Ứng dụng phép biến đổi Wavelet trong phân tích tín hiệu điện tim

Có thể hiểu một cách chung nhất về phép biến đổi Fourier đó là phương pháp biến đổi tín hiệu từ miền thời gian về miền tần số dựa trên cơ sở phân chia một tín hiệu thành tổng của các hàm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI CÔNG NGHỆ -

Phạm Thị Quỳnh Trang ổng quát về cơ sở toán học của phép biến đổi Wavelet khi phân tích tín hiệu liên tục cũng như phân tích tín hiệu rời rạc Tổng quát về tín hiệu điện tim đồ, các tham số đặc trưng của tín hiệu điện tim đồ Sử dụng phép biến đổi Wavelet vào phân tích một tín hiệu điện tim đồ Trình bày các thuật toán để phân tích tín hiệu điện tim: thuật toán xác định phức bộ QRS, thuật toán xác định sóng T và thuật toán phát hiện sóng P Mô phỏng thuật toán phân tích tín hiệu ECG bằng Matlab

Luận văn ThS Kỹ thuật điện tử - viễn thông: 2.07.00

Nghd : TS Trịnh Anh Vũ

ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

Hà Nội – 2007

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET

1.1 Lịch sử phát triển 3

1.2 Phép biến đổi Fourier 3

1.3 Phép biến đổi Fourier cửa sổ trượt 4

1.4 Phép biến đổi Wavelet (WT) 5

1.4.1 Phép biến đổi Wavelet liên tục 6

1.4.2 Một số hàm Wavelet cơ sở 9

1.4.3 Biến đổi wavelet rời rạc (DWT) 13

Chương 2: Tín hiệu điện tim đồ(ECG : electrocariogram) 2.1 Khái niệm 29

2.2 Các chuyển đạo thông dụng 29

2.2.1 Các chuyển đạo mẫu 29

2.2.2 Các chuyển đạo đơn cực các chi 29

2.2.3 Các chuyển đạo trước tim 30

2.3 Dạng hình học của tín hiệu điện tim 30

2.4 Các tham số đặc trưng của tín hiệu ECG 31

2.4.3 Sóng P 31

2.4.4 Khoảng PQ 32

2.4.5 Phức bộ QRS 32

2.4.6 Đoạn ST 32

2.4.7 Sóng T 33

2.4.8 Khoảng PQ 33

2.4.9 Sóng U 33

Chương 3: phân tích tín hiệu điện tim sử dụng phép biến đổi wavelet 3.1 Giới thiệu 34

3.2 Một số phương pháp tích tín hiệu ECG 34

3.2.1 Phương pháp phân tích tín hiệu ECG trong miền thời gian 35

3.2.2 Phương pháp phân tích tín hiệu ECG sử dụng mạng nơron 35

3.2.3 Phương pháp phân tích tín hiệu ECG sử dụng biến đổi thời gian - tần số 35

3.3 Phương pháp phân tích ECG sử dụng biến đổi Wavelet 35

3.3.1 Cơ sở toán học 36

3.3.2 Lựa chọn hàm wavelet 37

3.3.3 Bộ lọc wavelet 38

3.3.4 Mối quan hệ giữa các tín hiệu bất thường với biến đổi Wavelet của chúng 40

3.3.5 Phân tích, xác định các điểm đặc trưng của tín hiệu ECG 41

3.3.6 Xác định khoảng cách QT 47

3.3.7 Xác định độ lệch ST 50

3.3.8 Loại bỏ nhiễu 51

Chương 4: Các thuật toán phân tích tín hiệu điện tim đồ 4.1 Tổng quan 52

4.2 Phương pháp xác định 54

4.2.1 Thuật toán xác định phức bộ QRS 55

4.2.2 Thuật toán xác định sóng T 56

4.2.3 Thuật toán phát hiện sóng P 57

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET

1.1 Lịch sử phát triển

Wavelet là một công cụ toán học mới và được phát triển rất mạnh từ những năm 1997 trở lại đây Cơ sở toán học của nó có từ Joseph Fourier trong thế kỷ thứ 19 với nền tảng là các giả thiết của ông về phân tích tần số Tuy nhiên, sự tiến triển đầu tiên của wavelet hiện nay bắt đầu từ năm 1909 trong luận văn của Alfred Haar Khái niệm về wavelet ở dạng lý thuyết hiện nay là từ Jean Morlet và nhóm cộng sự của ông ở trung tâm vật lý lý thuyết Marseille, Pháp do Alex Grossmann chỉ đạo Sau này các phương pháp phân tích wavelet được phát triển chủ yếu bởi Y.Meyer và các đồng nghiệp và từ đây phương pháp phân tích này được phổ biến

Thuật toán của wavelet bắt nguồn từ Stephane Mallat năm 1988, sau đó nghiên cứu

về wavelet đã mang tính quốc tế hoá Các nghiên cứu này đặc biệt phát triển ở Mỹ Ngày nay lĩnh vực này đang được phát triển một cách nhanh chóng với nhiều ứng dụng trong

xử lý tín hiệu

Phép biến đổi Wavelet nổi lên trong một vài năm gần đây như một công cụ toán học rất có ích cho các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực phân tích, xử lý tín hiệu được áp dụng cho nhiều ngành khoa học như chế tạo và trong y học Phương pháp này thực sự có ích vì

nó có khả năng làm nổi bật các đặc tính cục bộ hoặc mang tính tức thời của tín hiệu một cách mềm dẻo hơn phương pháp Fourier cửa sổ trượt bởi kích thước của cửa sổ có thể thay đổi được Phương pháp này phân tích tín hiệu đồng thời trong miền thời gian và miền tần số Và tính mềm dẻo của nó thể hiện một cách rõ ràng trong việc tham số tỷ lệ là một biến số, biến số này thay đổi theo mỗi đặc tính khác nhau của tín hiệu

Cũng giống như phép biến đổi Fourier (FT) và Fourier nhanh (FFT) phép biến đổi Wavelet đã được đóng gói trong các phần mềm dùng cho xử lý ảnh hay nén ảnh

1.2 Phép biến đổi Fourier

Từ trước đến nay đã có nhiều công cụ toán học được dùng trong xử lý tín hiệu; trong

đó được biết đến nhiều nhất là phép biến đổi Fourier Có thể hiểu một cách chung nhất về phép biến đổi Fourier đó là phương pháp biến đổi tín hiệu từ miền thời gian về miền tần

số dựa trên cơ sở phân chia một tín hiệu thành tổng của các hàm sin với các tần số khác nhau

Xét một tín hiệu f(t) biến đổi Fourier của nó là một hàm theo tần số F() được biểu diễn dưới dạng toán học như sau:





F() ( ) jt (1.1)

Trong đó e-jt là hàm phức có thể được biểu diễn dưới dạng các hàm sin hoặc cosin Như vậy, một tín hiệu phức tạp được chuyển về dạng tổng của các hàm sin, là hàm có đặc điểm có trung bình bằng 0 về mặt thời gian, và việc phân tích tín hiệu trở nên dễ dàng hơn Sau khi xử lý, tín hiệu gốc được khôi phục lại bằng biểu thức:

Trong một thời gian dài, phép biến đổi Fourier có khả năng đưa ra các câu trả lời một cách đơn giản cho hầu hết các câu hỏi về xử lý tín hiệu thời gian biến đổi tuyến tính Đây thực sự là một công cụ toán học có ích trong xử lý tín hiệu dừng

Vấn đề đặt ra là, trong biểu thức (1.1) khi biến đổi tín hiệu f(t) sang miền tần số thì khái niệm về mặt thời gian hoàn toàn biến mất Nhìn vào F() không thể biết được thời gian diễn ra sự kiện Đối với nhiều lĩnh vực việc xác định thời gian của tín hiệu là không quan trọng ví dụ như tín hiệu âm thanh trong truyền thanh, điện thoại, tín hiệu trong internet, xử lý ảnh… Tuy nhiên trong một số ứng dụng việc chỉ xét các đặc tính của tín hiệu về tần số là chưa đủ Ví dụ như xét các biến đổi đột ngột của tín hiệu thì phép biến đổi Fourier không kiểm soát được

Để khắc phục được điều này Dennis Gabor đề xuất phương pháp biến đổi Fourier cửa

sổ trượt

1.3 Phép biến đổi Fourier cửa sổ trƣợt

Phép biến đổi Fourier cửa sổ trượt được đề xuất vào năm 1946 bởi Dennis Gabor thực chất là phép biến đổi Fourier trong một đoạn ngắn tín hiệu

Biến đổi Fourier cửa sổ trượt là phép biến đổi Fourier trong một đoạn ngắn tín hiệu, mỗi đoạn ngắn tín hiệu này gọi là cửa sổ Gọi g là cửa sổ thời gian, khi đó:

độ rộng theo trục tần số là  trong đó:

t   1/2 (1.5)

Cửa sổ trên nhỏ nhất khi g là hàm Gaussian, khi đó hàm nguyên tử gu, được gọi là hàm Gabor

Phép biến đổi Fourier cửa sổ trượt cho tín hiệu f với hàm nguyên tử gu, được biểu diễn bằng biểu thức:

bộ của tín hiệu càng dễ được phát hiện Nhưng nếu tín hiệu trong một khoảng thời gian lớn không hề có đột biến hoặc trong một dải tần số nào đó thì có các tính chất đặc biệt còn trong dải tần số khác lại ổn định thì việc chọn kích thước nhỏ cho cửa sổ có thể gây lãng phí nhưng nhiều khi vẫn không thu được kết quả mong muốn Nghĩa là điều chúng ta muốn ở đây là kích thước cửa sổ trượt là thay đổi được Một giải pháp cho vấn đề này chính là phép biến đổi Wavelet

1.4 Phép biến đổi Wavelet (WT)

Phân tích tín hiệu trong miền thời gian – tần số là phương pháp giải thích tín hiệu theo cả hai tham số là tham số về thời gian và tần số; nó cho phép phân tích các thành phần tín hiệu mang tính nhất thời, cục bộ, không liên tục của tín hiệu Những thành phần này thường biến mất khi sử dụng các phương pháp phân tích có tính chất trung bình như

FT, FFT…Cũng tồn tại một số phương pháp phân tích tín hiệu trong miền thời gian – tần

số như phương pháp biến đổi Fourier cửa sổ trượt (STFT), phương pháp Wigner –Ville(WVT), phương pháp phân tích Choi-William (CWD), phép biến đổi Wavelet liên tục Trong đó phương pháp biến đổi Wavelet liên tục được sử dụng nhiều hơn cả vì nó không làm mờ đi những phần tín hiệu đột biến cũng như nó có khả năng phân tích tín hiệu một cách hiệu quả trong vùng tần số cao

Đã có nhiều ý tưởng về biến đổi Wavelet và chúng tồn tại trong một khoảng thời gian dài Tuy nhiên phân tích Wavelet mới chỉ thực sự được biết đến từ giữa những năm 1980

và được phát triển với mục đích phân tích các tín hiệu địa chấn Ứng dụng của phân tích Wavelet trong khoa học, kỹ thuật thực sự bắt đầu từ những năm 1990 với sự phát triển một cách nhanh chóng về số lượng các nghiên cứu về phân tích Wavelet trên hệ toạ độ đề các Phép biến đổi Wavelet được sử dụng rộng rãi hiện nay gồm hai loại đó là biến đổi Wavelet liên tục và biến đổi Wavelet rời rạc

Phép biến đổi wavelet liên tục thực hiện trên tín hiệu một chiều, và đưa ra một hàm hai chiều trong đó các đặc tính của tín hiệu được phân tích trên cả hai trục thời gian và tần

số

Nếu như xét tín hiệu wavelet trong cả miền thời gian và miền tần số thì tín hiệu này giống như một bản nhạc trong đó thời gian được biểu diễn trên trục nằm ngang và tần số được biểu diễn trên trục thẳng đứng Đặc điểm này giúp cho biến đổi wavelet có nhiều ứng dụng hơn so với biến đổi Fourier (FT) Phân tích một bản nhạc, biến đổi Fourier cho biết tổng năng lượng mỗi nốt được chơi còn biến đổi wavelet cho biết khi nào thì nốt đó được chơi

Có một dạng khác của biến đổi wavelet đó là đa phân tích tín hiệu, thực chất của phương pháp này là tạo ra một tín hiệu một chiều nhưng tín hiệu đó được cắt thành từng đoạn ngắn (các đoạn ngắn này không đều nhau mà có độ dài tính theo trục loga) Công việc cắt ngắn này có mục đích là chia tín hiệu thành hai phần: một phần mang tính trung bình, một phần chi tiết

1.4.1 Phép biến đổi Wavelet liên tục

Phép biến đổi Wavelet liên tục là phương pháp phân tích tín hiệu trong miền thời gian – tần số Điểm khác biệt so với phương pháp biến đổi Fourier cửa sổ trượt đó là phương pháp này cho phép xác định các đặc tính của tín hiệu trong vùng tần số cao với độ phân giải lớn Thực hiện được điều này là do độ rộng cửa sổ của phép biến đổi có thể thay đổi được bằng cách thay đổi hệ số tỷ lệ Một điểm khác biệt quan trọng nữa đó là phép biến đổi Fourier sử dụng các hàm sin làm hàm cơ sở còn biến đổi Wavelet sử dụng các hàm toán học được định nghĩa trước không nhất thiết là hàm sin, gọi là các hàm Wavelet cơ sở (hay còn gọi là các hàm Wavelet mẹ (mother Wavelet), có tài liệu gọi là hàm Wavelet cha (father Wavelet)) Có nhiều hàm Wavelet cơ sở khác nhau, tuỳ thuộc vào từng loại tín hiệu cần phân tích mà một hàm cơ sở nhất định được chọn

Nói một cách “dân dã” thì biến đổi wavelet được xem như một kính hiển vi có độ phóng đại điều khiển bởi tham số tỷ lệ Khi tham số tỷ lệ lớn những đặc tính cơ bản (đặc

tính thô) của tín hiệu được phát hiện, tham số này càng nhỏ các đặc điểm tinh của tín hiệu càng được bộc lộ rõ

Một tín hiệu x(t) qua biến đổi Wavelet liên tục được biểu diễn như sau:

1 Có năng lượng hữu hạn

  

 t dt E

1

dt t x db

a

da b a T C

Tổng năng lượng tín hiệu phụ thuộc tỷ lệ a được tính như sau:





 T a b db C

a E

g

2

),(

1)

Có thể chuyển đổi phổ năng lượng Wavelet theo tham số tỷ lệ E(a) thành phổ năng lượng theo tần số Ew(f) để so sánh một cách trực tiếp với phổ năng lượng của tín hiệu khi thực hiện biến đổi Fourier EF(f) Để thực hiện điều này phải chuyển đổi tham số tỷ lệ a về tham số tần số thông qua tần số đặc trưng của Wavelet theo công thức sau:

.)(),(

1)(

a

db da t b

a T C

Phân tích Wavelet được tính toán trên một lưới (hệ toạ độ rời rạc) một chiều là thời gian và một chiều là tần số, như vậy kết quả tính toán sẽ là giá trị xấp xỉ do tính rời rạc của lưới Nói một cách khác, biến đổi Wavelet có tính xấp xỉ, mỗi một khoảng thời gian

sẽ tương ứng với một giá trị của tham số tỷ lệ a do vậy thời gian tính toán khá lớn và biên

2

1),

độ của tín hiệu sau biến đổi sẽ tăng lên hai hoặc nhiều lần so với tín hiệu ban đầu Như vậy tồn tại một lượng lớn các thông tin lặp lại chứa trong biểu thức biến đổi tạo ra dư thừa Tránh điều này người ta chỉ xét các đỉnh lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức trong một đoạn nhỏ Hai tham số lớn nhất và nhỏ nhất gọi chung là các đỉnh được xác định bởi phương trình:

t   

Đồ thị hàm này được biểu diễn trên hình 1b, nó được dùng cho việc phân tích các dữ liệu nhằm tìm ra các đặc tính hình học trên các bề mặt, tổ chức bên trong của laze cảm ứng, đo đạc các hệ số cố định trong các vật liệu composite đàn hồi… Hàm này được sử dụng khá rộng rãi trong nghiên cứu các yêu cầu tính toán các khối cực đại, các đường cực đại

Tất cả các đạo hàm của hàm Gauss đều thoả mãn để trở thành một hàm Wavelet cơ

sở Tuy vậy, thực tế chỉ sử dụng các đạo hàm bậc nhất và bậc hai

Hình 1: Biểu diễn tín hiệu gốc và biến đổi wavelet của tín hiệu Hình 1a: đồ thị đạo hàm bậc nhất của hàm Gauss; hình 1b: Hàm wavelet dạng e mũ (đạo hàm bậc hai của hàm Gauss) hình 1c: biến đổi wavelet của tín hiệu sử dụng hàm cơ sở là hàm wavelet dạng e

mũ (Tỉ lệ a nhỏ tương ứng với thành phần tần số cao, tỉ lệ a lớn tương ứng với thành phần tần số thấp)

Tỉ lệ a lớn

Tỉ lệ a

nhỏ

Hình 1

e e

2 4

2 0

1)(

t t j e e

Hình 2: Biểu diễn đồ thị của hai hàm wavelet Morlet Hình 2a: hàm Morlet với tần số trung tâm 0 = 2.0 (f0 = 0.138Hz); hình 2b: hàm Morlet với tần số trung tâm 0= 12 (f0

=1.909)

Hình 2:

Hình 3 biểu diễn một tín hiệu nhỏ biển đổi wavelet sử dụng hàm Morlet là hàm cơ sở với tần số trung tâm 0 =5.33rad/s (f0 =0.849Hz) Phần thực của tín hiệu sau biến đổi được biểu diễn trên hình 3b có dạng tương tự như biến đổi sử dụng hàm dạng e mũ (hình 1c) Tính gián đoạn (không liên tục) tại điểm đầu và điểm cuối của tín hiệu gốc được phát hiện trên đồ thị về pha của tín hiệu sau biến đổi trên hình 3c; những điểm gián đoạn được chỉ rõ tại các đỉnh của đồ thị về pha Tần số tức thời kết hợp tín hiệu tăng thì đồ thị tín hiệu qua biến đổi wavelet sáng hơn - đồ thị modul (hình 3d) Tần số tức thời của một thành phần tín hiệu được xác định bởi các đỉnh của wavelet; đó là các giá trị cực đại tìm

ra trên đồ thị tỷ lệ Các đỉnh của tín hiệu được biểu diễn trên đồ thị hình 3e, hệ số tỷ lệ tức

Hình 3:

đỉnh

thời aR tại thời điểm bR là cơ sở để tìm ra tần số tức thời fR=f0/aR Pha và biên độ tức thời cũng có thể xác định được từ các đỉnh này

Hàm Morlet chuẩn được sử dụng cho việc phân tích tương tự như biến đổi Fourier thời gian ngắn (Fourier cửa sổ trượt) với cửa sổ Gauss (một số tài liệu còn gọi là biến đổi Gabor) Điểm khác biệt ở đây là, trong biến đổi wavelet dùng hàm cơ sở Morlet các cửa

sổ hay các hàm sin có tỷ lệ khác nhau trong khi biến đổi Fourier cửa sổ trượt có độ rộng cửa sổ là một hằng số Biến đổi wavelet có thể tự giới hạn một khoảng thời gian ngắn tương ứng với giá trị tần số lớn

1.4.3 Biến đổi wavelet rời rạc (DWT)

Biến đổi DWT sử dụng một lưới gồm hai thành phần a và b đặt vuông góc nhau và các hàm wavelet cơ sở (thực chất của biến đổi wavelet rời rạc là biến đổi wavelet liên tục nhưng các giá trị chỉ lấy tại các vị trí là mắt lưới a,b – a là tham số tỷ lệ, b là tham số dịch mức) Các tín hiệu vào được xử lý như biến đổi wavelet xấp xỉ sử dụng thuật toán đa phân giải; do vậy tuy tín hiệu vào là tín hiệu liên tục được biến đổi wavelet rời rạc nhưng tín hiệu thu được sau biến đổi wavelet ngược có thể được tính toán một cách nhanh chóng mà không bị mất mát thông tin

Cách lấy mẫu tham số a và b được thực hiện như sau: sử dụng trục loga rời rạc cho việc lấy mẫy tham số tỷ lệ a, từ đó tạo ra các bước nhảy cho b, dịch chuyển các bước nhảy tương ứng với mỗi giá trị của b Biểu thức tổng quát cho biến đổi wavelet rời rạc có dạng như sau:



0

0 0

0 ,

1)(

a

a nb t a t

m

m n

Trong đó m, n là các số nguyên biểu diễn cho độ co, giãn và độ dịch mức a0 là tham

số tỷ lệ cố định ban đầu thường đặt lớn hơn 1, b0 là tham số dịch chuyển ban đầu phải chọn giá trị lớn hơn 0 Thông thường trong biến đổi wavelet rời rạc hai tham số này được chọn là a0 = 2; b0 =1 Luỹ thừa hai của thang loga với cả hai tham số a và b gọi là lưới dyadic Lưới dyadic là cách đơn giản và hiệu quả nhất cho các ứng dụng thực tế và cấu trúc lên các hàm wavelet cơ sở Khi đặt a0 =2 và b0 = 1 phương trình (1.24) trên trở thành: m,n(t)  2 m/2( 2 m tn) (1.25)

Các lưới dyadic wavelet được chọn phải có tính trực giao và có năng lượng bằng một đơn vị có nghĩa là:

Như vậy các thông tin được lưu trong các hệ số Tm,n chứa trong các phép biến đổi wavelet không bị lặp lại mà vẫn cho phép khôi phục lại tín hiệu gốc (không bị dư thừa thông tin)

Sử dụng lưới wavelet dyadic như phương trình 1.25 biến đổi wavelet rời rạc có thể được viết lại như sau:

Trong đó Tm,n là hệ số wavelet tại toạ độ m,n

Xét yếu tố quan trọng tạo ra sự khác biệt rõ rệt giữa biến đổi wavelet rời rạc và rời rạc hoá biến đổi wavelet liên tục Sự rời rạc hoá biến đổi wavelet liên tục yêu cầu một lưới dùng cho việc xác định các điểm đã được rời rạc và xấp xỉ hoá Và việc thực hiện biến đổi ngược dựa trên các điểm này Độ chính xác của tín hiệu gốc thu được sau biến đổi ngược phụ thuộc vào độ phân giải của phép rời rạc Mặt khác, đối với biến đổi wavelet rời rạc tín hiệu sau khi thực hiện biến đổi chỉ nằm trên các mắt lưới Tín hiệu gốc có thể thu được một cách chính xác bằng cách cộng các hệ số DWT với m,n hữu hạn

Các wavelet trực giao rời rạc được kết hợp với các hàm tỷ lệ Các hàm tỷ lệ được kết hợp với làm trơn tín hiệu sẽ có cùng một dạng như tín hiệu wavelet:

n n và m

m nêú

dt t

t m n n

m

0

''

1)()( ,' '

xấp xỉ rời rạc của tín hiệu tương ứng với tỷ lệ m Tín hiệu gốc thu được cũng là một tín hiệu xấp xỉ bằng cách lấy tổng các hàm tỷ lệ:

ở đây xm(t) là tín hiệu đã được làm trơn, hàm tỷ lệ phụ thuộc vào mỗi dạng tín hiệu x(t) và chỉ số tỷ lệ m Tín hiệu xm(t) sẽ tiến đến x(t) khi m - Như vậy, x(t) có thể được khôi phục bởi biểu thức:

m n

S t

x( ) 0, 0, ( ) , , ( ) (1.32) Đặt dm(t) là thành phần tín hiệu tại tỷ lệ m, dm(t) được xác định bởi:

x t

Từ đó suy ra: xm-1(t) = xm(t) + dm(t)

Phương trình trên gọi là phương trình biểu diễn đa phân tích

1.4.3.1 Đa phân tích và biến đổi wavelet nhanh

Đa phân tích là xử lý, phân tích tín hiệu ở các mức độ chi tiết khác nhau Phương pháp này chia tín hiệu thành hai phần: một phần mang tính chất trung bình và một phần mang tính chi tiết Thành phần trung bình được tạo ra bằng cách cho tín hiệu gốc qua một

bộ lọc thông thấp; thành phần chi tiết là các thành phần có tần số cao nó thu được nhờ vào việc đưa tín hiệu gốc qua bộ lọc thông cao Thông thường, có rất ít thông tin trong thành phần chi tiết và hầu hết các hệ số của nó bằng 0 Đặc điểm này cho thấy đa phân tích rất

có lợi cho việc nén dữ liệu, hầu hết các thành phần chi tiết có thể bỏ đi và tín hiệu gốc khôi phục lại chỉ mất rất ít thông tin Còn thành phần chi tiết có nhiệm vụ làm rõ những vùng biến đổi nhanh và những đặc điểm không đoán trước được của tín hiệu thành phần này lại rất có ích cho việc loại bỏ nhiễu

Để hoàn thành thuật toán đa phân tích, tín hiệu trung bình được đưa vào xử lý lại tức là lại tạo ra hai phần trung bình hơn và chi tiết hơn trên 1/4 độ dài tín hiệu gốc Việc này được thực hiện liên tục cho đến khi các đặc tính cần thiết của tín hiệu đã được xác định hoặc tổng số các thành phần chi tiết là không đáng kể

k n m k n

2

12

1

(1.35) Tương tự như trên hệ số wavelet cũng có thể được xác định nhờ các hệ số trước đó:

k n m k n

2

12

Sm0,n Phương trình 1.35 ,1.36 biểu diễn thuật toán phân tích đa phân giải Thuật toán này

là một phần của phép biến đổi wavelet nhanh, bằng cách này có thể tính toán các hệ số wavelet nhanh hơn so với cách tính trong phương trình 1.27 Về mặt vật lý, biểu thức 1.35

và 1.36 được thực hiện bằng cách cho tín hiệu qua một mạch lọc thông cao và một mạch

lọc thông thấp nếu tín hiệu vào là Sm,2n+k tín hiệu ra là Sm+1,n và Tm+1,n Vector c k

2

1

là hệ

số của các nhánh lọc trong bộ lọc thông thấp bộ lọc này chỉ cho phép những thành phần

tín hiệu tần số thấp đi qua vì vậy tín hiệu ra được làm trơn (bằng phẳng) hơn; b k

k m k n n

2

12

1

Cách xác định này gọi là thuật toán khôi phục ở đây k là hệ số dịch mức tương ứng với tỷ lệ m Nếu chỉ có một số hữu hạn các hệ số tỷ lệ khác 0 thì cn-2k chỉ nhận giá trị khác 0 trong khoảng từ 0 đến Nk-1 Thuật toán khôi phục là phần còn lại của thuật toán đa phân tích

Xét một ví dụ đơn giản: hàm tỉ lệ là một xung vuông, hàm tỉ lệ này có thể dùng để khôi phục một tín hiệu bất kỳ đã biết với độ phân giải cố định

Xét tín hiệu liên tục f(t) được lấy mẫu với khoảng thời gian lấy mẫu là 1s tạo ra chuỗi fn (n là số nguyên có độ lặp lại là 1s) Nếu  = 1 trong khoảng (0,1) và bằng 0 trong các trường hợp còn lại thì f(t) được khôi phục bằng phương trình:

f(t) = f0(t) + f1(t - 1) + f2(t –2 ) + … (1.38) với độ chính xác là 1s

1.4.3.2 Biến đổi wavelet Haar

Wavelet Haar là loại wavelet đơn giản nhất Trong biến đổi rời rạc thuật toán của wavelet Haar còn được gọi là biến đổi Haar Biến đổi Haar được xem là nguyên mẫu của các loại biến đổi wavelet khác

Xét tín hiệu rời rạc: là 1 hàm có giá trị tại những điểm thời gian rời rạc, như vậy tín hiệu có thể được biểu diễn bởi 1 chuỗi f = (f1,f2…fN) N là một số nguyên dương biểu thị

độ dài của tín hiệu f Giá trị của f là N số thực f1, f2 … fN là giá trị của tín hiệu tương tự g

đo tại các thời điểm t1, t2 … tN Vậy:

m

f f

m

f f

Biến đổi Haar cấp 1:

Biến đổi Haar được thực hiện qua nhiều bước; bước thứ nhất theo sơ đồ như sau:

f  H1 (a1 |d1)

Biến đổi ngược của sơ đồ H1, tức là xác định lại f từ a1 và d1 như sau:

)

2

,2

, ,2

,2(a1 d1 a1 d1 a N/2 d N/2 a N/2 d N/2

Vậy ưu điểm của Haar là gì?

Đặc tính của phần chi tiết (đặc tính của dao động nhỏ): biên độ của phần tín hiệu chi tiết thường nhỏ hơn so với giá trị biên độ của tín hiệu gốc

Mặt khác, từ biểu thức 1 ta có f2m-1 = g(t2m-1) … nếu khoảng thời gian lấy mẫu g(t) đủ

02

2 1

 m m m

t g t

g

Lặp lại các phép tính trên nhiều lần ta có biến đổi Haar đa cấp

Sự bảo toàn năng lƣợng:

Một đặc điểm quan trọng của biến đổi Haar đó là bảo toàn năng lượng Gọi Ef là năng lượng của tín hiệu f, khi đó:

Ef = f1

2

+ f2 2

+ … + fN

2

(1.43) Năng lượng tín hiệu sau biến đổi Haar cấp 1:

E(a|d) = a1

2

+ a2 2

+ …+ aN/2

2

+ d1 2

+ d2 2

+ …+ dN/2

2

= Ef (1.44) Vậy biến đổi Haar cấp 1 có bảo toàn năng lượng

Sự tập trung năng lƣợng:

Năng lượng của tín hiệu Haar tập chung chủ yếu ở phần tín hiệu trung bình lý do vì biên độ của phần tín hiệu chi tiết thường rất nhỏ (như đã nói ở trên) so với biên độ của phần tín hiệu trung bình, đặc điểm này rất có lợi cho ứng dụng nén tín hiệu

Biến đổi Haar đa cấp:

Sau khi biến đổi Haar cấp một trên tín hiệu f sẽ thu được hai phần a1 và d1 Tiếp tục thực hiện biến đổi Haar với phần a1 thu được hai phần tín hiệu là a2 và d2 gọi là biến đổi Haar cấp hai Tương tự biến đối cấp 3 là thực hiện biến đổi trên phần tín hiệu a2 …

Giải thích cho sự bảo toàn năng lƣợng:

Như đã biết tín hiệu f được tách thành hai phần a1 và d1 ta có:

2 2 2 1

2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1

2 2

f f f f f f f f f

f f

Sóng con Haar là dạng wavelet đơn giản nhất, nó là nền tảng của một dạng wavelet phức tạp hơn đó là Daubechies wavelet

Xét vector wavelet Haar cấp 1được định nghĩa như sau:

Đối với wavelet Haar cấp 1, thành phần chi tiết d1

của tín hiệu có thể biểu diễn dưới dạng tích vô hướng như sau:

1 2

1

f f

1,0, ,0,0:

:

0, ,0,0,2

1,2

1,0,0

0, ,0,0,2

1,21

Đa phân tích Haar

Đa phân tích hay phân tích đa phân chia (multiresolution analysis) viết tắt là MRA là trọng tâm của phân tích wavelet

Các phép toán trên tín hiệu:

Xét hai tín hiệu f = (f1, f2, … , fN) và g = (g1, g2, … , gN) Các phép toán cơ bản của hai tín hiệu:

 Phép cộng và phép trừ: Tổng của hai tín hiệu f + g được xác định như sau:

1,0, ,0,0:

:

0, ,0,0,2

1,2

1,0,0

0, ,0,0,2

1,21

…

VN0 = (0, 0, 0, ….1) Khi đó một tín hiệu f bất kỳ đều có thể biểu diễn dưới dạng:

f = f1V10 + f2V20 + … + fNVN0 (1.54) Biểu thức 1.54 được gọi là khai triển tự nhiên của tín hiệu f

Biến đổi Haar MRA cấp 1 được định nghĩa như sau:

, ,2

,2

,2

,22

,2

, ,2

,2

,2

,2

2 / 2

/ 2

2 1 1 2

/ 2 / 2

2 1

a

(1.55)

Vậy một tín hiệu f có thể viết dưới dạng tổng của thành phần mang thông tin chung

và thành phần mang thông tin chi tiết:

, ,2

,2

,2

,2

2 / 2 / 2

2 1 1

, ,2

,2

,2

,2

2 / 2

/ 2

2 1 1

Đa phân tích nhiều cấp:

Như trên đã xét phương pháp đa phân tích Haar cấp 1 đối với một tín hiệu Có thể lặp lại nhiều lần các bước trên đối với phần tín hiệu trung bình để tạo ra đa phân tích Haar nhiều cấp

Biểu thức đa phân tích Haar cấp 2 : f = A2 + D2 + D1 (1.61)

1.4.3.3 Biến đổi wavelet Daubechies

Daubechies wavelet là một loại biến đổi wavelet được nghiên cứu bởi Daubechies Phương pháp biến đổi này cũng giống như biến đổi wavelet Haar là chia tín hiệu thành hai phần phần trung bình biểu diễn bằng tích vô hướng gọi là phần tín hiệu tỉ lệ và phần chi tiết là các sóng con Đối với phương pháp biến đổi này phần tín hiệu tỉ lệ và sóng con

có thể rất nhỏ so với tín hiệu gốc, đây là một cải tiến lớn về khả năng phân tích, xử lý tín hiệu Phương pháp biến đổi wavelet Daubechies là công cụ rất mạnh trong việc tạo ra các tín hiệu cơ sở cho mục đích nén dữ liệu, loại bỏ nhiễu, nén ảnh, tăng cường ảnh và nhận biết tín hiệu

Wavelet Daub4:

Có nhiều loại biến đổi Daubechies trong đó Daub4 là loại đơn giản nhất được định nghĩa như sau Nếu một tín hiệu f có N giá trị thì biến đổi wavelet Daub4 cấp 1 của nó được xác định:

dm = f Wm1 (1.65)

Wm1 là sóng con cấp 1 của f

Cũng giống như biến đổi Haar, Daub4 cũng có thể phân tích tín hiệu qua nhiều cấp Cấp 2 sẽ thực hiện phân tích phần tín hiệu tỉ lệ cấp 1 thành hai phần: phần tỉ lệ cấp 2 và phần chi tiết cấp 2 Tức là 1  2 2

Mối liên hệ giữa các hệ số wavelet và hệ số tỉ lệ là:

1 = 4 2 = -3 3 = 2 ,4 = -1

Từ các hệ số trên vector wavelet W11, W21 … , W1N/2 được định nghĩa:

Các vector này cũng có tính chất quay vòng và có thể tính toán vector wavelet cấp 1 nếu biết các vector cơ sở theo công thức:

Vector wavelet cấp 2:

Bốn hệ số wavelet trên cũng thoả mãn điều kiện có tổng năng lượng bằng 1:

và :

Biến đổi Daub4 ngƣợc:

Tín hiệu gốc có thể khôi phục lại từ các thành phần trung bình và thành phần chi tiết (a1| d1) theo công thức:

Trong đó A1 là tín hiệu trung bình cấp 1:

D1 là tín hiệu chi tiết cấp 1:

Một cách tổng quát tín hiệu f có thể khôi phục được từ biến đổi wavelet Daub4 cấp

k theo công thức:

f = Ak + Dk + Dk-1 + … + D1 (1.80) Trong đó:

và :

Với Nk = N/2k

Hình 6 biểu diễn biến đổi wavelet của một tín hiệu nhỏ có nhiễu Hình 6a: các thành phần tín hiệu chi tiết ở cấp độ phân chia m Hình 6b: các thành phần tín hiệu trung bình ở các cấp độ phân tích từ cấp 1 đến cấp 10

(1.79)

(1.81)

(1.82)

CHƯƠNG 2: TÍN HIỆU ĐIỆN TIM ĐỒ (ECG : ELECTROCARIOGRAM)

Để đáp ứng đủ các yêu cầu của chẩn đoán lâm sàng, ngày nay trong y học chỉ đặt điện cực theo 12 cách để thu được 12 chuyển đạo thông dụng đó là 3 chuyển đạo mẫu, 3 chuyển đạo đơn cực các chi, 6 chuyển đạo trước tim

2.2 Các chuyển đạo thông dụng

2.2.1 Các chuyển đạo mẫu

Các chuyển đạo mẫu còn được gọi là chuyển đạo lưỡng cực các chi hay chuyển đạo lưỡng cực ngoại biên Các điện cực được đặt như sau:

1 - Điện cực âm ở cổ tay phải, điện cực dương đặt ở cổ tay trái gọi là chuyển đạo 1 (Viết tắt là D1)

2 - Điện cực âm đặt ở cổ tay phải, điện cực dương đặt ở cổ chân trái gọi là chuyển đạo 2 (Viết tắt là D2)

3 - Điện cực âm đặt ở tay trái, điện cực dương đặt ở chân trái gọi là chuyển đạo 3 (Viết tắt là D3)

2.2.2 Các chuyển đạo đơn cực các chi

Để đo các chuyển đạo này dùng hai điện cực là điện cực dương và điện cực trung tính (V=0)