lý thuyết chương 1 toán 11

tổng hợp tài liệu ôn thi môn toán ,tổng hợp đầy đủ kiến thưc học tập môn toán dành cho học sinh lớp 10 và giáo viên nghiên cứu và học tâptổng hợp tài liệu ôn thi môn toán ,tổng hợp đầy đủ kiến thưc học tập môn toán dành cho học sinh lớp 10 và giáo viên nghiên cứu và học tâp

CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

- oOo -

CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1 Vectơ:

a) Các định nghĩa:

Độ dài vectơ AB kí hiệu AB bằng độ

dài đoạn thẳng AB

Hai vectơ được gọi là cùng phương

nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau

Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu

chúng cùng hướng và cùng độ dài

Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu

chúng ngược hướng và cùng độ dài Vectơ đối

của vectơ a kí hiệu là -a; vectơ đối của MN là

NM nên ta cĩ MN NM

Hai vectơ a và b cùng phương k

R: a = kb

0

.b

a b

a   

Quy tắc hình bình hành: Nếu

ABCD là hình bình hành thì:

AC AD AB

Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta cĩ:

AC BC AB

CB AC AB

A, B, C thẳng hàng AB k AC, k R

I là trung điểm AB IA IB 0

G là trọng tâm ABC GA GB GC 0 b) Tọa độ vectơ và tọa độ điểm:

Cho hai vectơ u= (u1; u2), v= (v1; v2), ta cĩ:

v

u  = (u1 + v1; u2 + v2)

v

u  = (u1 - v1; u2 - v2)

ku = (ku1; ku2)

v

u. = u1v1 + u2v2

2 2

2

1 u u

u

2 2

1 1

v u

v u v

u 

Cho hai điểm A(xA; yA), B(xB;yB), ta cĩ:

AB = (xB - xA; yB - yA)

= 2 b v = - 1 3 u a

b

a

v u

hai vectơ bằng nhau hai vectơ đối nhau

các cặp vectơ cùng phương

D A

Tọa độ trung điểm của AB: I( A 2 B; A 2 B

y y x x

) Tọa độ trọng tâm ABC: G(

3

;

3B C A B C

x

)

2 Đường thẳng trong mặt phẳng:

Phương trình tham số của đường thẳng :

b) (a;

VTCP có

) y

; M(x qua

bt

y

y

at

x

x

0

0

Phương trình tổng quát của đường thẳng :

B) (A;

VTPT có

) y

; M(x qua

- x0) + B(y - y0) = 0

Phương trình Ax + By + C = 0 là phương trình đường thẳng cĩ vectơ pháp tuyến n (A;B)

Nếu đường thẳng d cĩ vectơ chỉ phương u ( b a; ) thì d cĩ một vectơ

pháp tuyến n ( b;a) Nếu đường thẳng cĩ vectơ pháp tuyến n= (A; B) thì cĩ một vectơ chỉ phương là u ( B;A)

Đường thẳng song song đường thẳng : Ax + By + C = 0 cĩ dạng:

Ax + By + C1 = 0 (C ≠ C1)

Đường thẳng vuơng gĩc đường thẳng : Ax + By + C = 0 cĩ dạng: -Bx + Ay + C2 = 0

3 Đường trịn:

Đường trịn (C): bán kính R

b a I tâm ( ; )

cĩ phương trình: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường trịn (C) khi và chỉ khi a2

+ b2 - c > 0 Khi đĩ (C) cĩ tâm I(a; b) và bán kình là R = a2 b2 c

BÀI 1: PHÉP BIẾN HÌNH

Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M Dựng hình chiếu

vuơng gĩc M' của điểm M lên đường thẳng d Dựng được bao nhiêu điểm M' như thế?

ĐỊNH NGHĨA:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M' của mặt phẳng đĩ được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng

Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì taviết F(M) = M' hay M' = F(M)

và gọi điểm M' là ảnh của điểm M qua phép biến hình F

Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H' = F(H) là tập hợp các điểm M' = F(M), với mọi điểm M thuộc H Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H', hay hình H' là ảnh của hình H qua phép biến

hình F

Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất

BÀI 2: PHÉP TỊNH TIẾN

I- ĐỊNH NGHĨA:

Trong mặt phẳng cho vectơ v Phép

biến hình biến mỗi điểm M thành điểm

M' sao cho MM' = v được gọi là phép tịnh

tiến theo vectơ v

Phép tịnh tiến theo vectơ v thường được kí hiệu là T v, v được gọi là

vectơ tịnh tiến

Vậy: T v (M) M' MM' v

Phép tịnh tiến theo vectơ - không chính là phép đồng nhất

II- TÍNH CHẤT:

Tính chất 1: Nếu T v (M) M', T v (N) N' thì M ''N MNvà từ đó suy ra M'N' = MN Hay phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất

kì

Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

III- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v= (a; b), với mỗi điểm M(x; y) Gọi M'(x'; y') là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ v, khi đó:

b y y

a x x

'

'

(biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến T v)

M

BÀI 3: PHÉP ĐỐI XỨNG

I- ĐỊNH NGHĨA:

Cho đường thẳng d Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục

Đường thẳng d được gọi là trục

của phép đối xứng trục hoặc đơn

giản là trục đối xứng

Phép đối xứng trục d thường

được kí hiệu là Đd

Nếu hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn

nói H đối xứng với H' qua d, hay H và H' đối xứng với nhau qua d

* Nhận xét:

Cho đường thẳng d Với mỗi điểm M, gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d Khi đó: M' = Đd(M) M0M' M0M

M' = Đd(M) M = Đd(M')

II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ

1) Chọn hệ tọa độ Oxy sao

cho trục Ox trùng với đường

thẳng d Với mỗi điểm M(x;

y), gọi M' = Đd(M) = (x'; y')

thì:

y y

x x

' '

Biểu thức tọa độ của phép ĐOy

2) Chọn hệ tọa độ Oxy sao

cho trục Oy trùng với đường

thẳng d Với mỗi điểm M(x;

y), gọi M' = Đd(M) = (x'; y')

thì:

y y

x x

' '

Biểu thức tọa độ của phép ĐOy

III- TÍNH CHẤT:

M' M

(x'; y')

(x; y)

M 0

x O

y

d

M' M

M'(x'; y') (x; y)

M 0

x O

y d

M

Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

IV- TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH:

Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H

nếu phép đối xứng qua d biến H thành chính nó Khi đó ta nói H là hình

có trục đối xứng

Ví dụ: Dựng trục đối xứng (nếu có) của các hình sau đây:

BÀI 4: PHÉP QUAY

I- ĐỊNH NGHĨA:

Cho điểm O và góc lượng giác a Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM; OM') bằng a được gọi là phép quay tâm O góc a

Điểm O được gọi là tâm quay còn a

được gọi là góc quay của phép quay

đó

Phép quay tâm O góc a thường

được kí hiệu là Q(O,a)

* Nhận xét:

1) Chiều dương của phép quay

là chiều dương của đường tròn lượng

giác nghĩa là chiều ngược với chiều

D

E F A

E

B

C D

A

A B

C

D

A

D

α

M'

α

M'

α

M'

Chiều quay dương Chiều quay âm

2) Với k là số nguyên ta luôn có:

Phép quay Q(O; 2k ) là phép

đồng nhất

Phép quay Q(O; (2k + 1) ) là

phép đối xứng tâm O

II- TÍNH CHẤT:

Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì Tính chất 2: Phép quay biến

đường thẳng thành đường

thẳng, biến đoạn thẳng thành

đoạn thẳng bằng nó, biến tam

giác thành tam giác bằng nó,

biến đường tròn thành đường

tròn có cùng bán kính

* Nhận xét: Phép quay góc a

với 0 < a < , biến đường thẳng

d thành đường thẳng d' sao cho

góc giữa d và d' bằng a (nếu 0 <

a 2), hoặc bằng - a (nếu 2

a < )

BÀI 5: KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH

VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU

I- KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH:

Định nghĩa:

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M', N' thì MN = M'N'

* Nhận xét:

1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là các phép dời hình

M'

R

R

C'

A' B'

I' O

I

B

A

C O

d

d'

α

α

I

H

H' O

2) Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình

II- TÍNH CHẤT:

Phép dời hình biến:

1) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ

tự giữa các điểm;

2) Đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;

3) Tam giác thành tam giác bằng nó, góc thành góc bằng nó;

4) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

* Chú ý:

a) Nếu một phép dời hình

biến tam giác ABC thành tam

giác A'B'C' thì nó cũng biến

trọng tâm, trực tâm, tâm các

đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp

của tam giác ABC tương ứng

thành trọng tâm, trực tâm, tâm

các đường tròn nội tiếp, ngoại

tiếp của tam giác A'B'C'

b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh

III- KHÁI NIỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU:

Định nghĩa: Hai hình được gọi là bằng

nhau nếu có một phép dời hình biến hình

này thành hình kia

BÀI 6: PHÉP VỊ TỰ

I- ĐỊNH NGHĨA:

Định nghĩa: Cho điểm O và số k ≠ 0 Phép biến hình biến mỗi điểm

M thành điểm M' sao cho OM' k.OM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số

k

Phép vị tâm O, tỉ số k thường được

kí hiệu là V

G' H' I'

A'

B'

O'

C'

G H

C B

A

-60 0

H''

H' H

v

O

O

* Nhận xét:

1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó

2) Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất

3) Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự

4) M' = V(O,k)(M) M = ( ' )

) 1 , ( M

V

k

II- TÍNH CHẤT:

Tính chất 1: Nếu phép vị tự

tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý

theo thứ tự thành M', N' thì

MN

k

N

M' ' và M'N' = k MN

Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số

k:

a) Biến ba điểm thẳng hàng

thành ba điểm thẳng hàng và bảo

toàn thứ tự giữa các điểm;

b) Biến đường thẳng thành

đường thẳng song song hoặc

trùng với nó, biến tia thành tia,

biến đoạn thẳng thành đoạn

thẳng;

c) Biến tam giác thành tam

giác đồng dạng với nó, biến góc

thành góc bằng nó;

d) Biến đường tròn bán kính

R thành đường tròn bán kính k R

BÀI 7: PHÉP ĐỒNG DẠNG

I- ĐỊNH NGHĨA:

Phép biến hình F được gọi là phép

đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai

điểm M, N bất kì và ảnh M', N' tương

ứng của chúng ta luôn có M'N' =

kMN

* Nhận xét:

N'

M' M

N O

B A

C

B'

C' A'

I

A C

B

I C'

A' B'

R' R

A'

O'

A

C' N' A'

B' M'

A

B

C M

N

a) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1

b) Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k

c) Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk

II- TÍNH CHẤT:

Phép đồng dạng tỉ số k:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR

* Chú ý:

a) Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A'B'C'

b) Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh

III- HÌNH ĐỒNG DẠNG:

Định nghĩa: Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một

phép đồng dạng biến hình này thành hình kia

A

B

C

I