làm xuất hiện dạng hàm số để áp dụng 3 không phải học sinh nào cũng dễ dàng làm được, đòi hỏi học sinh phải thực hiện thêm, bớt, tách, nhóm, phân tích, tổng hợp, trìu tượng hóa và cụ thể hóa, thể hiện tính nhuần nhuyễn, hoàn thiện, độc đáo, năng lực định giá, phán đoán của tư duy sáng tạo.

2.4.2.2.Phương pháp đánh giá.

Phương pháp: Giải phương trình ( ) f x g x( )

Nếu đánh giá được f x( )m g x, ( )m x D  thì

trình (1) không có nghiệm với x  2.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  2.

( ) ( ) ( )

+ Quan điểm phương trình mới là PT bậc 2 ẩn t tham số x (ta gọi PP này là

phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn)

Nhận thấy hàm số ( ) 3f x  đồng biến trên x , ( )g x 2x nghịch biến trên5



Mặt khác (1)f g(1) Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  1.

Chú ý: Với phương trình ở ví dụ trên thì việc tìm nghiệm của phương trình

bậc hai ẩn t ta có thể sử dụng công thức  hoặc dựa vào trường hợp đặc biệt

Nhận xét: Trong ví dụ 2 ta thấy hàm số không đồng biến (nghịch biến) với

mọi x K nhưng ta vẫn sử dụng được phương pháp hàm số để giải bài toán Trong trường hợp đó ta lập BBT của hàm số trên K hoặc từng khoảng chứa trong K và từ BBT kết luận về nghiệm của phương trình Tóm lại, mỗi loại phương trình có thể có cách giải riêng bởi đặc trưng của nó (hoặc biến đổi, đặt

ẩn phụ, kết hợp nhiều phương pháp ) đưa PT đã cho về phương trình, hệ phương trình mới mà giải được

Câu 5 Giải phương trình 52x 3 (5x x  1) 32.5 x 31 0

Câu 6 (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 cấp TPHCM năm học 2020-2021).

Giải phương trình 4x x(2x 1) 2x  x

Câu 7 (Trích đề thi thử THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Tích tất cả các

giá trị của x thỏa mãn phương trình 3x 3 2 4x 42 3x 4x 72

Câu 9.(Trích đề thi thử THPT Yên Phong - Bắc Ninh năm học 2020-2021).

Số nghiệm của phương trình

Câu 12 (Đề thi thử trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc năm học 2018-2019).

Số nghiệm của PT x2 5x 2 x2 8x 3 8 3x 5 3x 5 8 x2 8x 3

là:

2.4.3 Một số bài toán liên quan đến phương trình mũ.

2.4.3.1.Tìm điều kiện của tham số để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.

* Kiến thức liên quan

+) Phương pháp giải phương trình mũ đơn giản.

Cách giải: Phương trình a x b a 0, a1 

Nếu b  thì phương trình vô nghiệm.0

Nếu b  thì phương trình có nghiệm duy nhất 0 x loga b

+) Tính chất.

Tính chất 1: Nếu hàm số y f x( ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K thì:

+ Phương trình f x   (k là hằng số) có không quá một nghiệm trên K k

+ Với x y K f x,  ,   f y   x y

Tính chất 2: Nếu hàm số yf x( ) liên tục trên K và

K K

Bước 1 Cô lập m,biến đổi phương trình về dạng ( )f x g m( )

( )

f x

trên D)

định điều kiện của ( ).g m

Bước 4 Giải điều kiện của ( )g m thỏa mãn bước 3 để phương trình ( ) f x g m( )

có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D

Cách 2 Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai, bậc ba, trùng

phương, phương trình mũ, thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Ví dụ 1 Cho phương trình 22 1x m2 m 0

thỏa mãn một trong các trường hợp sau:

a) Phương trình (1) có nghiệm

b) Phương trình (1) vô nghiệm

c) Phương trình (1) có nghiệm lớn hơn 1

khi 2m2 2m  4 m2 m 2 0 (bất PT này vô nghiệm) Vậy không có giá

trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Cách 2 câu a) Vì 2 x  có tập giá trị 1  nên 22 1x có tập giá trị là 0; , do đó

phương trình có nghiệm  m2 m 0 0m1

Hướng dẫn cách 3: Sử dụng bài toán trên để giải.

Ví dụ 2 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình 2x23 m

Bước 1: Tìm tập giá trị của ( )u x

Bước 2: Suy ra tập giá trị a u x( )

Bước 3: Tìm điều kiện của b để PT có nghiệm dựa vào bước 2 và cơ số a

Nhận xét: Qua việc giải cụ thể 2 ví dụ trên, ta dựa vào phương pháp giải

phương trình mũ cơ bản, phương pháp đánh giá để tìm điều kiện của tham số.

Dựa vào bảng biến thiên và yêu cầu bài toán ta có m 1 m 1.

Cách 2 Để PT  1 có nghiệm  PT  2 có hai nghiệm t t1, 2 thỏa mãn:

m m

thỏa mãn x1 x2 3

+ ) PT (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2  PT (2) có hai nghiệm có hai

nghiệm phân biệt t t 1, 2 0. Dựa vào BBT câu a ta có điều kiện của m là:

thay m vào PT để thử lại và học sinh hay quên tìm điều kiện để PT có hai

nghiệm phân biệt

Ví dụ 5 ( Đề thi thử Trường THPT Nguyễn Du Hà Nội năm học 2020-2021).

Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 25; 25 của tham số m để phương

trình e3x 2.e2xln 3 e xln 9 m 0

Phân tích:

Trong phương trình các số hạng chứa ẩn có chung cơ số e , số mũ có dạng

Mặt khác m là số nguyên thuộc [ 25; 25] nên m  25; 24; ; 6; 5; 0   

Vậy số các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

ưu

Ví dụ 6 (Trích đề thi thử THPT Gia Viễn A - Ninh Bình năm học 2020-2021).

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

PT (1) có đúng hai nghiệm phân biệt  PT (2) có đúng một nghiệm t sao cho

0 t 1. Giải tương tự ví dụ trên Từ đó chọn C.

Chú ý: Ở ví dụ 6 học sinh hay sai là đặt điều kiện cho t không quan tâm

cơ số lớn hơn hay nhỏ hơn 1 và nếu trường hợp t  thì 1 x2  0 x (PT có0một nghiệm)

Nhận xét: Qua các ví dụ 3, 4, 5, 6 ta đã dựa vào phương pháp đặt ẩn

phụ kết hợp bài toán trên để tìm điều kiện của tham số

Ví dụ 7 Có bao nhiêu số nguyên m0; 2021 để phương trình

Bảng biến thiên của ( )g x

 